初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦

1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

解：（1）①∵秒，

∴厘米，

∵厘米，点为的中点，

∴厘米．

又∵厘米，

∴厘米，

∴．

又∵，

∴，

∴． （4分）

②∵， ∴，

又∵，，则，

∴点，点运动的时间秒，

∴厘米/秒． （7分）

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，

由题意，得，

解得秒．

∴点共运动了厘米．

∵，

∴点、点在边上相遇，

∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）

2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．

（1）直接写出两点的坐标；

（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；

（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

解（1）A（8，0）B（0，6） 1分

（2）

点由到的时间是（秒）

点的速度是（单位/秒） 1分

当在线段上运动（或0）时，

1分

当在线段上运动（或）时，,

如图，作于点，由，得， 1分

1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3） 1分

3分

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），

与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8.

由题意，OP=－k，

∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，

∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，

∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，

∴PE=.

∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，

∴△AOB∽△PEB，

∴，

∴

∴，

∴，

∴.

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，

∴k=－－8，

∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.

4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：

5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

解：（1）1，；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴．

∴，

即．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得，

即． 解得．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，

即． 解得．

（4）或．

①点P由C向A运动，DE经过点C．

连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

，．

由，得，解得．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

，】

6如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．

（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；

②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；

（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．

解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,

∴∠A=300.

∴AB=4,AC=2.

∴AO== . ……………………8分

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分

7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．

（1）求的长．

（2）当时，求的值．

（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形

∴ 1分

在中，

2分

在中，由勾股定理得，

∴ 3分

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形

∵

∴

∴

∴ 4分

由题意知，当、运动到秒时，

∵

∴

又

∴

∴ 5分

即

解得， 6分

（3）分三种情况讨论：

①当时，如图③，即

∴ 7分

②当时，如图④，过作于

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得

在中，

又在中，

∴

解得 8分

解法二：

∵

∴

∴

即

∴ 8分

③当时，如图⑤，过作于点.

解法一：（方法同②中解法一）

解得

解法二：

∵

∴

∴

即

∴

综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分

8如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.

（1）求点到的距离；

（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.

①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；

②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

解（1）如图1，过点作于点 1分

∵为的中点，

∴

在中，∴ 2分

∴

即点到的距离为 3分

（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．

∵∴

∵∴，

同理 4分

如图2，过点作于，∵

∴

∴

∴

则

在中，

∴的周长= 6分

②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．

当时，如图3，作于，则

类似①，

∴ 7分

∵是等边三角形，∴

此时， 8分

当时，如图4，这时

此时，

当时，如图5，

则又

∴

因此点与重合，为直角三角形．

∴

此时，

综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分

9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）（1，0） 1分

点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分

（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．

∴．

在Rt△AFB中， 3分

过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．

∵ ∴△ABF≌△BCH．

∴．

∴．

∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分

（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，

则△APM∽△ABF．

∴． ．

∴． ∴．

设△OPQ的面积为（平方单位）

∴（0≤≤10） 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分

此时P的坐标为（，） ． 7分

（4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：（1）正确． （1分）

证明：在上取一点，使，连接． （2分）

．，．

是外角平分线，

，

．

．

，，

．

（ASA）． （5分）

． （6分）

（2）正确． （7分）

证明：在的延长线上取一点．

使，连接． （8分）

．

．

四边形是正方形，

．

．

．

（ASA）． （10分）

． （11分）

11已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．

（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；

（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．

解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，

则.

设点的坐标为.

则.

于是.

在中，由勾股定理，得，

即，解得.

点的坐标为. 4分

（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,

则.

由题设，

则，

在中，由勾股定理，得.

，

即 6分

由点在边上，有，

解析式为所求.

当时，随的增大而减小，

的取值范围为. 7分

（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.

则.

又，有.

.

有，得. 9分

在中，

设，则.

由（Ⅱ）的结论，得，

解得.

点的坐标为. 10分

12问题解决

如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）

解：方法一：如图（1-1），连接．

由题设，得四边形和四边形关于直线对称．

∴垂直平分．∴ 1分

∵四边形是正方形，∴

∵设则

在中，．

∴解得，即 3分

在和在中，

，

，

5分

设则∴

解得即 6分

∴ 7分

方法二：同方法一， 3分

如图（1－2），过点做交于点，连接

∵∴四边形是平行四边形．

∴

同理，四边形也是平行四边形．∴

　　　∵

　　　在与中

　　　∴ ５分

∵ 6分

∴ 7分

类比归纳

（或）；； 10分

联系拓广

12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f85e96caa5e9856a5712604a.html