（完整版）阿波罗尼斯圆问题

阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】

苏教版《数学必修2》P.112第12题：

已知点与两个定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点所构成的曲线．

二、【阿波罗尼斯圆】

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．

如图，点为两定点，动点满足，

则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，

后世称之为阿波罗尼斯圆．

证：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则．

又设，则由得，

两边平方并化简整理得，

当时，，轨迹为线段的垂直平分线；

当时，，轨迹为以点为圆心，长为半径的圆．

上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．

三、【范例】

例1 满足条件的三角形的面积的最大值是 ．

解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则

，设，由得，

平方化简整理得，∴，则

，∴的最大值是．

变式 在中，边的中点为，若，则的面积的最大值是 ．

解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，

由知，，的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为

，设，的中点为得，所以点的轨迹方程为

，即，

∴，故的最大值是．

例2 在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是 ．

解：设，则 ，

整理得，即动点在以为圆心，为半径的圆上运动．

另一方面，由知动点在线段的垂直平分线上运动，因而问题就转化为直线与圆有交点，

所以，故实数的取值范围是．

例3 在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为 ，圆心在上.

若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

解： 设，则圆方程为

又设， ， 即

这说明既在圆上，又在圆上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，

，

解得，即的取值范围是．

例4 已知⊙和点.

（1）过点向⊙引切线，求直线的方程；

（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；

（3）设为（2）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设切线方程为 ，易得，解得，

∴切线方程为．

（2）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则

∴⊙的方程为

（3）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，

根据题意可得，∴，

即 （*），

又点在圆上∴，即，代入（*）式得：

若系数对应相等，则等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；

点的坐标为时，比值为．

四、【练习】

1．如图，在等腰中，已知，，

边的中点为，点的轨迹所包围的图形的面积等于 ．

解：∵，所以点的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其

方程为，

设，由边的中点为知，所以的

轨迹方程为，即，面积为．

2．如图，已知平面平面，、是平面与

平面的交线上的两个定点，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，求的面积的最大值．

解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化

为平面内点所满足的几何条件．

,在中, ，

同理，

，这样就转化为题3的题型．

在平面上,以线段的中点为原点,所在的直线为轴,建立平面直角坐标系，则，设则有

化简得:，，，

的面积为，当且仅当等号取得，则的面积的最大值是．

3．圆与圆的半径都是，，过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.

解：以，的中点O为原点，，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则，，由已知得，

因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y），

则， 即，此即P的轨迹方程.

4．已知定点，点是圆上任意一点，请问是否存在不同于的定点使都为常数？若存在，试求出所有满足条件的点的坐标,若不存在，请说明理由．

解：假设存在满足条件的点，设，．

则， 又满足，

联立两式得 ，

由的任意性知，解得，．

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