第一节：函数的有界性和最值
一、有界性
定义1：设为函数
定义域的子集，若
，使得
有
(或
)，
则称在
上有上(或下)界.称
为它的一个上(或下)界.
定义2：设为函数
定义域的子集，若
，使得
有
(或
)，则称
在
上有上(或下)界函数.称
为它的一个上(或下)界函数.
二、最值
略
三、例题讲解
例1、求证函数在
上无上界.
证明：对于任意的，只需证明
使得
.
为此：取
要使得：，只需要
，可取
故函数在
上无上界.
例2、(北约2010)求方程的实根的个数.
解：注意到
所以：方程左边，从而方程无实根.
例3、，若
在
上的最大值为
，则
的最小值为 .
解：，
则
故，
时取得等号.
例4、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层一人.而电梯只允许停一层，只可让一人满意，其余18人都要步行上楼或下楼.假定乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人的不满意度和为，为使得
最小，电梯应停在第 层.
解：设电梯应停在第层(
)，则
则当时，
最小.
例5、求函数的最小值.
解：定义域为
当时，
和
均为减函数，从而
为减函数，
当时，
和
均为增函数，从而
为增函数，
从而，.
例6、，则
的最小值为 .
解：当时，
的最小值为
在数轴上
两点之间取得.
，
，
分别在区间
中取最小值33,7,3，和为43.
例7、(2011北约)求的最小值.
解：由绝对值的几何意义：的最小值为
在数轴上
两点之间取得.
所以将整理为
共有
=
项，则
可理解为
到这
个点的距离之和.从两端开始向中间靠拢，
的最小值在
取得，
的最小值在
取得，
………
所以的最小值应在正中间某个零点或相邻的两个零点之间取得
由可得取得最小值的
的围在第
个零点和第
个零点之间(易得这两个零点相同)
由，所以第
个零点和第
均为
，则
.
例8、对给定的正数，
，试求函数
在区间
上的最大值.
解法一、为方便起见，令，则有
，
所以
等号成立当且仅当即
，解得
注意到，
，易证明
，
故当时，
在区间
上的最大值
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解法二：
如图，线段的长度为1，
为线段
上的任一点，
，作直角梯形
使得
，则
(可使得
，显然在图中恒有
)
于是，
在中，由余弦定理及条件
，得
所以
等号成立当且仅当为矩形
作业：
1.设是实数，求
的最小值.
解法一：配方
解法二：配方，再用不等式平方平均值大于等于算数平均值，即可
解法三：判别式法
解法四：换元消去交叉项，再配方
2.若，则
的最小值为 .
解：判别式法，最小值为.
3.，则
的最小值为 .
解：
所以当时，函数的最小值为
.
4.(2009年湖北改编)函数，
的最大值为
.若
对任意的
恒成立，试求
得最大值.
解：.
5.设函数，对于给定的负数
有一个正数
，使得在整个区间
上，不等式
都成立.问：
为何值时
最大？求出这个最大的
，并证明你的结论.
解：时，
.
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