南昌市2014—2015学年度第一学期高二年级期末考试
数学（理科乙卷）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共21小题．共150分。共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3、请保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列说法正确的是
A．命题“若则
”的否命题为：“若
，则
”；
B．命题“若，则
”的逆否命题为真命题．
C．命题“、
都是有理数”的否定是“
、
都不是有理数”；
D．“”是“
”的必要不充分条件；
3．由直线，曲线
及
轴所围图形的面积为
A．3 B．7 C． D．
4．若函数，则
A. B.
C.
D.
5．命题：对任意
，
，则
为. [来源:Z#xx#k.Com]
A．存在，
B．对任意
，
C．存在，
D．对任意
，
6．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
A.1 B.2 C. D.4
7．函数在
处导数存在，若
，
是
的极值点，则
A．是
的充分必要条件
B．是
的充分条件，但不是
的必要条件
C．是
的必要条件，但不是
的充分条件
D．既不是
的充分条件，也不是
的必要条件
8. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为
A． B．
C． D．
9．设函数，则
A．为
的极大值点 B．
为
的极小值点
C．为
的极大值点 D．
为
的极小值点
10．已知函数，若
在区间
上单调递减，则实数
的取值 范围是
A． B．
C．
D．
11．用数学归纳法证明“时，从 “
到
”时，左边应增添的式子是
A． B．
C．
D．
12．若曲线C1：与曲线C2：y－mx－m＝0有2个不同的交点，则实数m的取值 范围是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）
13．若复数
为纯虚数，则实数
的值为 ；
14．计算: .
15．已知函数，其导函数记为
，则
＝______________.
16.在函数的图象上任取两个不同的点
、
，总能使得
，则实数
的取值范围为____．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
已知命题p：曲线为双曲线；命题q：函数
在R上是增函数；若命题“p或q”为真，命题
“p且q”为假，求实数
的取值范围．
18. （本小题满分12分）
（1）用分析法证明：
（2）已知，
且
，求证：
，
中至少有一个小于2．
19．（本小题满分12分）
已知函数在
与
处都取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间
上的最大值与最小值．
20. （本小题满分12分）
已知数列满足：
，
（1）计算的值；
（2）由（1）的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆：上任意一点到两焦点
距离之和为
，离心率为
，动点
在
直线
上，过
作直线
的垂线
，设
交椭圆于
点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线与直线
的斜率之积是定值；
22. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线在
和
处的切线互相平行，求
的值；
（2）若在区间
上是增函数，求
的取值范围；
（3）若对任意，均有
恒成立，求
的取值范围．
南昌市2014—2015学年度上学期
高二期末理科数学试卷（乙）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项是正确的）
1．【解析】因为，复数
对应的点位于第一象限，故选A。
2．【解析】试题分析：对于选项A，命题“若则
”的否命题为：“若
，则
”，A错误；
对于选项B，命题“若，则
”的逆否命题为真命题，B正确；
对于选项C，命题“、
都是有理数”的否定是“
、
不都是有理数”，C错误；
对于选项D，“”能推出“
”，但“
”不能推出“
”，所以“
”是“
”的充分不必要条件，D错误.故应选B.
考点：命题的真假判断与应用.
3．【解析】由直线，曲线
及
轴所围图形的面积为
，故选C．
4．【解析】因为，所以
则
.故选B.
5．【解析】全称命题的否定是特称命题，并且结论要改为相反，故选C。
6．【解析】∵＝
≠
，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝
＝2.
7．【解析】若是函数
的极值点，则
；若
，则
不一定是极值点，例如
，当
时，
，但
不是极值点，故
是
的必要条件，但不是
的充分条件，选C ．
8.【解析】由图知，(a＋c)2＝(b2＋c2)＋c2，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝，故e＝
.
9．【解析】首先求出导函数，然后令
，解得
，且当
时，
；当
时，
；由极值定义知，函数
在
处取得极小值，即
是
的极小值点．故选D．
10．【解析】,知函数在
上单调递减，若
在区间
上单调递减，可得
，解得
.
11．【解析】试题分析：当时，左边=
；
当时，左边=
．
12．【解析】曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2： y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为恒过定点(－1，0)的直线l．当圆心(1，0)到直线l：y－mx－m＝0的距离小于1时，它们有2个不同的交点，
所以，解得：
，故选A。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．
15．2 16．
13．【解析】因为复数为纯虚数，则
，解得
。
14．【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆:的面积.
15．【解析】为奇函数，则
为偶函数，
则，即
，
且，从而
。
16.【解析】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是a≥＝
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：p为真时，(a－2)(6－a)＞0，解得2＜a＜6．---------------2分
q为真时，4－a＞1，解得a＜3．---------------4分
由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知命题p，q中一真一假．---------------5分
当p真，q假时，得3≤a＜6．---------------7分
当p假，q真时，得a≤2．---------------9分
因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．---------------10分
18.解：（1）要证：；即证：
；
即证：；即证：
；
即证：；即证：
；而
显然成立，且以上各步皆可逆，
所以： ---------------6分
（2）证明：假设，
都不小于2，则
，
，
， 即
，
这与已知矛盾，故假设不成立，从而原结论成立. ……………………-12分
19．解:（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f'（x）＝3x2＋2ax＋b ……………………1分
由f'（）＝
，f'（1）＝3＋2a＋b＝0 ……………………3分
得a＝，b＝－2 …………………………………………………………………5分
经检验，a＝，b＝－2符合题意
所以，所求的函数解析式为： …………………… 6分
（2）由（）得f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），………………… 7分
列表如下：
且 ………………11分
所以当时，
…………12分
20. 解 （1） 由，当
时，
，
当时，
， 当
时，
. …………5分
（2）由（1）猜想………………………………………………6分
证明：(1) 当时，
成立 ………………………………………………7分
(2)假设时，
成立,
那么，当时有
即时成立. …………………………………………………………………11分
综合(1) 和(2)，由数学归纳法可知，对所有正整数，成立.………………12分
21.解：（1）由条件得：，解得：
，
所以椭圆：
---------------5分
（2）设
，所以：
，即：
------------7分
又因为：，且
，-----
---10分
代入化简得： -
--------12分
22.解：（1）∵f（x）=ax2﹣（2+5a）x+5lnx，∴，x＞0．
∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，
∴f′（3）=f′（5），即6a﹣（2+5a）+=10a﹣（2+5a）+1，解得a=
．---------------3分
（2）∵=
，x＞0，
依题意有，在
上恒成立,即
恒成立,所以
在
上恒成立,
因为,所以
,得到
，所以
的取值范围为
---------------7分
（3）由（2）知：①当a≤时，f（x）在（0，
]上单调递增，
故f（x）max=f（）=
=﹣
﹣5+5ln
，
∴﹣﹣5+5ln
＜0，解得a＞
．故
．………9分
②当a＞时，0＜
，在区间（0，
）和（
）上，f′（x）＞0；在（
，
）上，f′（x）＜0，即当a＞
时，f（x）在（0，
]上单调递增，在（
，
]上单调递减，
故f（x）max=f（）=﹣5﹣
+5ln
=﹣
，
由a，知
，∴
，∴
，
∴a＞．f（x）max＜0．---------------11分
综上所述a的取值范围是．---------------12分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fd4cd959ed630b1c58eeb519.html
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