新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习
重难点突破
课外机构补习优秀资料
等边三角形(基础)
【学习目标】
1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质.
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.
【要点梳理】
【389303 等边三角形,知识要点】
要点一、等边三角形
等边三角形定义:
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包
括等边三角形.
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质:
等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.
要点三、等边三角形的判定
等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理:
在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、(2014秋•崇州市期末)如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD,求证:△ADE为等边三角形.
【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE,进一步得出AD=AE,∠BAD=∠CAE,加上∠DAE=60°,即可证明△ADE为等边三角形.
【答案与解析】
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC,
即∠ACD=120°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2=60°,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
又∠BAC=60°,
∴∠DAE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质,难度适中,关键找出判定三角形等边的条件.
举一反三:
【变式】等边△ABC,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.如图,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状.
【答案】
解: ∵PE⊥AB,∠B=60°,
因此直角三角形PEB中,BE=BP=BC=PC,
∴∠BPE=30°,
∵∠EPF=60°,
∴FP⊥BC,
∵∠B=∠C=60°,BE=PC,∠PEB=∠FPC=90°,
∴△BEP≌△CPF,
∴PE=PF,
∵∠EPF=60°,
∴△EPF是等边三角形.2、已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,AD=CE,求∠BPD的度数.
【答案与解析】
证明:在中,AB=AC,∠ABC=60°
∴为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)
∴AC=BC,∠A=∠ECB=60°
在和中
≌(SAS)
∴(全等三角形对应角相等)
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)
∴
∴∠DPB=60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质,并借助全等三角形,和三角形的外角性质使问题得以解决.
举一反三:
【变式】(2014秋•黔西南州期末)△ABC为正三角形,点M是射线BC上任意一点,点N是射线CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠AQN等于多少度?
【答案】
解:证法一.
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC
在△AMB和△BNC中
,
△AMB≌△BNC(SAS),
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC,
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB,
又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等),
∴∠ANB+∠MAN=120°,
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°,
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN,
∠AQN=180°﹣(∠ANB+∠MAN),
=180°﹣120°=60°,
∠BOM=∠AQN=60°(全等三角形对应角相等).
证法二.
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC
在△AMB和△BNC中
∴△AMB≌△BNC(SAS)
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC
∠MAN=∠BAC﹣∠MAB
又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等)
∴∠ANB+∠MAN=120°
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°
∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB
∠AQN=180°﹣(∠ANB+∠MAN)
=180°﹣120°=60°
3、(1)如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC,求∠AEB的大小;
(2)如图,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠),求∠AEB的大小.
【思路点拨】(1)由于△OCD和△OAB都是等边三角形,可得OD=OC=OB=OA,进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系,则可求解∠AEB.(2)旋转后,△BOD与△AOC仍然保持全等,∠ACO=∠BDO,∠AED=∠ACO+∠DCO+∠CDB=∠BDO+60°+∠CDB=60°+∠CDO=120°,从而得到∠AEB的值.
【答案与解析】
证明:(1)∵O是AD的中点,
∴AO=DO
又∵等边△AOB和等边△COD
∴AO=DO=CO=BO,∠DOC=∠BOC=∠AOB=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BDO=∠DBO=30°
∴∠AEB=∠BDO +∠CAO =60°
(2)∵∠BOD=∠DOC+∠BOC,∠AOC=∠AOB+∠BOC
∴∠BOD=∠AOC
在△BOD与△AOC中,
∴△BOD≌△AOC(SAS)
∴∠ACO=∠BDO
∵∠AED=∠ACO+∠DCO+∠CDB
=∠BDO+60°+∠CDB=60°+∠CDO=60°+60°=120°
∴∠AEB=180°-∠AED=60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质,并借助全等三角形,和三角形的外角性质使问题加以解决.
举一反三:
【变式】如图,已知△ABC和△CDE都是等边三角形,AD、BE交于点F,求∠AFB 的度数.
【答案】
解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,
又∵∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,
设AD与BC相交于P点,在△ACP和△BFP中,有一对对顶角,
∴∠AFB=∠ACB=60°.
类型二、含30°的直角三角形
4、(2016春·龙口市期末)如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD交OE于点F,若∠AOB=60°.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)若EF=5,求线段OE的长.
【答案与解析】
解:(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,
∴DE=CE,
在Rt△ODE和Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(LH)
∴OD=OC,
∵∠AOB=60°,
∴△OCD是等边三角形;
(2)∵△OCD是等边三角形,OF是角平分线,
∴OE⊥DC,
∵∠AOB=60°,
∴∠AOE=∠BOE=30°,
∵∠ODF=60°,ED⊥OA,
∴∠EDF=30°,
∴DE=2EF=10,
∴OE=2DE=20.
【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质,角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,30°的直角三角形的性质等,熟练掌握性质和定理是解题的关键。
举一反三:
【389303 等边三角形:例5】
【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.
【答案】3;
提示:连接AD,证△ABD为等边三角形,则DE=AE=2,CE=1,所以AC=3.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/f22f9581a200a6c30c22590102020740be1ecdb4.html
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