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一元三次方程的解法详细

发布时间：2020-06-08 18:07:25 来源：文档文库

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详细一元三次方程的解法

先把方程化为的形式：

令，则原式变成

如此一来二次项就不見了，化成，其中，。

---------------------------

对方程直接利用卡尔丹诺公式：

其中。

是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。

附：方程　（2）求根公式的推导过程：

不妨设p、q均不为零，令（3）

代入（2）得，（4）

选择u、v，使得，即（5）

代入（4）得，（6）

将（5）式两边立方得，（7）

联立（6）、（7）两式，得关于、的方程组：

于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程的两根、。

设，，，

又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中、为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：

1）若，即，则、均为实数，可求得，。

取，，

在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，

即、；、；、，也就是满足，

于是方程（2）的根为，，，

这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。

2）若，即D＝0时，可求得。取，

同理，可求得

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即D＜0时，因为， p＜0，，

则、均为虚数，求出、，并用三角式表示，就有，，

其中T，都是实数，

∴

同理，

其中，且

取，，

则

显然，当且仅当取，；，；，

这三组时才满足，

于是方程（2）得三个实根为，，，

具体表示出来就为：

其中

∴ 当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：

令，，，

，

1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，

2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，

，，

3）当时，方程有三个实根，

，

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f7054183a78da0116c175f0e7cd184254b351bd5.html

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