江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题+Word版含解析

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江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1. 若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．

【答案】.

【解析】分析：先求出复数z，再求复数z的虚部.

详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-1

点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.

2. 设集合，其中，若，则实数____．

【答案】.

【解析】分析：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.

详解：因为A=B,所以故答案为：

点睛：本题主要考查集合相等的概念，集合中求出参数的值之后，一定要代入原题检验，保证参数的值满足已知的每一个条件和集合元素的互异性.

3. 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．

【答案】4.

【解析】分析：先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.

详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,

所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:4

点睛：（1）本题主要考查抛物线的基本几何性质，意在考查学生抛物线的基础知识的掌握能力.（2）注意不要把抛物线的方程写成x=2了，最好先画图再写准线方程.

4. 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为____．

【答案】.

【解析】分析:先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.

详解：由题得

所以成绩的方差为

故答案为：20.8

点睛：本题主要考查茎叶图和数据方差的计算，意在考查统计的基础知识的掌握能力.

5. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．

【答案】.

【解析】分析：先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.

详解：由题得

所以当x∈[0,1]时，S=1；

当x∈[1,2]时，

综上所述输出值的取值范围是.故答案为：

点睛：(1)本题主要考查程序框图功能的阅读和分段函数的值域.(2)对于分段函数的问题，一般是先分段处理再综合.所以本题先分别求每一段的范围，再求整个函数的值域.

6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．

【答案】.

【解析】分析：根据几何概型的概率公式解答即可.

详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.

点睛：本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力.

7. 已知函数在时取得最大值，则____．

【答案】.

【解析】分析：解方程即得解.

详解：由题得故答案为：

点睛：本题主要考查三角函数的最值，意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.

8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．

【答案】2.

【解析】分析：先化简已知,得到再代入化简即得.

详解：由题得

，故答案为：2

点睛：本题主要考查等差数列的性质，意在考查等差数列基础知识的掌握能力和基本运算.

9. 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．

【答案】.

【解析】分析：先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.

详解：由题得,

由题得AN=

所以.

所以三棱锥M-BDC的高为.

因为

所以

故答案为：

点睛：（1）解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积，点D到底面的高不是很好计算，所以考虑利用体积变换求体积，由于变到点M时，点M到底面的高计算比较方便，所以转化成求三棱锥M-BDC的体积.（2）求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换，要根据具体情况，灵活选择.

10. 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．

【答案】4.

【解析】分析：利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cosAcosB可得解.

详解：acosB﹣bcosA=c，

由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），

整理得sinAcosB=4cosAsinB，

两边同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，

故.故答案为：4

点睛：该题考查正弦定理、同角三角函数的关系以及两角和的正弦，考查学生灵活运用公式的能力．

11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．

【答案】.

【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.

详解：设点，因为，

所以

即，

因为，所以，

所以，

化简得

因为，所以

故答案为：

点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.

12. 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．

【答案】.

【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.

详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,

设P ，，

所以PQ的中点，

由题得

所以=

设，

所以，

所以=，

所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.

故答案为：

点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.

13. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．

【答案】.

【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．

详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），

∴a+b=﹣6，

∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，

由函数图象可知：＜c＜e2，

设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，

显然在（，e2]上单调递增，

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，

在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．

故答案为：2e2﹣12

点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.

14. 已知为正实数，且，则的最小值为____．

【答案】.

【解析】分析：先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.

详解：由题得，

代入已知得，

两边除以得

当且仅当ab=1时取等.

所以

即的最小值为.

故答案为：

点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．

（1）若，求证：；

（2）求证：//平面．

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【解析】分析：（1）取的中点，连结，先证明平面，再证明．(2)先证明平面平面，再证明平面．

详解：证明：（1）取的中点，连结，

因为，所以△为等腰三角形，所以．

因为，所以△为等腰三角形，所以．

又，所以平面．

因为平面，所以．

（2）由为中点，连，则，

又平面，所以平面．

由，以及，所以，

又平面，所以平面．

又，所以平面平面，

而平面，所以平面．

点睛：本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用.

16. 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.

（1）求的大小；

（2）设向量，，求的取值范围．

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：(1)即得．(2)先求出 ，再利用三角函数的图像和性质求其取值范围..................................

详解：（1）由题意，有，则，所以．

因为，所以，所以．

又，所以．

（2）由向量 ， ，得

．

由（1）知，所以，所以．

所以．

所以．

所以．即取值范围是．

点睛：本题在求 的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.

17. （本小题满分14分）

下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．

（1）求两索塔之间桥面的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

【答案】(1)500米.

(2) 两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

【解析】分析: (1) 设，，记，利用和角的正切得到t 的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．(2) 设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.

详解：（1）设，，记，则

，

由，

化简得 ，解得或（舍去），

所以，．

答：两索塔之间的距离AC=500米．

（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.

则，且，

即

记，则，

令，解得，

当，，单调递减；

当，，单调递增；

所以时，取到最小值，也取到最小值.

答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

点睛：本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.

18. 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）求证：为定值．

【答案】(1) .

(2) 或.

(3)见解析.

【解析】分析: (1) 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1,列方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出点D的坐标，再根据点C，D的坐标求直线l的斜率，即得直线l的方程. (3) 设D坐标为(x3，y3）,先求出直线BD和AC的方程，再联立两个方程化简即得=2为定值.

详解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.

得 解得

所以，椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，设，

因为，得，所以，

代入椭圆方程得或，所以或，

所以或.

所以的方程为：或.

（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，

联立椭圆方程得：解得,.

由 ，得直线BD的方程：，

因为点在直线BD上，所以， ①

直线AC方程为，

因为点在直线AC上，所以， ②

联立①②得，

从而=2为定值.

点睛：本题主要考查直线和椭圆方程的求法，考查解析几何中的定值问题，意在考查解析几何的基础知识的掌握能力、基本的运算能力和推理能力.对于解析几何中的定值问题，一般是先求出其表达式，再利用已知条件化简得到一个常数即可.

19. 已知函数R．

（1）若，

① 当时，求函数的极值（用表示）；

② 若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；

（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．

【答案】(1) ①的极大值为，的极小值为.

②存在这样实数满足条件.

(2) .

【解析】分析：（1）①先求导，再求函数的极大值和极小值. ②先，再化简式子得到a的值. （2）先求出，再根据，求满足的关系式.

详解：（1）①由及，

得，

令，解得或.

由知，，单调递增，

，单调递减，，单调递增，

因此，的极大值为，的极小值为.

② 当时，，此时不存在三个相异零点；

当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.

要使有三个不同零点，则必须有，

即.

不妨设的三个零点为，且，

则，

， ①

， ②

， ③

②-①得，

因为，所以， ④

同理， ⑤

⑤-④得，

因为，所以，

又，所以.

所以，即，即，

因此，存在这样实数满足条件.

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，

又，

由此可得，化简得，

因此，，

所以，，

所以.

点睛：(1)本题有两个难点，一个是得到，要通过计算化简得到 ，这个计算化简比较复杂，一个是求出，这个计算也比较复杂.

(2)本题主要考查利用导数求极值、导数的几何意义及利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生的导数基础知识的掌握能力及分析推理转化的能力，同时考查计算能力.

20. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．

（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；

（2）如果数列为等比数列，求的值；

（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．

【答案】(1)见解析.

(2) 或．

(3)见解析.

【解析】分析：（1）直接利用定义证明为等差数列．(2)由数列为等比数列得到

是与n无关的常数，分析得到d的值.(3)先求出，，再假设，分析证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．

详解：（1）设数列的公差为，由， ①

， ②

①-②得， ③

即，所以为常数，

所以为等差数列．

（2）由③得，即，

所以是与n无关的常数，

所以或为常数．

①当时，，符合题意；

②当为常数时，

在中令，则，又，解得，

所以，

此时，解得．

综上，或．

（3）当时，，

由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．

当时，，

当时，也满足上式，

所以．

设，则，即，

如果，因为为3的倍数，为3的倍数，

所以2也为3的倍数，矛盾．

所以，则，即．

所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．

点睛：本题的难点在第3问，由于直接证明比较困难，所以它用到的是假设分析法，先假设

存在，再分析能否找到这样的，最终完成解题目标.这种处理问

题的策略，在高中数学中有时用到，大家要理解掌握并灵活运用.

数学Ⅱ（附加题）

21. 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵的一个特征值为3，求．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．

以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．

D．选修4—5：不等式选讲

已知实数满足，，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【答案】A.见解析.

B. .

C. .

D.见解析.

【解析】分析：直接利用平面几何、矩阵、极坐标和参数方程、柯西不等式解答.

详解：A．连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.

因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.

又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，

所以OE∥AC，∴AC⊥DE．

B 解 由，得的一个解为3，代入得，

因为，所以.

C解 消去参数t，得到圆的普通方程为,

由，得,

所以直线的直角坐标方程为.

依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.

D 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，

所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.

由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，

5(1－c2)≥(1－c)2，

整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.

所以：≤c≤1.

点睛：本题主要考查平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识，意在考查学生平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识的掌握能力和基本的运算能力.

22. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

（1）求的值；

（2）求的数学期望．

【答案】(1) ,

(2)

【解析】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b的值再求的数学期望．

详解：（1）由题意，得

又，解得，

（2）由题意，

所以

点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.

23. 已知函数．

（1）当时，若，求实数的值；

（2）若，求证：．

【答案】（1）。

(2)见解析.

【解析】分析：（1）直接化简计算即得A的值. （2）先通过分析推理求出，

，再证明．

详解：（1）当时，

，

所以

，

所以.

（2）因为，

所以，

由题意，

首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.

假设，

则，而，，矛盾.

所以满足条件的是唯一的.

下面我们求及的值：

因为 ，

显然.

又因为，故，

即.

所以令，

，则，又，

所以.

点睛：本题第2问属于难题，意在考查学生二项式定理，考查学生的逻辑思维分析转化的能力和运算能力.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/00a9c5ae42323968011ca300a6c30c225901f0af.html