成都市2018届（2015级）高中毕业班第二次诊断性检测数学（理）（答案详解）

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】 D

【解析】集合，所以，故选D.

考点：集合的基本运算.

2．已知向量.若，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 B

【解析】由题意得，所以.故选B.

考点：1、平面向量坐标运算；2、平面向量共线的坐标表示．

3．若复数满足，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】 A

【解析】由，得.故选A.

考点：复数的模及其运算．

4．设等差数列的前项和为.若，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】 D

【解析】由，解得，所以.故选D.

考点：等差数列基本运算.

5．已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】 C

【解析】若，可能，所以A不正确；若，则与平行或相交，所以B不正确；因为，，所以或，又，所以C正确；对于D选项缺少条件，所以D不正确.故选C.

考点：点、线、面的平行和垂直关系.

6．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 B

【解析】展开式通项为，令，得，所以，所以.故选B.

考点：二项式定理.

7．已知函数，的部分图象如图所示．现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】 D

【解析】由图象可知，，，，

代入点得，，，

所以.故选D.

考点：1、三角函数的图象；2、三角函数图象的变换.

8．若为实数，则“”是“”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】 B

【解析】由，解得，所以“”是“” 必要不充分条件.故选B.

考点：1、充分条件与必要条件；2、简单的分式不等式的解法.

9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】 C

【解析】由阳马的定义和正视图和侧视图该几何体的直观图如图所示，其中，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则可设球心的坐标为，点，

由得，解得，

所以球的半径，所以体积为.故选C.

考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.

10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】 D

【解析】该程序框图的功能为求，

所以，所以，所以则判断框中的条件可以是.故选D.

考点：1、算法与程序框图；2、等差数列求和.

11．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 A

【解析】由题意知在区间上为减函数，所以

所以，所以

所表示的可行区域（如图）是四边形，其中，，，，表示点与点连线的斜率，

又，，

所以.故选A.

考点：1、函数的零点；2、线性规划.

12．已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若点分别位于第一，四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】 A

【解析】双曲线渐近线方程为，可设，，.

因为，所以，

因为，所以点的坐标为，

所以，化简得，

所以，所以，所以双曲线的实轴长为.故选A.

考点：双曲线方程及其性质.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.

13．已知，，则 .

【答案】

【解析】因为，所以.

考点：指数与对数的运算.

14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 .

【答案】

【解析】由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为人.

考点：1、统计图表；2、分层抽样.

15．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为 .

【答案】

【解析】由题意可得，，，所以，

所以是等腰直角三角形，

所以为直径的圆截直线所得的弦长为，.

考点：抛物线的性质.

16．已知数列共16项，且.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为，则满足条件的数列的个数为 .

【答案】

【解析】由题意可得，

所以或，所以.

又，所以，所以或.

①当时，

由，得的值有2个为，5个为；

由，得的值有个6为，2个为，

所以此时数列的个数为.

①当时，

由，得的值有2个为，5个为；

由，得的值有个2为，6个为，

所以此时数列的个数为.

综上，数列的个数为.

考点：1、数列的概念；2、函数的极值；3、排列组合.

三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数.

（I）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若的内角，所对的边分别为，，，，求.

【答案】（I）；（Ⅱ）

【解析】

考点：1、三角函数的性质；2、正余弦定理.

18．（本小题满分12分）

近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的列联表如下：

（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.

参考数据：

参考公式：，其中.

【答案】（I）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（Ⅱ）元

【解析】

考点：1、独立性检验；2、独立事件概率公式；3、随机变量的分布列与数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.

（I）若点是线段的中点，证明：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（I）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

考点：1、空间直线与平面垂直关系；2、面面角的向量求法.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.

（I）求椭圆的方程；

(Ⅱ)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.

若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.

【答案】（I）；（Ⅱ）

【解析】

考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式.

21．（本小题满分12分）

已知函数，.

（I）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明：.

【答案】（I）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、导数与不等式的证明；4、放缩法.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

（I）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（Ⅱ）若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值.

【答案】（I），；（Ⅱ）

【解析】

考点：极坐标与参数方程.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）记函数的最小值为.若均为正实数，且，求的最小值.

【答案】（I）；（Ⅱ）

【解析】

考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/04d7bc0076232f60ddccda38376baf1ffd4fe35e.html