南陵县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南陵县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（ ）

A．∀a∈R+，方程C表示椭圆 B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线

C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆 D．∃a∈R，方程C表示抛物线

2． 若当时，函数（且）始终满足，则函数的图象大致是

（ ）

【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．

3． 若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（ ）

A．a＞ B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1

4． 为了得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象上所有的点（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

5． 如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x

6． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）

A． B． C． D．

7． 若，则

A、 B、 C、 D、

8． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ）

A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0

9． 如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]

A．2对 B．3对 C．4对 D．6对

10．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ）

A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8

11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．5.6%

12．已知直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆的两个交点为，当最小时，的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a1+3a2，则公比q=　　　　　　．

14．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是　　．

15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；

②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；

⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．

其中真命题是　　　　　　（写出所有真命题的序号）

16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是　 　．

17．在直角梯形分别为的中点，

点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，

则的取值范围是___________．

18．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　　　　　．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数在定义域上是单调增函数，求的最小值；

（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.

20．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，

（）．

（1）求和；

（2）若，求数列的前项和．

21．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．

（1）求Sn的最小值及相应n的值；

（2）求Tn．

22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．

（1）求BD长；

（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x．

（1）求当x＞0时f（x）的解析式；

（2）画出函数f（x）在R上的图象；

（3）写出它的单调区间．

24．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱

上的一点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.

南陵县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆

∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；

∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线

∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确

∵不论a取何值，方程C：中没有一次项

∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确

综上所述，可得B为正确答案

故选：B

2． 【答案】

【解析】由始终满足可知．由函数是奇函数，排除；当时，，此时，排除；当时，，排除，因此选．

3． 【答案】B

【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，

设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，

由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，

即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，

在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，

要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，

则﹣1＜﹣a＜，

即﹣＜a＜1，

故选：B．

【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．

4． 【答案】A

【解析】解：∵，故将函数y=cos2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，

可得函数y=cos（2x+1）的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，

|PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①

由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，

|MF2|=|NF1|=n，

即有m﹣1=n，②

由①②解得a=1，

由|F1F2|=4，则c=2，

b==，

由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，

即有渐近线方程为y=x．

故选D．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．

6． 【答案】D

【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，

由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，

故这种分数是可约分数的共有个，

则分数是可约分数的概率为P==，

故答案为：D

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7． 【答案】A

【解析】 选A，解析：

8． 【答案】A

【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，

∴a＜0，

且△=b2﹣4ac＜0，

综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．

故选A．

9． 【答案】B

【解析】

试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选B．

考点：异面直线的判定．

10．【答案】C

【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）

∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m

由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；

f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②

由①②得到m＞6为所求．

故选C

【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值

11．【答案】C

【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为

0.032×10+0.024×10=0.56

故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%

故选C

【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．

12．【答案】A

【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆的方程为，直线的普通方程为，直线过定点，∵，∴点在圆的内部．当最小时，直线直线，，∴直线的斜率为，∴，选A．

二、填空题

13．【答案】　2　．

【解析】解：设等比数列的公比为q，

由S3=a1+3a2，

当q=1时，上式显然不成立；

当q≠1时，得，

即q2﹣3q+2=0，解得：q=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了等比数列的前n项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

14．【答案】　（﹣4，0]　．

【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；

当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，

则满足，

即，

∴

解得﹣4＜a＜0，

综上：a的取值范围是（﹣4，0]．

故答案为：（﹣4，0]．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．

15．【答案】　①②④　

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；

对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；

对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，

∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；

对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，

设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，

∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

16．【答案】0

【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，

∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．

故答案为：0．

17．【答案】

【解析】

考点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

18．【答案】　　．

【解析】解：∵PF1⊥PF2，

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．

∵双曲线方程为x2﹣y2=1，

∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8

又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，

∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4

因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12

∴|PF1|+|PF2|的值为

故答案为：

【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）；（2）.1111]

【解析】

则对恒成立，即对恒成立，

而当时，，

∴.

若函数在上递减，

则对恒成立，即对恒成立，

这是不可能的.

综上，.

的最小值为1. 1

（2）由，

得，

即，令，，

得的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：分离参数word/media/image165_1.png恒成立（word/media/image166_1.png即可）或word/media/image167_1.png恒成（word/media/image168_1.png即可）；数形结合；讨论最值word/media/image171_1.png或word/media/image172_1.png恒成立；讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

20．【答案】（1），或，；（2）.

【解析】

试题解析：（1）设的公差为，的公比为，

由题意得解得或

∴，或，．

（2）若，由（1）知，

∴，

∴．

考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.

21．【答案】

【解析】解：（1）Sn=2n2﹣19n+1=2﹣，

∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．

（2）由Sn=2n2﹣19n+1，

∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．

由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0．

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n2+19n﹣1．

n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an

=﹣2S5+Sn

=2n2﹣19n+89．

∴Tn=．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．

∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，

∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．

∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．

∴AD=AO …

【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．

23．【答案】

【解析】解：（1）若 x＞0，则﹣x＜0…（1分）

∵当x＜0时，f（x）=（）x．

∴f（﹣x）=（）﹣x．

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣（）﹣x=﹣2x．…（4分）

（2）∵（x）是定义在R上的奇函数，

∴当x=0时，f（x）=0，

∴f（x）=．…（7分）

函数图象如下图所示：

（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）

无增区间…（12分）

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．

24．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f8d97b4c86c24028915f804d2b160b4e767f8182.html