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2017-2018学年度高二期末考试试题（理科数学）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出集合A,B，由此利用并集的定义求得.
【详解】因为，
，
所以，故选C.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，函数的定义域的求解，集合的并集运算，属于简单题目.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
：首先将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的准线方程的定义可求得结果.
【详解】因为抛物线可化为
，
则抛物线的准线方程为，故选A.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的准线方程，在解题的过程中，注意首先将抛物线方程化成标准方程.
3. 设p、q是两个命题，若是真命题，那么（ ）
A. p是真命题且q是假命题 B. p是真命题且q是真命题
C. p是假命题且q是真命题 D. p是假命题且q是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.
【详解】若是真命题，则
是假命题，
则p,q均为假命题，故选D.
【点睛】该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到
是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.
4. 已知，
，则
=（ ）
A. 2 B. -2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的函数解析式，求得，之后根据
，从而求得
，得到结果.
【详解】根据题意，可知，所以
，
所以，故选C.
【点睛】该题考查的是有关分段函数根据函数值求参数的问题，在解题的过程中，首先求得，利用内层函数的函数值等于外层函数的自变量，代入函数解析式求得结果.
5. 函数的单调递增区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到所求单调递增区间.
【详解】因为，
根据余弦函数的性质，
令，可得
，
所以函数的单调递增区间是，故选C.
【点睛】该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可得结果.
【详解】函数，
，
所以是函数的一个零点，所以排除B,D；
当时，
，所以
，函数的图形应落在x轴的下方，所以排除C；
故选A.
【点睛】该题考查的是有关函数的图形的选择问题，在解题的过程中，注意排除法的应用，也可以从函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，再根据相应区间上的函数值的符号求得结果.
7. 将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）
A. 240 B. 480 C. 720 D. 960
【答案】B
【解析】
12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有
,选B.
8. 高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果.
【详解】因为高三某班有60名学生（其中女生有20名），
三好学生占，而且三好学生中女生占一半，
所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，
由题意知，本题可以看作一个古典概型，
试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，
满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，
所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.
9. 已知命题：①函数的值域是
；
②为了得到函数的图象，只需把函数
图象上的所有点向右平移
个单位长度；
③当或
时，幂函数
的图象都是一条直线；
④已知函数，若
互不相等，且
，则
的取值范围是
.
其中正确的命题个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
：①根据指数函数的单调性进行判断；
②根据三角函数的图形关系进行判断；
③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.
【详解】①因为是增函数，所以当
时，函数的值域是
，故①正确；
②函数图象上的所有点向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，故②错误；
③当时，
直线挖去一个点，当
时，幂函数
的图形是一条直线，故③错误；
④作出的图像如图所示：
所以在
上递减，在
上递增，在
上递减，
又因为在
上有两个，在
上有一个，
不妨设，
则，即
，则
的范围即为
的范围，
由，得
，
则有，即
的范围是
，所以④正确；
所以正确的命题有2个，故选C.
【点睛】该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.
10. 函数的图象沿
轴向右平移
个单位后，得到
为偶函数，则
的最小值为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数恒等变换，可得，
，利用其为偶函数，得到
，从而求得结果.
【详解】因为
，
所以，
因为为偶函数，所以
，所以
，
所以的最小值为
，故选B.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.
11. 已知锐角中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由利用余弦定理，可得
，利用正弦定理边化角，消去C，可得
，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得
【详解】因为，所以
，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
由正弦定理得，因为
，
所以，
即，
因为三角形是锐角三角形，所以，所以
，
所以或
，
所以或
（不合题意），
因为三角形是锐角三角形，所以，
所以，则
，
故选C.
【点睛】这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A的范围是解题的关键.
12. 设定义在上的函数
满足
，则
（ ）
A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值，也有极小值 D. 既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】
试题分析：由等式化为
，即
，则由积分可得
（
为常数），即
，又
，则
，所以
，易知函数
在
上单调递增.故选D.
考点：函数的导数与积分、解析式及其单调性.
【方法点晴】此题主要考查函数的导数与积分、解析式及其单调性的应用，属于中高楼题.根据题设可构造等式，由积分可得
，再通过等式
，从而求出函数
的解析式
，又
在区间
上恒成立，即函数
在
上单调递增，故函数
在区间
上即无极大值，也不极小值.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n等于_________.
【答案】8
【解析】
【分析】
由题意可知，，解得n，得到结果.
【详解】因为的展开式中所有项的二项式系数之和为256，
所以有，解得
，故答案是8.
【点睛】这是一道考查二项式定理的题目，解题的关键是明确二项展开式的性质，由二项式定理可得，二项式所有项的二项式系数和为，从而求得结果.
14. 已知双曲线，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且
，则E的离心率为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
可令，代入双曲线的方程，求得
，再根据题意，设出A,B,C,D的坐标，由
，可得
的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】令，代入双曲线的方程可得
，
由题意可设，
由，可得
，
由，可得
，解得
（负值舍去），
故答案是2.
【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线上的点的坐标的求法，根据双曲线对称性，得到四个点A,B,C,D四个点的坐标，应用双曲线中系数的关系，以及双曲线的离心率的公式求得结果.
15. 已知分别为
的三个内角
的对边，
，且
，
为
内一点，且满足
，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
运用余弦定理可求得，利用同角三角函数关系式中的平方关系求得
，再由题意可得O为
的重心，得到
，由三角形的面积公式，解方程可得所求值.
【详解】由余弦定理可得，
因为，且
，
所以，整理得
，
所以，从而得
，
满足，且
，
可得O为的重心，且
，
即，则
，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，同角三角函数关系，三角形重心的性质，三角形面积公式，熟练掌握基础知识是解题的关键.
16. 已知函数，若存在
，使得
，则实数
的取值范围__________．
【答案】
【解析】
【分析】
令，令
，应用导数研究得出函数的单调性，从而分别求出
的最小值和
的最大值，从而求得
的范围，得到结果.
【详解】由
令，则
对
恒成立，
所以在
上递减，所以
，
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/08c29abd4bfe04a1b0717fd5360cba1aa8118cb1.html
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