2012年浙江省高考数学试卷（文科）答案与解析

A．

{1，2，3，4，6}

B．

{1，2，3，4，5}

C．

{1，2，5}

D．

{1，2}

考点：

交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

专题：

集合．

分析：

由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P∩（CUQ）即可得到正确选项．

解答：

解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，

∴∁UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，

∴P∩（CUQ）={1，2}

故选D．

点评：

本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算．

A．

1﹣2i

B．

2﹣i

C．

2+i

D．

1+2i

考点：

复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．

解答：

解：

故选D

点评：

本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．

A．

1cm3

B．

2cm3

C．

3cm3

D．

6cm3

考点：

由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

专题：

立体几何．

分析：

由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．

解答：

解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是×1×2=1cm2，

三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，

∴三棱锥的体积是×1×3=1cm3，

故选A．

点评：

本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题．

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充分必要条件

D．

既不充分也不必要条件

考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有

专题：

简易逻辑．

分析：

利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．

解答：

解：（1）充分性：

当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；

（2）必要性：

当直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：

a•2=2•1，即：a=1．

∴“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．

故选C．

点评：

本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．

A．

若l∥α，l∥β，则α∥β

B．

若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．

若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．

若α⊥β，l∥α，则l⊥β

考点：

平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题

解答：

解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；

C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；

D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D

故选 B

点评：

本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题

A．

B．

C．

D．

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．

解答：

解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，

再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，

得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），

∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，

∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0

由此可得，A选项符合题意．

故选A

点评：

本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．

A．

若|+|=||﹣||，则⊥

B．

若⊥，则|+|=||﹣||

C．

若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ

D．

若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||

考点：

平面向量的综合题．菁优网版权所有

专题：

平面向量及应用．

分析：

通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．

解答：

解：对于A，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；

对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；

对于C，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||，则cosθ=﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得=λ，所以C正确．

对于D，若存在实数λ，则•=λ||2，﹣||||=λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．

故选C．

点评：

本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．

A．

3

B．

2

C．

D．

考点：

圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．

解答：

解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分

∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍

∵双曲线与椭圆有公共焦点，

∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故选B．

点评：

本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．

A．

B．

C．

5

D．

6

考点：

基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．

解答：

解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，

∴=1

∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5

当且仅当=时取等号

∴3x+4y≥5

即3x+4y的最小值是5

故选：C

点评：

本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．

A．

若ea+2a=eb+3b，则a＞b

B．

若ea+2a=eb+3b，则a＜b

C．

若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b

D．

若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b

考点：

指数函数综合题．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．

解答：

解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对；

对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．

故选A．

点评：

本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．

考点：

分层抽样方法．菁优网版权所有

专题：

概率与统计．

分析：

先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．

解答：

解：∵有男生560人，女生420人，

∴年级共有560+420=980

∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，

∴每个个体被抽到的概率是=，

∴要从男生中抽取560×=160，

故答案为：160

点评：

本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．

考点：

列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有

专题：

空间位置关系与距离；概率与统计．

分析：

先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可．

解答：

解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种

其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能

故该两点间的距离为的概率是=

故答案为：

点评：

本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．

考点：

循环结构．菁优网版权所有

专题：

算法和程序框图．

分析：

通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．

解答：

解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，

不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，

不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，

不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，

满足判断框的条件，退出循环，输出结果．

故答案为：．

点评：

本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力．

考点：

简单线性规划．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．

解答：

解：约束条件 对应的平面区域如图示：

由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0

在B处取最大值，由可得B（），此时z=

故Z=x+2y的取值范围为：[0，]

故答案为：[0，]

点评：

用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键．

考点：

平面向量数量积的运算．菁优网版权所有

专题：

平面向量及应用．

分析：

设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．

解答：

解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，

∴=（ ﹣）•（ ﹣）=•﹣•﹣•+，

=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，

故答案为﹣16．

点评：

本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．

解答：

解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，

∴=f（+2）=f（），

又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（）=f（），

又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，

∴f（）=+1=，

则=．

故答案为：．

点评：

本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．菁优网版权所有

专题：

导数的概念及应用．

分析：

先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．

解答：

解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，

圆心到直线y=x的距离为=2，

∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．

则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，

令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），

切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，

由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，

即解得a=或﹣．

当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．

故答案为：．

点评：

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．

考点：

解三角形．菁优网版权所有

专题：

解三角形．

分析：

（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值．

解答：

解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，

∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，

∴sinB=cosB，即tanB=，

又B为三角形的内角，∴B=；

（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a①，

∵b=3，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：9=a2+c2﹣ac②，

联立①②解得：a=，c=2．

点评：

此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．

考点：

数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．菁优网版权所有

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和

解答：

解：（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3

当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1

而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，

故an=4n﹣1，

又∵an=4log2bn+3=4n﹣1

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n

∴

=（4n﹣1）•2n

=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5

点评：

本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．

考点：

直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有

专题：

空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

分析：

（1）

（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF∥A1D1．

（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；

（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．

解答：

（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，

又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，

∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；

（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，

又∵B1C1⊥B1A1，

∴B1C1⊥平面ABB1A1，

∴B1C1⊥BA1，

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．

所以BA1⊥平面B1C1EF；

（2）解：设BA1与B1F交点为H，

连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，

在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，

所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．

点评：

本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+），由此可确定f（x）的单调区间；

（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2，构造函数g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可证得结论．

解答：

（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2﹣2a

a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）

a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+）

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调递减区间为（﹣，）；

（2）证明：由于0≤x≤1，故

当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2

当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2

设g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+）

∴函数g（x）在（0，）上单调减，在（，1）上单调增

∴g（x）min=g（）=1﹣＞0

∴当0≤x≤1时，2x3﹣2x+1＞0

∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．菁优网版权所有

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y﹣m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1﹣2（m﹣m2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．

解答：

解：（1）由题意可知得，．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），

由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），

由得，（y1﹣y2）（y1+y2）=x1﹣x2，

故k•2m=1，

所以直线AB方程为y﹣m=．

即△=4m﹣4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2﹣m．

从而|AB|==，

设点P到直线AB的距离为d，则

d=，

设△ABP的面积为S，则

S==|1﹣2（m﹣m2）|．

由△=＞0，得0＜m＜1，

令u=，，则S=u（1﹣2u2），，

则S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得u=，

所以S最大值=S（）=．

故△ABP面积的最大值为．

点评：

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．