如图,在△abc中
题目一:
如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于
点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=,求AD的长.
分析:(1)由等腰三角
形的“三线合一”的性质知AE=AC.要证BF=2AE,只需证BF=AC,只需证△ADC≌△BD
F.(2)因为AD=AF+DF,所以可利用DF=CD求DF.由AF=FC在等腰直角三角形CDF中先求CF.
(1)证明:∵ AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.
∵ AD⊥BC,BE⊥AC
, ∴ ∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴ ∠CAD=∠CBE.
又∵ ∠CDA=∠FDB=90°,
∴ △ADC≌△BDF.∴ AC=BF.
∵ AB=BC,BE⊥AC,
∴ AE=EC,即AC=2AE.∴ BF=2AE.
(2)解:∵ △ADC≌△BDF,∴ DF=CD=
.∴ 在Rt△CDF中,CF=2.
∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2.
∴ AD=AF+DF=2+
点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种:(1)等腰三角形中的等角对等边;(2)全等三角形的对应边相等;(3)线段的垂直平分线的性质;(4)角的平分线的性质; (5)勾股定理;(6)借助第三条线段进行等量代换.
题目二:
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3
,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(Ⅰ)若PB=12,求PA;
(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
(I)在Rt△PBC中,cos∠PBC=PB BC=12
,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB•ABcos30°=(12)2+(3)2-2×12×3×32=74.
∴PA=72.
(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°-α)=sinα.
在△PBA中,由正弦定理得
ABsin∠APB=PBsin∠PAB,即
3sin150° =sinαsin(30°-α),
化为3cosα=4sinα.∴tanα=34
.