[目标定位] 1.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算.2.知道线速度与角速度的关系，知道线速度与周期、角速度与周期的关系.3.理解匀速圆周运动的概念和特点．
一、线速度
1．定义：物体做圆周运动通过的________与所用________的比值．
2．大小：v＝________，单位：______.
3．方向：质点在圆周上某点的线速度方向总是沿圆周的______方向．
4．物理意义：描述质点沿______运动的快慢．
5．匀速圆周运动
(1)定义：任意相等的时间内通过的________________．
(2)特点：①匀速圆周运动的线速度______不变．②线速度的方向是时刻______的，所以是一种______运动．
想一想 做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同吗？
二、角速度
1．定义：半径转过的角度与所用时间的比值．
2．大小：ω＝______；单位：____________，符号________．
3．物理意义：描述物体绕______转动快慢的物理量．
4．匀速圆周运动是角速度______的圆周运动．
三、周期、频率和转速
1．周期：周期性运动每重复一次所需要的______，符号T，单位s.
2．频率：单位时间内运动重复的________，f＝__________，单位 Hz.
3．转速：单位时间内的________，符号n，单位r/min或r/s.
想一想 周期、频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量，它们之间的关系如何？
四、线速度、角速度、周期的关系
1．线速度v与周期T的关系：v＝________.
2．角速度ω与周期T的关系：ω＝________.
3．v与ω的关系：v＝____.
一、对匀速圆周运动的理解
例1 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动的速率不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等时间内通过的路程相等
借题发挥 (1)矢量的比较，首先要想到方向问题．
(2)“相等时间内…”的问题，为便于比较可以取一些特殊值，但是有时取特殊值也会犯错，如本题中若取t＝T，则相等时间内位移相等，均为0，这样看来C选项正确，所以举例时要具有普遍性．
(3)匀速圆周运动中的“匀速”，是指“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动．
二、描述圆周运动的物理量及其关系
1．线速度v、角速度ω、周期T和转速n都是用来描述质点做圆周运动快慢的，但它们描述的角度不同．
(1)线速度v通过弧长描述质点沿圆周运动的快慢．
(2)角速度ω、周期T、转速n通过转过的角度描述质点绕圆心转动的快慢
2．各个物理量之间的关系
(1)v、T、r的关系：物体在转动一周的过程中，转过的弧长s＝2πr，时间为T，则v＝＝
.
(2)ω、T的关系：物体在转动一周的过程中，转过的角度φ＝2π，时间为T，则ω＝＝
.
(3)ω与n的关系：物体在1 s内转过n转，1转转过的角度为2π，则1 s内转过的角度Δθ＝2πn，即ω＝2πn.
特别提醒 (1)线速度大的物体，其角速度不一定大，据ω＝知，若v大，r也很大，角速度ω可能很小．
(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．
例2 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其转动半径之比为1∶2，在相等的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的角速度大小之比为________，线速度大小之比为________，周期之比为________．
例3 如图1所示，圆环以过其直径的直线AB为轴匀速转动．已知其半径R＝0.5 m，周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度大小．
图1
借题发挥 应用关系式v＝ωr解题的关键是看哪个量保持不变，本题中物体在地球上各点时的角速度ω相等，它的线速度v与做圆周运动的半径r成正比，故确定圆半径又是解决本题的另一个关键．
三、常见传动装置及其特点
1．同轴转动
图2
如图2所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时：
ωA＝ωB，＝
，并且转动方向相同．
2．皮带传动
如图3所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑，则当轮子转动时：vA＝vB，＝
，并且转动方向相同．
图3
3．齿轮传动
如图4所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮啮合，则当齿轮转动时，vA＝vB，＝
，两点转动方向相反．
图4
特别提醒 在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系．
例4 图5所示为皮带传动装置，皮带轮为O、O′，RB＝RA，RC＝
RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度大小之比、周期之比．
图5
对匀速圆周运动的理解
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
圆周运动各物理量间的关系
2．如图6所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
图6
A．a球的线速度比b球的线速度小
B．a球的角速度比b球的角速度小
C．a球的周期比b球的周期小
D．a球的转速比b球的转速大
3．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15
B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3
C．甲、乙两物体的周期之比是2∶15
D．甲、乙两物体的周期之比是10∶3
传动问题
4．如图7所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
图7
A. B.
C.
D.
第4章 匀速圆周运动
第1讲 匀速圆周运动快慢的描述
预习导学
一、1.弧长 时间
2. m/s
3．切线
4．圆周
5．(1)弧长都相等的圆周运动 (2)①大小 ②变化 变速
想一想 不一定相同．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移大小相等，但方向可能不同．
二、2. 弧度每秒 rad/s
3．圆心
4．不变
三、1.时间
2．次数
3．转动次数
想一想 f＝，n＝f，n＝
(n的单位为r/s)．
四、1.
2.
3．rω
课堂讲义
例1 ABD [由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，故A、B对；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，C错，D对．]
例2 4∶3 2∶3 3∶4
解析 由ω＝得：
＝
＝
，
由v＝ωr得：＝
·
＝
×
＝
由T＝得：
＝
＝
例3 见解析
解析 由题意知P点和Q点的角速度相同，ωP＝ωQ＝＝
rad/s＝1.57 rad/s；P点和Q点绕直径AB做匀速圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的轨迹半径大小分别为
rP＝Rsin 30°＝0.25 m，
rQ＝Rsin 60°＝m，
故二者的线速度大小分别为
vP＝ωPrP≈0.39 m/s；vQ＝ωQrQ≈0.68 m/s.
例4 2∶2∶3 2∶1∶2 3∶3∶2
解析 由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝vC，故可得
ωC＝＝
＝
ωA，
所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3.
又vB＝RBωB＝RAωA＝
，
所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2，
TA∶TB∶TC＝∶
∶
＝
∶
∶
＝3∶3∶2.
对点练习
1．BD 2.A
3．C [由v＝ωr得＝
∶
＝
·
＝
×
＝
，A、B错误；由ω＝
得
＝
＝
，C正确、D错误．]
4．A [甲、乙、丙之间属于齿轮传动，所以轮子边缘的线速度相等，即v甲＝v乙＝v丙，由v＝ωr得ω1r1＝ω3r3，所以ω3＝，故选项A正确．]
[目标定位] 1.通过实例认识向心力及其方向，理解向心力的作用.2.通过实验探究向心力的大小与哪些因素有关，掌握向心力的公式，能运用向心力的公式进行计算.3.知道向心加速度，掌握向心加速度的公式.4.能运用牛顿第二定律分析简单的圆周运动问题．
一、向心力及其方向
1．定义：做匀速圆周运动的物体会受到一个始终指向______的________的作用，这个力叫做向心力．
2．方向：向心力的方向总是指向______，始终与线速度______，即与质点的运动方向______．
3．作用效果：只改变速度______，不改变速度______．
4．来源：向心力是根据______________命名的．向心力可能是重力，可能是弹力，可能是摩擦力，还可能是它们的合力．
二、向心力的大小
1．实验研究F与m、r、ω的关系
(1)实验方法：______________
(2)结论：物体的______越大、______越大、转动________越大，物体所需向心力就______．
2．计算公式：F＝______＝____________.
想一想 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力指向圆心吗？
三、向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿______________指向______的加速度，叫向心加速度．
2．大小：a＝______＝__________.
3．方向：始终指向________．
想一想 匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？
一、对向心力的理解
1．大小：F＝ma＝m＝mω2r＝mωv.
2．方向：沿半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．作用效果：由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力对物体不做功只改变线速度的方向，不改变其大小．
4．来源：它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力．例如：
(1)地球绕太阳做圆周运动．太阳对地球的引力提供向心力(如图1甲)；
(2)在光滑水平桌面上做匀速圆周运动的小球，绳对球的拉力提供向心力(如图乙)；
(3)圆盘上随圆盘一起匀速转动的物块静摩擦力提供向心力(如图丙)；
(4)在光滑漏斗内壁上，做匀速圆周运动的小球，支持力与重力的合力提供向心力(如图丁)．
图1
5．匀速圆周运动和非匀速圆周运动合外力特点：
(1)在匀速圆周运动中，物体所受到的合力就是向心力且该合力的大小不变但方向时刻改变．
(2)在非匀速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心．合力沿半径方向的分力提供向心力，改变速度的方向；合力在切线方向上的分力用于改变线速度的大小．
例1 关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动还受到一个向心力
B．向心力可以是任何性质的力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定提供向心力
例2 如图2所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
图2
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
二、对向心加速度的理解
1．物理意义：描述做圆周运动的物体速度方向改变快慢的物理量．
2．方向：总是指向圆心，即向心加速度的方向与速度方向垂直，时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速曲线运动．
3．表达式：a＝＝ω2r＝
r＝ωv
(1)公式a＝中，当速度v不变时，a与r成反比；
(2)公式a＝ω2·r中，当角速度不变时，a与r成正比．
例3 如图3所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的，当大轮边上P点的向心加速度是0.12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
图3
审题技巧 应用向心加速度表达式a＝ω2r＝，注意同轴转动角速度相同，皮带传动线速度相同的规律．
三、圆周运动中的动力学问题
解决圆周运动的一般步骤
(1)确定做圆周运动的物体为研究对象．明确圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径．
(2)对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．运用平行四边形定则或正交分解法求出外界提供的向心力F.
(3)抓住所给的已知条件，是线速度v、角速度ω、还是周期T，根据向心力公式F＝m＝mω2r＝m
r＝mvω选择适当形式确定物体所需要的向心力．
(4)根据题意由牛顿第二定律及向心力公式列方程求解．
例4 如图4所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
图4
四、圆锥摆模型
模型及特点：如图5所示，让细线带动小球在水平面内做匀速圆周运动．
图5
重力和拉力(或支持力)的合力提供向心力，F合＝mgtan θ.设摆线长为l，则圆半径r＝lsin θ.
根据牛顿第二定律：mgtan θ＝m
例5 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图6所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求：
图6
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力多大？
向心力及来源
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
2.如图7所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
图7
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
向心加速度的计算
3．如图8所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处的半径rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系是( )
图8
A．aA＝aB＝aC B．aC>aA>aB
C．aC<aA<aB D．aC＝aB>aA
圆周运动中的动力学问题
4.如图9所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力大小之比FA∶FB为(取g＝10 m/s2)( )
图9
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
圆锥摆模型
5.一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图10所示，A的运动半径较大，则( )
图10
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球运动的周期必大于B球运动的周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
第2讲 向心力与向心加速度
预习导学
一、1.圆心 等效力
2．圆心 垂直 垂直
3．方向 大小
4．力的作用效果
二、1.(1)控制变量法 (2)质量 半径 角速度 越大
2．mrω2 m
想一想 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力不指向圆心．合外力在切线方向的分力改变线速度的大小，在半径方向的分力(即向心力)，改变线速度的方向．
三、1.半径方向 圆心
2．ω2r
3．圆心
想一想 由于匀速圆周运动的向心加速度方向时刻在改变所以向心加速度是变加速度，匀速圆周运动是变加速曲线运动．
课堂讲义
例1 B [力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故A错；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故B对；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错；只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故D错．]
例2 C [由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O.]
例3 0.04 m/s2 0.24 m/s2
解析 同一轮子上的S和P点角速度相同，即ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r，可得＝
.
所以aS＝aP·＝0.12×
m/s2＝0.04 m/s2，
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ.
由向心加速度公式a＝可得
＝
，
所以aQ＝aP·＝0.12×
m/s2＝0.24 m/s2.
例4 14 N
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力T提供(如图所示)，
即T－mg＝m
所以T＝mg＋m＝
N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
例5 (1) (2)
解析
(1)对座椅受力分析，如图所示．转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsin θ①
设钢绳的拉力为T，则T与mg的合力为mgtan θ.根据牛顿第二定律：mgtan θ＝mω2R②
由①②得：ω＝
(2)由力的三角形知：T＝
对点练习
1．BC
2．CD [对小球受力分析如图所示，小球受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳子方向的分力的合力，正确选项为C、D.]
3．C [两轮通过皮带传动，故A、B两点的线速度大小相等，由a＝知，aA<aB；又A、C两点在同一轮子上，故A、C两点的角速度相等，由a＝ω2r知，aC<aA.故选C.]
4．C [小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FB＝m
＋mg＝30m；A球做水平方向减速运动，FA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为FA∶FB＝1∶3，C选项正确．]
5．AC [两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，
可知筒壁对小球的弹力N＝①
而重力和弹力的合力为
F合＝，
由牛顿第二定律可得
＝mω2R＝
＝
所以ω＝②
v＝③
T＝2π④
由于A球运动的半径大于B球运动的半径，由②式可知A球的角速度必小于B球的角速度；由③式可知A球的线速度必大于B球的线速度；由④式可知A球的运动周期必大于B球的运动周期；由①式可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力．所以选项A、C正确．]
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/08ad8b3bb9f67c1cfad6195f312b3169a551ea4b.html
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