5.7 探索直角三角形全等的条件 同步练习
(总分100分时间40分钟)
一、填空题:(每题5分,共20分)
1.有___斜边_____和一条__直角边______对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“____HL_______”.
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是__20__cm.
3.已知△ABC和△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,要判定△ABC≌△A′B′C′,必须添加条件为①___BC=B’C’_____或②___∠B=∠B’_____或③__∠A=∠A’______或④___AB=A’B’______.
4.如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB∥CD,理由如下:
∵AF⊥BC于F,DE⊥BC于E(已知)
∴△ABF,△DCE是直角三角形
∵BE=CF(已知)
∴BE+_EF____=CF+__EF_____(等式性质)
即___BF____=____EC_______(已证)
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL )
二、选择题:(每题5分,共25分)
5.两个直角三角形全等的条件是(D )
A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等
6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的(B )
①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
7.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形(C )
A.5对; B.4对; C.3对; D.2对
8.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( B )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是(B )
A.AAS B.SAS C.HL D.SSS
三、解答题:(共55分)
10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:AN平分∠BAC.(7分)
∵AB=2AC,M为AB的中点
∴AM=AC=AB
∵MN⊥AB
∴∠AMN=90°
∵在△AMN与△CAN中
AN=AN
AM=AC
∴△AMN≌△CAN
∴∠1=∠2
∴AN平分∠BAC
11.已知:如图AC、BD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°,求证:OC=OD.(8分)
∵在△ABD与△BAC中
AB=AB
AC=BD
∴△ABD≌BAC
∴AD=BC
∴△AOD≌△BOC
∴OC=OB
12.已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)
13.在△ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD,求证:AE=AD.(8分)
14.已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)
15.已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)
过A作∠CAB的角平分线,交BC于D,过D作DE⊥AB于E
∵∠BAC=2∠B
∴∠CAD=∠DAB=∠B
在△DAE和△DBE中
∠DAE=∠B,∠DEA=∠DEB=90°,DE=DE
∴△DAE≌△DBE(AAS)
∴AE=BE=AB=AC
在△ACD和△AED中
AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED(SAS)
∴∠C=∠DEA=90°
∴△ABC为直角三角形
16.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)
EM等于FM
作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K
△EHA≌△ADB 得EH=AD
△FKA≌△ADC 得FK=AD 得EH=FK
在△EHK与△FKM中△EHM≌△FKM
得EM=FM
答案:
1.斜边,直角边,HL 2.20 3.①AB=A′B′ ②BC=B′C′ ③∠A=∠A′ ④∠B=∠B′
4.EF、EF、BF=CE,BF=CE,斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
10.∵AB=2AC,AM=AB
∴AM=AC
∴Rt△AMN≌Rt△ACN
∴∠1=∠2
即AN平分∠BAC
11.在Rt△ABD与Rt△BAC中有
∴Rt△ABC≌Rt△BAO
∴BC=AD
在△AOD与△BOC中有
∴△AOD≌△BOC
∴OC=OD
12.连结AC、AD,则在△ABC和△AED中有
∴△ABC≌△AED
∴AC=AD
又∵AF⊥CD
∴∠AFC=∠AFD=90°
又∵在Rt△ACF和Rt△ADF中有
∴Rt△ACF≌Rt△ADF
∴CF=DF
13.连结AO
∴Rt△OEB≌Rt△ODC(AAS)
∴OE=OD
∵
∴Rt△AEO≌Rt△ADO(HL)
∴AE=AD
14.∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
∴∠ADB=∠AEC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
15.过A作∠CAB的角平分线,交BC于D,过D作DE⊥AB于E
∵∠BAC=2∠B
∴∠CAD=∠DAB=∠B
在△DAE和△DBE中
∠DAE=∠B,∠DEA=∠DEB=90°,DE=DE
∴△DAE≌△DBE(AAS)
∴AE=BE=AB=AC
在△ACD和△AED中
AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED(SAS)
∴∠C=∠DEA=90°
∴△ABC为直角三角形
16.(1)EM=FM
(2)作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K
先说明Rt△EHA≌Rt△ADB 得EH=AD
Rt△FKA≌Rt△ADC 得FK=AD 得EH=FK
在Rt△EHK与Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM
得EM=FM.
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