现在位置:首页> 学习教育 > 大学/成教 > 数学思想 十大数学思想方法

数学思想 十大数学思想方法

数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。下面是本站为大家带来的数学思想 十大数学思想方法,希望能帮助到大家!

  数学思想 十大数学思想方法

  一、假设法

  当应用题用一般方法很难解答时,可假设题中的情节发生了变化,假设题中两个或几个数量相等,假设题中某个数量增加了或减少了,然后在假设的基础上推理,调整由于假设而引起变化的数量的大小,题中隐蔽的数量关系就可能变得明显,从而找到解题方法。

  例:在一次登山活动中,胖楚楚上山时每分钟走50米,到达山顶后沿原路下山,每分钟走75米,胖楚楚上山下山的平均速度是多少?

  【分析与解】

  我们要求平均速度,就必须知道上、下山共走了多少米的路,可它是个未知数,我们一点也不知道,这时我们就可以假设上、下山的总路程是150米(150是50和75的最小公倍数),那么平均速度就是用总路程除以总时间就可以了。假设上山和下山分别都是150米;150÷50=3分,150÷75=2分;150×2=300米;所以平均速度是:300÷(2+3)=60(米/分)。在这其中我们也用到了另外一种方法,在数学上叫做“特殊值”代入法,在以后的学习中我们将会更多的接触到这种方法。

  还有在我们的经典类型——鸡兔同笼当中,大部分题型都是用我们的假设法。

  二、对应法

  应用题的一些数量关系之间存在着对应关系,如总数与总份数的对应,路程与时间的对应,分数、百分数应用题中量与率的对应等。解题时找准数量之间的对应关系,就能实现由未知向已知的转化。这种运用对应关系解题的方法,就是对应法。

  例:如果把两个连在一起的圆称为一对,那么图(1)中相连的圆共有多少对?

  

 

  【分析】将各圆心用线段连起来,两圆心的“连线”与“一对圆”之间可建立“一对一”的对应关系。于是将数有多少个圆,转化为数有多少条相邻圆心之间的连线。而每个“正摆”的小等边三角形有三条“连线”。所以相连的圆共有

  (1+2+3+4+5)X3=45对。

  三、从简单情况考虑

  有时候我们碰到的题目很复杂,乍一看似乎无从入手,这时候我们往往可以先从简单的情况出发,看看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。

  例:44444444888888888÷666666666的商是_____________

  【分析与解】

  这个题目我们当然可以列一个竖式来做,但这样是不是太麻烦了,观察算式的特点,4,8,6都有9个,那我们就先来看一下如果4,8,6分别各有1个,2个,3个商分别是多少,这个计算起来是非常简单的:48÷6=8 ,4488÷66=68 ,444888÷666=668 …

  444444444888888888÷666666666=666666668(8个6 ,1个8)。

  四、从极端情况考虑

  从问题的极端情况考虑,对于数值问题来说,就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来说,指的是线段的端点,三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件,求解也就会变得容易得多。

  例:新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能打开其中的一个门,但不知道哪一把钥匙开哪一个门,现在要打开所有关闭的20个门,他最多要开多少次?

  【分析与解】

  从最不利的极端情况考虑:打开第一个房间要20次,打开第二个房间需要19次……共计最多要开20+19+18+…+1=210(次)。

  五、从特殊情况考虑

  对于一个一般性的问题,如果觉得难以入手,那么我们可以先考虑它的某些特殊情况,从而获得解决的途径,使问题得以“突破”,这种方法称为特殊化。其实从问题的极端情况考虑,也是从特殊情况考虑。对问题的特殊情况进行研究,一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易;另一方面是因为特殊的情况含有一般性,所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路,它是探索问题的一种重要方法。运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤,即先由一般到特殊,再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息,还要回到一般情况予以解答。但我们能熟练使用这种方法后,就只需在特殊状态下得到答案即可。

  例:如右图,四边形ABCD和EFGH都是正方形,且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积S。

  

 

  【分析与解】

  我们先考虑正方形EFGH的特殊位置,即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况。此时,显然有S=2×2×1/4=1。

  六、从反面考虑问题(正难则反)

  解数学题,需要正确的思路。对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发,求得结论。但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考,从而使问题得到解决。

  例:某次数学测验一共出了10道题,评分方法如下:每答对一题得4分,不答题得0分,答错一题倒扣1分,每个考生预先给10分作为基础分。问:此次测验至多有多少种不同的分数?

  【分析与解】

  最高的得分为50分,最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。从正面考虑计算量较大,故我们从反面考虑,先计算有多少种分数达不到,然后排除达不到的分数就可以了。最高的得分为50分,最低的得分为0分。

  列表分析:

  

 

  不答相对与答对少的4分,答错相对与答对少得5分,这样的话不答和答错之间少1分,所以比38分少的分数的情况都存在。所以,在从0分到50分这51个分数中,有49,48,47,44,43,39这6种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。

  七、从整体考虑问题

  有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件,无从下手,这时候如果我们站的高一点,看的远一点,从整体出发去考虑问题,往往会起到意想不到的效果。

  例:现有一个3×4的长方形,现在任意横着切2刀,竖着切4刀,把长方形分成了15个小长方形,求这15个小长方形的周长之和是多少?

  

 

  【分析与解】

  很明显,这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出,如果从局部出发,是不可能求出来的。因此我们要从整体出发去考虑。

  观察发现,每横着切一刀,那么长方形就增加了两条长为4的边,即周长和增加8,而每竖着切一刀,那么长方形就增加了两条长度为3的边,即周长和增加6。因为长方形的周长为2×(3+4)=14,所以横着切2刀,竖着切4刀后周长和为:14+2×8+4×6=54 。

  八、等量代换法

  小朋友们一定都知道曹冲(曹操的小儿子)称大象的故事吧。曹冲用一条船,让大象先上船,看船被河水水面淹没到什么位置,然后刻上记号。把大象赶上岸,再把这条船装上石块,当船被水面淹没到记号的位置时,就可以判断:船上的石块共有多重,大象就有多重。

  为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样,只有当大象与一船石头一样重(重量相等)时,才会淹没得一样深。

  “曹冲称象”不是瞎称的,而是运用了“等量代换”的思考方法:两个完全相等的量,可以互相代换。解数学题,经常会用到这种思考方法。

  例:师生共52人外出春游,到达后,班主任要给每人买一瓶矿泉水,给了班长买矿泉水的钱。班长到商店后,发现商店正在进行促销活动,规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水。班长只要买 瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶。

  【分析】因为5个空瓶=1瓶水+1个空瓶;所以4个空瓶=1瓶水;

  所以每买4瓶水能够5个人喝;52/5=10......2,班长只要买10X4+2=42瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶。

  九、枚举法

  其特点是有条理,不易重复或遗漏,使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。

  例:从1到100的自然数中,每次取出两个数,要使它们的和大于100,共有多少种取法?

  【分析与解】

  在1到100中,每次取出两个数,使它们和大于100,取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数,因此我们可以采用例举类推法,通过枚举较小数的所有可能性来例举分析,类推解答。

  较小的数是1,只有一种取法,即[1,100]。

  较小的数是2,有两种取法,即[2,99]、[2,100]。

  较小的数是3,有三种取法,即[3,98]、[3,99]、[3,100]。  ……

  较小的数是50,有50种取法,即[50,51]、[50,52]……[50,100]。

  较小的数是51,有49种取法,即[51,52]、[51,53]……[51,100]。  ……

  较小的数是99的只有一种取法,即[99,100]。

  因此一共有:1+2+3+……+50+49+……+2+1=502=2500(种)。

  综上所述可以看出,此类方法适合于数目、种类不很繁杂的题;分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。

  十、奇偶性分析法

  (1)加减法的奇偶性

  1、符号无用

  2、偶数无用

  3、奇数个奇数是奇数

  (2)乘法的奇偶性

  遇偶得偶

  例:桌子上有5个杯子,开口全部朝上,每次同时翻其中的4个,请问是否可以经过有限次翻动使得5个杯子都开口向下。

  【分析与解】

  一个杯子从开口向上变为开口向下,要翻动奇数次,5个杯子翻动的次数和为5个奇数的和,因此是奇数;从总体考虑,每次翻动4个,因此总次数是4的倍数,必然是偶数。由于奇数不等于偶数,所以不可能经过有限次翻动使得5个杯子,使得所有5个杯子都开口向下。