2018全国3卷数学文

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）

A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}

2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　）

A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（　　）

A． B． C．π D．2π

7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　）

A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）

8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）

A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]

9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）

A． B．2 C． D．2

11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．54

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　 　．

14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　．

15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　 　．

16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　 　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2=，

19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．

21．（12分）已知函数f（x）=．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；

（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）

A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}

【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，

∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．

故选：C．

2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　）

A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i

【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．

故选：D．

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵sinα=，

∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．

故选：B．

5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，

所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．

故选：B．

6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（　　）

A． B． C．π D．2π

【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，

故选：C．

7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　）

A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）

【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，

则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．

由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．

则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．

即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．

故选：B．

8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）

A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]

【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，

∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，

∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），

∴点P到直线x+y+2=0的距离：

d==，

∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，

∴△ABP面积的取值范围是：

[，]=[2，6]．

故选：A．

9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．

函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），

由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，

得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，

故选：D．

10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）

A． B．2 C． D．2

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，

可得=，即：，解得a=b，

双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，

点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．

故选：D．

11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

△ABC的面积为，

∴S△ABC==，

∴sinC==cosC，

∵0＜C＜π，∴C=．

故选：C．

12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．54

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C==，OO′==2，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．

故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），

∴=（4，2），

∵=（1，λ），∥（2+），

∴，

解得λ=．

故答案为：．

14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　．

【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，

为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，

可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

则最合适的抽样方法是分层抽样．

故答案为：分层抽样．

15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　3　．

【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）．

z=x+y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，

当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，

最大值为2+3×=3，

故答案为：3．

16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　﹣2　．

【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x）

满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），

所以g（x）是奇函数．

函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，

可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3，

则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．

故答案为：﹣2．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

∴1×q4=4×（1×q2），

解得q=±2，

当q=2时，an=2n﹣1，

当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，

∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．

（2）记Sn为{an}的前n项和．

当a1=1，q=﹣2时，Sn===，

由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；

当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，

由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，

解得m=6．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2=，

【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，

第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，

所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，

排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；

由此填写列联表如下；

（3）根据（2）中的列联表，计算

K2===10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，

∴CM⊥AD，

M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD⊂平面CMB，

∴平面AMD⊥平面BMC；

（2）解：存在P是AM的中点，

理由：

连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，

所以MC∥平面PBD．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m

将A，B代入椭圆C：+=1中，可得

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，

解得0＜m

∴．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，

∴x3=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，

∴|FA|+|FB|=2|FP|，

21．（12分）已知函数f（x）=．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；

（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

【解答】解：（1）=﹣．

∴f′（0）=﹣2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=﹣2，

∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=﹣2x．

即2x+y+1=0为所求．

（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，

可得=﹣．

令f′（x）=0，可得，

当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，

注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（@）=4a+1＞0

函数g（x）的图象如下：

∵a≥1，∴，则≥﹣e，

∴f（x）≥﹣e，

∴当a≥1时，f（x）+e≥0．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，

当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；

当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，

∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴或，

综上α的取值范围是（，）．

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），

设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，

当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，

当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，

则f（x）=对应的图象为：

画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，

当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，

则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，

即a+b的最小值为5．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f34c3ff58beb172ded630b1c59eef8c75fbf95c8.html