2019年湖南省郴州市中考数学试题（原卷+解析）含答案

2019年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q

2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（　　）

A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（ x2）3＝x5 B．+＝ C．x•x2•x4＝x6 D．＝

5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（　　）

A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式

B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式

C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式

D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式

7．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB

8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（　　）

A． B．2 C． D．4

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）二次根式中，x的取值范围是　 　．

10．（3分）若＝，则＝　 　．

11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为　 　度．

12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是　 　．

13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：

观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶．

14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2　 　s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）

15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　 　．（结果保留π）

16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为　 　．

三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）

17．（6分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．

18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．

19．（6分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．

20．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　 　人，m＝　 　，并补全条形统计图；

（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？

（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）

21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？

（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

22．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．

（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？

23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）延长CO交⊙O于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）

24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1　 　y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝2时，求自变量x的值；

③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；

④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）点F是线段AD上一个动点．

①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？

②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

2019年湖南省郴州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的相反数的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：﹣2的相反数是2，

故选：D．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合

3．（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（　　）

A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4×107．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（ x2）3＝x5 B．+＝ C．x•x2•x4＝x6 D．＝

【分析】根据幂的乘方法则判断A；先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据二次根式的除法法则判断D．

【解答】解：A、（ x2）3＝x6，故本选项错误；

B、+＝+2＝3，故本选项错误；

C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误；

D、＝，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键．

5．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【分析】求出△的值即可判断．

【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，

△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，

∴有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（　　）

A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式

B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式

C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式

D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式

【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可．

【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；

B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式不合适；

C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查的方式不合适；

D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合适，

故选：A．

【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识，解题的关键是能够了解两种调查方式的优缺点，难度不大．

7．（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB

【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．

【解答】解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，

∴PA＝PB，故A选项正确；

OA＝OB，故B选项正确；

OE＝OF，故C选项错误；

PO⊥AB，故D选项正确；

故选：C．

【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．

8．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（　　）

A． B．2 C． D．4

【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．

【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，

由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，

∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，

在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，

即（6+x）2+（x+4）2＝102，

整理得，x2+10x﹣24＝0，

解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），

∴x＝2，

即正方形ADOF的边长是2；

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）二次根式中，x的取值范围是　x≥2　．

【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．

【解答】解：根据题意，得

x﹣2≥0，

解得，x≥2；

故答案是：x≥2．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

10．（3分）若＝，则＝　　．

【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．

【解答】解：∵＝，

∴2x+2y＝3x，

故2y＝x，

则＝．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．

11．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为　100　度．

【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠3＝∠4，

∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，

∴130°＝30°+∠3，

解得：∠3＝100°．

故答案为：100．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题关键．

12．（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是　8　．

【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，

故这组数据的中位数是8．

故答案为：8．

【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．

13．（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：

观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　150　瓶．

【分析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题，

【解答】解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有，

解得，

∴y＝5x+115，

当x＝7时，y＝150，

∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，

故答案为150．

【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．

14．（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2　＜　s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．

【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2＜S乙2．

故答案为：＜．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

15．（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　10π　．（结果保留π）

【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，

∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π，

故答案为10π．

【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．

16．（3分）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为　8　．

【分析】由反比例函数的对称性可知OA＝OC，OB＝OD，则S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．

【解答】解：∵A、C是两函数图象的交点，

∴A、C关于原点对称，

∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，

又∵反比例函数y＝的图象上，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝×4＝2，

∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，

故答案为：8．

【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出OA＝OC，OB＝OD是解题的关键，注意k的几何意义的应用．

三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）

17．（6分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

【解答】解：原式＝1﹣2×+﹣1+2＝2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a＝．

【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：﹣

＝

＝

＝

＝

＝，

当a＝时，原式＝＝＝1．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19．（6分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．

【分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠FAE＝∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

又∵∠FEA＝∠CED，

∴△FAE≌△CDE（ASA），

∴CD＝FA，

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．

20．（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　200　人，m＝　35　，并补全条形统计图；

（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？

（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）

【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；

（2）利用样本估计总体思想求解可得；

（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到A，C两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%＝200（人），

则m%＝×100%＝35%，即m＝35，

C景区人数为200﹣（20+70+20+50）＝40（人），

补全条形图如下：

故答案为：200，35；

（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%＝420（人）；

（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，

所以选到A，C两个景区的概率为＝．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？

（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【分析】延长CB交过A点的正东方向于D，则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝45°，∠BAD＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，BD＝＝5，即可得出答案．

【解答】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：

则∠CDA＝90°，

由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，

∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，

∴BD＝＝5，

∴BC＝CD﹣BD＝15﹣5≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；

答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．

22．（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．

（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？

【分析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量＝8×A型机器的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案．

【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，

依题意，得：＝，

解得：x＝6，

经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，

∴x+2＝8．

答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．

（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，

依题意，得：，

解得：6≤m≤8．

∵m为正整数，

∴m＝6，7，8．

答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）延长CO交⊙O于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）

【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB，得到∠ODC＝∠OBC＝90°，即可证得结论；

（2）根据圆周角定理得到∠BOD＝120°，然后根据弧长公式求得即可．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵CD与⊙O相切于点D，

∴∠ODC＝90°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，

∴∠COB＝∠COD，

在△COD和△COB中

，

∴△COD≌△COB（SAS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CEB＝30°，

∴∠COB＝60°，

∵∠COB＝∠COD，

∴∠BOD＝120°，

∴的长：＝π．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1　＜　y2，x1　＜　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝2时，求自变量x的值；

③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；

④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

【分析】（1）描点连线即可；

（2）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；

②当y＝2时，2＝|x﹣1|，则有x＝3或x＝﹣1；

③由图可知﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，当y3＝y4时x3+x4＝2；

④由图象可知，0＜a＜2；

【解答】解：（1）如图所示：

（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），

A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；

C（x1，），D（x2，6），

C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；

故答案为＜，＜；

②当y＝2时，2＝﹣，∴x＝﹣（不符合）；

当y＝2时，2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1；

③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，

∴﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，

∵y3＝y4，

∴x3+x4＝2；

④由图象可知，0＜a＜2；

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．

25．（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

【分析】（1）由折叠图形的性质可得∠DA1E＝∠EB1H＝90°，∠DEA1+∠HEB1＝90°从而可得∠DEA1＝∠EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH；

（2）由A1恰好落在直线MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证△A1DE≌△A1DF，即可得∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

（3）将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到△G′GF中结合∠DGF＝150°，可得△G′GF为直角三角形，由勾股定理可得G'G2+GF2＝G'F2，即可证明DG2+GF2＝GE2，

【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，

∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．

又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，

∴∠DEA1＝∠EHB1，

∴△A1DE∽△B1EH；

（2）结论：△DEF是等边三角形；

理由如下：

∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，

∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，

在△A1DE和△A1DF中

，

∴△A1DE≌△A1DF（SAS），

∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，

又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．

∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，

理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），

∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，

∴△DGG'是等边三角形，

∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，

∵∠DGF＝150°，

∴∠G'GF＝90°，

∴G'G2+GF2＝G'F2，

∴DG2+GF2＝GE2，

【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的性质等知识，解（3）题的关键是灵活运用旋转得全等三角形，构造Rt△G′GF．

26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）点F是线段AD上一个动点．

①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？

②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（﹣1，4）；

（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC＝3，DC＝，AD＝2，可得△ACD为直角三角形，若CF＝，则点F为AD的中点，可求出k的值；

②由条件可判断∠DAC＝∠OBC，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点F的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4

∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，

∴AC2＝OA2+OC2＝18，

∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），

∴CD2＝12+12＝2

∴AD2＝22+42＝20

∴AC2+CD2＝AD2

∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．

∵，

∴F为AD的中点，

∴，

∴．

②在Rt△ACD中，tan，

在Rt△OBC中，tan，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠FAO＝∠ACB，

若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：

当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，

∴OF∥BC，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，

∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，

设直线AD的解析式为y＝mx+n，

∴，解得：，

∴直线AD的解析式为y＝2x+6，

∴，解得：，

∴F（﹣）．

当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，

∵∠CAB＝45°，

∴OF⊥AC，

∴直线OF的解析式为y＝﹣x，

∴，解得：，

∴F（﹣2，2）．

综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

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