概率论与数理统计及其应用第二版课后答案

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）；（2）；（3）；（4）。

2，设是两个事件，已知，求。

解：，

，

，

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为，所以所求得概率为

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。（1）该数是奇数的可能个数为个，所以出现奇数的概率为

（2）该数大于330的可能个数为，所以该数大于330的概率为

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。

（2）4只中至少有2只红球。

（3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为；

（2） 所求概率为；

（3）所求概率为。

6，一公司向个销售点分发张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到张提货单的概率。

解：根据题意，张提货单分发给个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到张提货单的概率为。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。

（1）求3只球至少有1只配对的概率。

（2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以

（2）没有配对的概率为；

（1）至少有1只配对的概率为。

8，（1）设，求,

.

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

解：（1）由题意可得，所以

， ，

，

，

。

（2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式）

。

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件，“另一只也是红球”记为事件。则事件的概率为

（先红后白，先白后红，先红后红）

所求概率为

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。

解：（1）根据题意可得

；

；

（2）根据条件概率公式：；

（3）；

（4）；

（5）。

11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

；或者。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求

（1）该人两种症状都没有的概率；

（2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为；

（2）至少有一种症状的概率为；

（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为。

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

解：设“讯号通过通讯线进入计算机系统”记为事件，“进入讯号被无误差地接受”记为事件。则根据全概率公式有

=

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。

解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件。根据全概率公式有

　　，

所以，根据条件概率得到所要求的概率为

即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为, , ，打字机发生故障的概率依次为, , 。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有

　，

根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

，

，

。

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件，“一讯息是可信的”记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为

17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。

解：根据题意，求出以下概率为

， ；

， ，。

所以有

，，。

即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是

所以A,B,C不是相互独立。

18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为, , ，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C进球”分别记为事件。

（1）设恰有一人进球的概率为，则

（由独立性）

（2）设恰有二人进球的概率为，则

（由独立性）

（3）设至少有一人进球的概率为，则

。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少因为

第一次就检验出该型血的概率为；

第二次才检验出该型血的概率为；

第三次才检验出该型血的概率为；

第四次才检验出该型血的概率为；

所以病人得救的概率为+++=

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。

解：设“元件能够正常工作”记为事件。

那么系统的可靠性为

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为，。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得

又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以

；

故，

（第1章习题解答完毕）

第2章 随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取表明第个人是A型血而前个人都不是A型血，因此有

， （）

上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。

解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有打开这一事件。则

，

类似有，

,综上所述，可得分布律为

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, ，分布律为

。

（1）

（2）；

（3）；

（4）

4，设有一由个元件组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少有个元件正常工作时，系统正常工作。现有一系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为，求这一系统的可靠性。

解：对于系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, ，所以系统正常工作的概率为

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）

解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, ，所以

（查表得）。

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~，求

（2）已知随机变量X~，且有，求。

解：（1）；

（2）根据，得到。所以。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。

解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。

（1）；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, ，所以

。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。

解：（1）根据，得到；

（2）；

（3）；

（4）。

9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率。

解：方程有实根表明，即，从而要求或者。因为

，

所以方程有实根的概率为+=.

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

（1） 求寿命不到一周的概率；

（2） 求寿命超过一年的概率；

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）；

（2）；

（3）。

11，设实验室的温度X（以计）为随机变量，其概率密度为

（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。

（3） 求，。

解：（1）；

（2）根据题意，所以其分布律为

（3） ，

。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

试确定常数C，求分布函数，并求，。

（2）设随机变量X的概率密度为

求分布函数，并求，。

解：（1）根据，得到。

；

（2）

；

。

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。

解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

，（，且）

当n取3时， ,（，且）,表格形式为

14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

（1） 求，；

（2） 求至少有一根软管在使用的概率；

（3） 求，。

解：（1）由表直接可得=，

=+++=

（2）至少有一根软管在使用的概率为

（3）=++=

15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

试确定常数，并求，，。

解：根据，可得

，

所以。

；

。

16，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。

（1） 求（X，Y）的概率密度；

（2） 求边缘概率密度。

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由

，得到。

（2）；

18，设是两个随机变量，它们的联合概率密度为

，

（1） 求关于的边缘概率密度；

（2） 求条件概率密度，写出当时的条件概率密度；

（3） 求条件概率。

解：（1）。

（2）当时，

。

特别地，当时

。

（3）。

19，（1）在第14题中求在的条件下的条件分布律；在的条件下的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度，，。

解：（1）根据公式，得到在的条件下的条件分布律为

类似地，在的条件下的条件分布律为

（2）因为。

；。

所以，当时，；

当时，；

当时，；

当时，。

20，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。

（1） 写出（X，Y）的概率密度；

（2） 求边缘概率密度；

（3） 求条件概率密度，并写出当时的条件概率密度。

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由

，得到。

（2）；

。

（3）当时，。

特别地，当时的条件概率密度为

。

21，设是二维随机变量，的概率密度为

且当时的条件概率密度为

，

（1） 求联合概率密度；

（2） 求关于的边缘概率密度；

（3） 求在的条件下的条件概率密度。

解：（1）；

（2）；

（3）当时，。

22，（1）设一离散型随机变量的分布律为

又设是两个相互独立的随机变量，且都与有相同的分布律。求的联合分布律。并求。

（2）问在14题中是否相互独立

解：（1）由相互独立性，可得的联合分布律为

，

结果写成表格为

。

（2）14题中，求出边缘分布律为

很显然，，所以不是相互独立。

23，设是两个相互独立的随机变量，，的概率密度为

试写出的联合概率密度，并求。

解：根据题意，的概率密度为

所以根据独立定，的联合概率密度为

。

24，设随机变量具有分布律

求的分布律。

解：根据定义立刻得到分布律为

25，设随机变量，求的概率密度。

解：设的概率密度分别为，的分布函数为。则

当时，，；

当时，，

。

所以，。

26，（1）设随机变量的概率密度为

求的概率密度。

（2）设随机变量，求的概率密度。

（3）设随机变量，求的概率密度。

解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则

（1）当时，，；

当时，，

。

所以，。

（2）此时。

因为，

故， ，

所以，。

（3）当时，

，

故， 。

所以，。

27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为

求圆面积A的概率密度。

解：圆面积，设其概率密度和分布函数分别为。则

， 故

所以，。

28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布，验证的概率密度为

。

解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为

。

先求分布函数，当时，

，

故， 。

29，设随机变量，随机变量Y具有概率密度，，设X,Y相互独立，求的概率密度。

解：因为，所以的概率密度为

。

30随机变量X和Y的概率密度分别为

，

，X,Y相互独立。求的概率密度。

解： 根据卷积公式，得

，。

所以的概率密度为

。

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。

解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以

，

根据卷积公式，得

。

32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度。

（2） 求的分布函数。

（3） 求概率。

解：（1）；

。

（2）的分布函数为

因为 ； ，

所以，。

（3）。

33，（1）一条绳子长为，将它随机地分为两段，以表示短的一段的长度，写出的概率密度。

（2）两条绳子长度均为，将它们独立地各自分成两段，以表示四段绳子中最短的一段的长度，验证的概率密度为

。

解：（1）根据题意，随机变量，所以概率密度为

。

（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为，则它们都在上服从均匀分布。，其分布函数为

，

所以密度函数为

。

34，设随机变量X和Y的联合分布律为

（1） 求的分布律。

（2） 求的分布律。

（3） 求的分布律。

解：（1）的分布律为

如，

，

其余类似。结果写成表格形式为

（2）的分布律为

如，，

其余类似。结果写成表格形式为

（3）的分布律为

如，，

其余类似。结果写成表格形式为

（第2章习题解答完毕）

第3章 随机变量的数字特征

1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

.

2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

.

3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

， ， 。

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

。

4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

得分的数学期望为

。

5，解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得

，

因此期望存在。（利用了）（不符书上答案）

6，解：（1）一天的平均耗水量为

（百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为

（年）。

7，解：

=1/4。

8，解：。

9，解：

。

（对第一个积分进行变量代换）

10， 解：

。（不符书上答案）

11，解：R的概率密度函数为，所以

。

12，解：

（不符书上答案）

13，解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为

， 。

的密度函数为

，。

所以的数学期望为

，

。

14，解：求出边缘分布律如下

， ，

，

，

。

15，解：，

。

16，解：，

，

。

17，解：根据题意，可得利润的分布律为

因此，

（元）

。

18解，

，

，。

（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，解：，

，

所以，。

本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。

20，解：（1）当时，。

（2）当时，，即不存在。

（3），当时，，

所以，。

（4）当时，，所以不存在。

21，解：（1）根据14题中结果，得到

；

因为， ，

所以，，

。

（2）根据16题结果可得：

；

因为 ，

，

所以，，

，

。

（3）在第2章14题中，由以下结果

得到，，，，，，

所以，；

，,

.

22，解：根据题意有

。

。

23，解：（1）因为相互独立，所以

。

（2）根据题意，可得，。

。

24，解：因为 ，

，

，

所以，，

即，验证了X,Y不相关。

又因为，；

，

显然，，所以验证了X,Y不是相互独立的。

25，解：引入随机变量定义如下

则总的配对数，而且因为，所以，。

故所以，。

第4章 正态分布

1，（1）设，求，，；

（2）设，且，，求。

解：（1），

（2），所以；

，所以，即。

2，设，求，。

解：因为，所以。

。

3，（1）设，试确定，使得。

（2）设，试确定，使得。

解：（1）因为

所以得到,即，。

（2）因为，所以，即

，从而，。

4，已知美国新生儿的体重（以g计）。

（1） 求；

（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求。

解：根据题意可得。

（1）

（或）

（2），

根据题意，所以

。

5，设洗衣机的寿命（以年计），一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。

解：所要求的概率为

6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为欧，标准差为欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量则，

（1）

；

（2）至少有一只电阻器大于欧的概率为

。

7，一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从均值，均方差为的正态分布，若要求，允许最大为多少

解：根据题意，。所以有

，

即，，从而。

故允许最大不超过。

8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在，液体的温度（以计）是一个随机变量，且，

（1） 若，求小于89的概率；

（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于，问至少为多少

解：因为，所以。

（1）；

（2）若要求，那么就有，即或者，从而，最后得到，即至少应为。

9，设相互独立，且服从数学期望为150，方差为9的正态分布，服从数学期望为100，方差为16的正态分布。

（1） 求，，的分布；

（2） 求，。

解：根据题意。

（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到

， ，

（2） 因为 ，，所以

，。

因此，

10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计），垫圈直径（以mm计），相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。

（2）在（1）中若，，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于。

解：（1）根据题意可得。螺栓能装入垫圈的概率为。

（2），所以若要控制

，

即要求，计算可得。表明至多为才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于。

11,设某地区女子的身高（以m计），男子身高（以m计）。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于的概率。

解：（1）因为，所以

；

（2）随机选择的女子身高达于的概率为

，

随机选择的5名女子，身高大于的人数服从二项分布，所以至少有4名的身高大于的概率为

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量，。则，所以这50名女子的平均身高达于的概率为

12，（1）设随机变量，已知，，求和；

（2）相互独立且都服从标准正态分布，求。

解：（1）由，得到；

，得到；

联立和，计算得到。

（2）由相互独立且都服从标准正态分布，得到。

故所以

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到时结束。以记容器中饮料的重量。设台秤的误差为，以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）

（1）写出的关系式；

（2）求的分布；

（3）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于。

解：（1）根据题意有关系式或者；

（2）因为，所以；

（3）要使得，即要

，

所以要求，即，。所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于，至少为492.4g。

14,在上题中若容器的重量也是一个随机变量，，设相互独立。

（1）求的分布；

（2）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于。

解：（1）此时，根据，，可得

。

（2），

可得 ，即 。

15，某种电子元件的寿命（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。

解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量，。则，。根据独立同分布的中心极限定理可得

16，以记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，服从同一分布，且相互独立。，求的近似值。

解：根据题意可得。由独立同分布的中心极限定理可得

17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于的概率。（例如舍入到）

解：以记这400个数据的舍入误差，。则。利用独立同分布的中心极限定理可得

18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为，求，，；（2）问至少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于。

解：（1）根据题意，，且。

由De Moivre-Laplace定理，计算得

；

；

。

（2）设要安装部电话。则要使得

就要求，即，从而

，解出或者（舍去）。

所以最少要安装305部电话。

19，一射手射击一次的得分是一个随机变量，具有分布律

（1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。

（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。

解：根据题意，，。

（1）以分别记10次射击的得分，则

（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量，则。由De Moivre-Laplace定理，计算得

。

（第4章习题解答完毕）

第5章 样本及抽样分布

1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，是来自总体的容量为4的样本，求

（1）的联合概率密度；（2）；

（3）；（4），；（5）。

解：因为X的概率密度为，，所以

（1） 联合概率密度为

，（）

（2）的联合概率密度为，所以

（3） ；

（4），（由独立性）

；

（5）

。

2，设总体，是来自的容量为3的样本，求

（1），（2），

（3），（4），，

（5）。

解：（1）

；

（2）

（本题与答案不符）

（3）

；

（4）

；

；

（5）因为，所以

。

3，设总体，是来自的容量为3的样本，求

（1）；（2）。

解：（1）因为相互独立，所以

；

（2）

。

4，（1）设总体，是来自的容量为36的样本，求；

（2）设总体，是来自的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

解：（1）根据题意得，所以

；

（2） 因为，

所以。

5，求总体的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于的概率。

解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为和，

则，，所以，

。

6，下面给出了50个学生概率论课程的一次考试成绩，试求样本均值和样本方差，样本标准差，并作出频率直方图（将区间（，）分为7等份）。

解：易得，，，

处理数据得到以下表格

根据以上数据，画出直方图（略）

7，设总体，是来自的容量为4的样本，是样本方差。（1）问，分别服从什么分布，并求。（2）求，

解：（1）因为，

所以，

而根据定理2 ，

因为，所以。

（2）

=（第二步查表）

8，已知，求证。

证明：因为，所以存在随机变量

使得 ， 也即 ，

而根据定义所以，证毕。

（第5章习题解答完毕）

第6章 参数估计

1，设总体未知，是来自 的样本。求的矩估计量。今测得一个样本值，，，，，，，，，求的矩估计值。

解：因为总体，所以总体矩。根据容量为9的样本得到的样本矩。令总体矩等于相应的样本矩：，得到的矩估计量为。

把样本值代入得到的矩估计值为。

2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。

解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。

3，设总体参数未知，是来自的样本，求的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则取与最接近的整数作为的估计值）。

解：总体的数学期望为 ，，

二阶原点矩为。

令总体矩等于相应的样本矩：

，

得到，。

4，（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。求的矩估计量，求的最大似然估计值。

（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本：

6 4 9 6 10 11 6 3 7 10

求的最大似然估计值。

解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。

似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。

5，（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为。参数未知。设是一个样本值，求的最大似然估计值。

（2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到的观察值为

5 1 7 4 9

求的最大似然估计值。

解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。

6，（1）设总体，参数已知， 未知，是来自一个样本值。求的最大似然估计值。

（2）设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计值。

解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

（2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。

（1） 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。

（2） 总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。

（3） 设已知，未知，求的最大似然估计值。

解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

相应的最大似然估计量为。

（2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

（3）因为其分布律为

所以，似然函数为 ，相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

8，设总体具有分布律

其中参数未知。已知取得样本值，试求的最大似然估计值。

解：根据题意，可写出似然函数为

，

相应的对数似然函数为

。

令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为

。

9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。试求最大似然估计量。

解：根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为

，

，

相应的对数似然函数为

，

，

令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到

，

算出最大似然估计量分别为，。

10，（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。

（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。①验证是的无偏估计量。②设一星期中故障维修费用为，求。

（3）验证是的无偏估计量。

解：（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为

。

由于，所以是的无偏估计量。

（2）①因为，所以是的无偏估计量。

②。

（3）因为，

所以，是的无偏估计量。

11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。设有估计量

，

，

。

（1） 指出中哪几个是的无偏估计量。

（2） 在上述的无偏估计量中哪一个较为有效

解：（1）因为

，

。

所以，是的无偏估计量。

（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出

，

所以，是比更有效的无偏估计量。

12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为的置信区间，（2）的置信水平为的置信区间。

解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。

（1）的置信水平为的置信区间为

。

（2）的置信水平为的置信区间为

。

13，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：

, , , , , , , , ,

（1） 求的最大似然估计值。

（2） 求的置信水平为的置信区间。

解：（1）根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：。所以的最大似然估计值为。

（2）的置信水平为的置信区间为

。

14，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

设样本来自正态总体，均未知。

（1） 求的无偏估计值。

（2） 求的置信水平为90%的置信区间。

解：（1）的无偏估计值为

， 。

（2）的置信水平为90%的置信区间为

15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。设样本来自正态总体，均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为的置信区间。

解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为的置信区间为

。

16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以ppm计）如下：, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

设样本来自正态总体，均未知。求的置信水平为的置信区间。

解：根据题中数据，计算可得样本均值，样本方差。

的置信水平为的置信区间为

17，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设，均未知。下面是X的一个容量为13的样本：

, , , , , , , , , , , ,

（1） 求的无偏估计；

（2） 求的置信水平为的置信区间。

解：根据题中数据计算可得。

（1） 方差的无偏估计即为样本方差。

（2） 的置信水平为的置信区间为

，

所以的置信水平为的置信区间为

。

18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差的置信水平为的置信区间。

解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为的置信区间为

19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg计），设，，均未知。下面是两个样本

X: , , , , , , , ,

Y: , , , , , , , , , ,

两样本独立。求的置信水平为的置信区间。

解：根据题中数据计算可得，。（未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，的置信水平为的置信区间为

。

20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，，均未知。下面是分别来自X和Y的两个独立样本：

X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10

Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32

求的置信水平为的单侧置信上限，以及的置信水平为的单侧置信上限。

解：根据题中数据计算得到，。

的置信水平为的单侧置信上限为

。

的置信水平为的单侧置信上限为

，

所以，的置信水平为的单侧置信上限为

。

21，在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为的单侧置信下限。