2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程
[对应学生用书P12]
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)互化的前提条件：
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合．
②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x轴的正半轴重合．
③两种坐标系中取相同的长度单位．
(2)互化公式：
(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝.
ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？
提示：唯一的一个，x2＋y2＝1.
[对应学生用书P13]
[例1] 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)(x－5)2＋y2＝25.
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．
[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，
∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.
∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.
∴tan θ＝－1.
∴θ＝(ρ≥0)和θ＝
(ρ≥0)．
综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为
θ＝(ρ≥0)和θ＝
(ρ≥0)．
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，
即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.
∴ρ＝－2acos θ.
∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acos θ.
(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.
把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式得：
ρ2－10ρcos θ＝0.
即ρ＝0或ρ＝10cos θ.
∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，
∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.
将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．
1．把圆的直角坐标方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标方程．
解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得(ρcos θ－a)2＋(ρsin θ－b)2＝r2.
如果设圆心(a，b)的极坐标为(ρ0，θ0)，则
a＝ρ0cos θ0，b＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：
(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r2.
∴ρ2(cos2θ＋sin2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ(cos2θ0＋sin2θ0)＝r2.
∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
这就是所求的圆的极坐标方程.
[例2] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．
(1)ρsin θ＝1；
(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0；
(3)ρ＝－2cos θ；
(4)ρ＝cos θ－2sin θ.
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和
ρsin θ.
[精解详析] (1)ρsin θ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．
(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，
∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．
(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ，
∴x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1.
表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．
(4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得
ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0，
即2＋(y＋1)2＝
2.
表示的是以为圆心，半径为
的圆．
极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x，ρsin θ换成y，ρ2换成x2＋y2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x，y不同时为0的限制．
2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝8；
(2)ρ＝2cos.
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8，
所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝8.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝8.
(2)因为ρ＝2cos θcos＋2sin θsin
＝cos θ＋
sin θ，
所以ρ2＝ρcos θ＋
ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－
y＝0.
[例3] 求两个圆ρ＝4cos θ，ρ＝4sin θ的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系．
[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．
[精解详析] 法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin θ的圆心为(2，)，半径为2.
两圆圆心的距离为
d＝＝2
.
而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0.
∴两圆相交．
法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ，
∴ρ＝4cos θ可化为x2＋y2－4x＝0，
即(x－2)2＋y2＝4，
∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆．
ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ，
∴ρ＝4sin θ可化为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，
∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆．
两圆的圆心距为d＝＝2
，
两圆半径之和为4，之差为0，
∴两圆相交．
对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
3．已知直线的极坐标方程为ρsin＝
，求点A
到这条直线的距离．
解：把点A化为直角坐标为(
，－
)．
把直线ρsin＝
化为直角坐标方程为
ρsin θ·cos＋ρcos θ·sin
＝
，
即x＋
y＝
，∴x＋y＝1.
∴点A(，－
)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝
，
故点A到直线ρsin
＝
的距离为
.
本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．
[考题印证]
(辽宁高考改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－)＝2
.
求C1与C2的交点的极坐标．
[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
[自主尝试] 由ρ＝，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y得，
圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0，
由 解得
所以圆C1，直线C2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，
再由ρ＝，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，将交点的直角坐标化为极坐标
，
.
所以C1与C2的交点的极坐标，
.
[对应学生用书P14]
一、选择题
1．将方程θ＝(ρ≥0)化为直角坐标方程为( )
A．y＝x B．y＝x(x≥0)
C．y＝x(x≤0) D．y＝x(x≥0)
解析：选B `∵tan＝
(x≠0)，∴
＝1(x≠0)．
∴y＝x.而θ＝(ρ≥0)表示射线，
∴所求的直角坐标方程为y＝x(x≥0)．
2．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )
A．ρ＝2(sin θ－cos θ) B．ρ＝2(cos θ－sin θ)
C．ρ＝2sin θ D．ρ＝2cos θ
解析：选A 如图所示，圆的半径为
＝
，
∴圆的直角坐标方程为
(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＝－2(x－y)，化为极坐标方程，
得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)．
3．直线l1：ρsin(θ＋α)＝a和l2：θ＝－α的位置关系是( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1和l2重合 D．l1和l2斜交
解析：选B 对于l1可化为xsin α＋ycos α＝a，k1＝－，
对于l2可化为xcos α－ysin α＝0，k2＝，
∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2，故选B.
4．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ.
∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．
二、填空题
5．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝
，设所求的弦长为l，则12＝
2＋
2，解得l＝
.
答案：
6．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A
化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，则|OB|＝
，θ＝
，故B点的极坐标是B
.
答案：
7．过极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是________．
解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM.
∵M为弦ON的中点，
∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．
∴点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.
法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
∵N点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①
∵M是ON的中点，∴
将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.
答案：ρ＝4cos θ
8．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则CP＝________.
解析：如图，
由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC＝2，又因为点P的极坐标为
，所以OP＝4，∠POC＝
，在△POC中，由余弦定理得CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos
＝16＋4－2×4×2×
＝12，所以CP＝2
.
答案：2
三、解答题
9．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x.
即x2＋y2－2x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2－2x－2y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)法一：由
解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,0)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝0.
法二：①－②得y＝0，
即y＝0为过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得，
ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为
x＋
y＝1，即x＋
y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0);
当θ＝时，ρ＝
，所以N
.
(2)M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为.
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为
θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
11．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，则ρ1＝，
ρ2＝＝
.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝
＝＝6，
∴＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
.
故直线AB的极坐标方程为θ＝或θ＝
或θ＝
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f83c5fa9a36925c52cc58bd63186bceb18e8ed09.html
文档为doc格式