2016年高考理科数学试题全国卷2及解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

第Ⅰ卷

一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（2）已知集合，，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

（3）已知向量，且，则m=（ ）

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）

（A） （B） （C） （D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）

（7）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）

（A） （B）

（C） （D）

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

（9）若，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

（10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

（A） （B） （C） （D）

（11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（ ）

（A） （B） （C） （D）2

（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）

（A）0 （B） （C） （D）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

(13) 的内角的对边分别为，若，，，则 ．

(14) 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.[]

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.

（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．

（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前1 000项和．

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19.（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（Ⅰ）当时，求的面积；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；

(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．

(Ⅰ) 证明：四点共圆；

(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的

面积．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，．

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

参考答案

（1）【解析】A

∴，，∴，故选A．

（2）【解析】C

，

∴，∴，

故选C．

（3）【解析】D

，

∵，∴

解得，

故选D．

（4）【解析】A

圆化为标准方程为：，

故圆心为，，解得，

故选A．

（5）【解析】B

有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法

故选B．

【解析二】：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.

（6）【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．

由图得，，由勾股定理得：，

，

故选C．

（7）【解析】B

由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.

（8）【解析】C

第一次运算：，

第二次运算：，

第三次运算：，

故选C．

（9）【解析】D

∵，，

故选D．

解法二：对展开后直接平方

解法三：换元法

（10）【解析】C

由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在

如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．

（11）【解析】A

离心率，由正弦定理得．

故选A．

（12）【解析】B

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

13．【解析】

∵，，

，，

，

由正弦定理得：解得．

（14）【解析】②③④

对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

（15）【解析】

由题意得：丙不拿（2，3），

若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，

故甲（1，3），

（16）【解析】

的切线为：（设切点横坐标为）

的切线为：

∴

解得

∴．

17．【解析】⑴设的公差为，，

∴，∴，∴．

∴，，．

⑵记的前项和为，则

．

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

∴．

18．⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，

．

⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，

．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量．

平均保费

，

∴平均保费与基本保费比值为．

19.【解析】⑴证明：∵，

∴，

∴．

∵四边形为菱形，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴；

又，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴面．

⑵建立如图坐标系．

，，，，

，，，

设面法向量，

由得，取，

∴．

同理可得面的法向量，

∴，

∴

20．【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，

则直线AM的方程为．

联立并整理得，

解得或，则

因为，所以

因为，，

所以，整理得，

无实根，所以．

所以的面积为．

⑵直线AM的方程为，

联立并整理得，

解得或，

所以

所以

因为

所以，整理得，．

因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得

解得．

（21）【解析】⑴证明：

∵当时，

∴在上单调递增

∴时，

∴

⑵

由(1)知，当时，的值域为，只有一解．

使得，

当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增

∴．

（22）【解析】（Ⅰ）证明：∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴．

∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，，

∴，

∴在中，，

连接，，

∴．

（23）解：⑴整理圆的方程得，

由可知圆的极坐标方程为．

记直线的斜率为，则直线的方程为，

由垂径定理及点到直线距离公式知：，

即，整理得，则．

（24）【解析】解：⑴当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

⑵当时，有，

即，

则，

则，

即，

证毕．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/05437f525e0e7cd184254b35eefdc8d376ee14c6.html