历年考研数学三真题及标准答案解析

历年考研数学三真题及答案解析

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2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线渐近线的条数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数，其中n为正整数，则=（ ）

（A） （B）

（C） （D）

（3）设函数连续，则二次积分=（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）已知级数绝对收敛，条件收敛，则范围为（ ）

（A）0< （B）< 1

（C）1< （D）<<2

（5）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=

则

（A） （B）

（C） （D）

（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

（8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布（ ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

（10）设函数___________.

（11）函数满足则_______.

（12）由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为_______.

（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，则_________.

解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

计算

（16）（本题满分10分）

计算二重积分，其中D为由曲线所围区域.

（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+（万元/件）与6+y（万元/件）.

1）求生产甲乙两种产品的总成本函数（万元）

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.

（18）（本题满分10分）

证明：

（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及

1）求表达式

2）求曲线的拐点

（20）（本题满分10分）

设

（I）求|A|

（II）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解.

(21)（本题满分10分）

已知二次型的秩为2，

求实数a的值；

求正交变换x=Qy将f化为标准型.

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：

求（1）P(X=2Y);

（2）.

（23）（本题满分10分）

设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，

求（1）随机变量V的概率密度；

（2）.

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当时，函数与是等价无穷小，则

(A) (B)

(C) (D)

(2) 已知在处可导，且,则

(A) (B) (C) (D)

(3) 设是数列，则下列命题正确的是

(A) 若收敛，则收敛

(B) 若收敛，则收敛

(C) 若收敛，则收敛

(D) 若收敛，则收敛

(4) 设,, 则,,的大小关系是

(A) (B) (C) (D)

(5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵记为，，则

(A) (B) (C) (D)

(6) 设为矩阵,, , 是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，,为任意常数，则的通解为

(A)

(B)

(C)

(D)

(7) 设,为两个分布函数，其相应的概率密度, 是连续函数，则必为概率密度的是

(A) (B)

(C) (D)

(8) 设总体服从参数的泊松分布，为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量，

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 设，则______.

(10) 设函数，则______.

(11) 曲线在点处的切线方程为______.

(12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积______.

(13) 设二次型的秩为1，中行元素之和为3，则在正交变换下的标准型为______.

(14) 设二维随机变量服从，则______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限.

(16) (本题满分10分)

已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，。求.

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明恰有2实根。

(19) (本题满分10分)

在有连续的导数，，且，，求的表达式。

(20) (本题满分11分)

设3维向量组，，不能由，，线性标出。

求：(Ⅰ)求；

(Ⅱ)将，，由，，线性表出.

(21) (本题满分11分)

已知为三阶实矩阵，，且，

求：(Ⅰ) 求的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求

(22) (本题满分11分)

已知，的概率分布如下：

且，

求：(Ⅰ)的分布；

(Ⅱ)的分布；

(Ⅲ).

(23) (本题满分11分)

设在上服从均匀分布，由，与围成。

求：(Ⅰ)边缘密度；

(Ⅱ)。

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若，则等于

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(2) 设，是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数，使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（）

（A） （B）

（C） （D）

(3) 设函数,具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是（）

（A） （B）0' altImg='00d255bc039fcc588cd1c48b4eb68579.png' w='73' h='26' class='_6'>

（C） （D）

(4) 设，,,则当充分大时有（）

（A） （B）

（C） （D）

(5) 设向量组Ⅰ：可由向量组Ⅱ：线性表示，下列命题正确的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则 （B）若向量组Ⅰ线性相关，则

（C）若向量组Ⅱ线性无关，则 （D）若向量组Ⅱ线性相关，则

(6) 设为4阶实对称矩阵，且,若的秩为3，则相似于

（A） （B）

（C） （D）

(7) 设随机变量的分布函数，则

（A）0 （B） （C） （D）

(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足

（A） （B）

（C） （D）

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 设可导函数由方程确定，则______.

(10) 设位于曲线下方，轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

(11) 设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则______.

(12) 若曲线有拐点,则______.

(13) 设，为3阶矩阵，且，，，则______.

(14) 设，，为来自整体的简单随机样本，记统计量，则______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限

(16) (本题满分10分)

计算二重积分，其中由曲线与直线及围成。

(17) (本题满分10分)

求函数在约束条件下的最大值和最小值

(18) (本题满分10分)

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由

（Ⅱ）设，求极限

(19) (本题满分10分)

设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，

（Ⅰ）证明：存在，使

（Ⅱ）证明：存在，使

(20) (本题满分11分)

设，

已知线性方程组存在2个不同的解

（Ⅰ）求，

（Ⅱ）求方程组的通解

(21) (本题满分11分)

设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为,求，

(22) (本题满分11分)

设二维随机变量的概率密度为，,,求常数及条件概率密度

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设为取出的红球个数，为取出的白球个数，

（Ⅰ）求随机变量的概率分布

（Ⅱ）求

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.

（2）当时，与是等价无穷小，则

(A)，. （B），.

(C)，. （D），.

（3）使不等式成立的的范围是

(A). (B). (C). (D).

（4）设函数在区间上的图形为

则函数的图形为

(A) (B)

(C) (D)

（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为

(A). (B).

(C). (D).

（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，

若，则为

(A). (B).

(C). (D).

（7）设事件与事件B互不相容，则

(A). (B).

(C). (D).

（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为

(A) 0. (B)1. (C)2. (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9） .

（10）设，则 .

（11）幂级数的收敛半径为 .

（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

（13）设,，若矩阵相似于，则 .

(14) 设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求二元函数的极值.

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分 .

（17）（本题满分10 分）

计算二重积分，其中.

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.

（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.

（19）（本题满分10 分）

设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分）

设

,.

（Ⅰ）求满足，的所有向量，.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.

（21）（本题满分11 分）

设二次型

.

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量的概率密度为

（Ⅰ）求条件概率密度；

（Ⅱ）求条件概率.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）

（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.

（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.

（2）如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）

（A）曲边梯形面积. （B） 梯形面积.

（C）曲边三角形面积. （D）三角形面积.

（3）已知，则

（A），都存在

（B）不存在，存在

（C）存在，不存在

（D），都不存在

（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

（5）设为阶非0矩阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）

（A）不可逆，不可逆.

（B）不可逆，可逆.

（C）可逆，可逆.

（D）可逆，不可逆.

（6）设则在实数域上域与合同的矩阵为（ ）

（A）. （B）.

（C）. （D）.

（7）随机变量独立同分布，且分布函数为，则分布函数为（ ）

（A）. （B）.

（C）. （D）.

（8）随机变量，且相关系数，则（ ）

（A）. （B）.

（C）. （D）.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数在内连续，则 .

（10）设，则.

（11）设，则.

（12）微分方程满足条件的解是.

（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为3阶单位矩阵，则.

（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分）

求极限.

(16) （本题满分10分）

设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.

（Ⅰ）求

（Ⅱ）记，求.

(17) （本题满分11分）

计算其中.

(18) （本题满分10分）

设是周期为2的连续函数，

（Ⅰ）证明对任意的实数，有；

（Ⅱ）证明是周期为2的周期函数．

(19) （本题满分10分）

设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

(20) （本题满分12分）

设元线性方程组，其中

，，

（Ⅰ）求证行列式;

（Ⅱ）为何值时，该方程组有唯一解，并求；

（Ⅲ）为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。

（21）（本题满分10分）

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，

（Ⅰ）证明线性无关；

（Ⅱ）令，求.

（22）（本题满分11分）

设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的概率密度．

（23） （本题满分11分）

设是总体为的简单随机样本.记，，.

（Ⅰ）证明是的无偏估计量.

（Ⅱ）当时，求.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上

(1) 当时，与等价的无穷小量是（）

（A） （B） （C） （D）

(2) 设函数在处连续，下列命题错误的是（）

（A）若存在，则

（B）若存在，则

（C）若存在，则存在

（D）若存在，则存在

(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0,{f}''(x)>0' altImg='1da33cc4599a59f10a677f690faa5c44.png' w='161' h='21' class='_11'>则下列结论正确的是（）

（A） （B）

（C） （D）

(4) 设函数连续，则二次积分等于（）

（A） （B）

（C） （D）

(5) 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）

（A）10 （B）20 （C）30 （D）40

(6) 曲线渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(7) 设向量组,,线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

（A）， ， (B) ，，

（C） (D)

(8) 设矩阵，，则A与B（）

（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似

(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）

（A） (B)

(C) (D)

(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为（）

（A） (B)

(C) (D)

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上

(11) .

(12) 设函数，则.

(13) 设是二元可微函数，则________.

(14) 微分方程满足的特解为__________.

(15) 设距阵则的秩为_______.

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________.

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性。

（18）（本题满分11分）

设二元函数

计算二重积分其中。

（19）（本题满分11分）

设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：

（Ⅰ）存在使得；

（Ⅱ）存在使得。

（20）（本题满分10分）

将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

（21）（本题满分11分）

设线性方程组

与方程

有公共解，求的值及所有公共解。

（22）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量。记，其中E为3阶单位矩阵。

（Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

（Ⅱ）求矩阵B。

（23）（本题满分11分）

设二维随机变量的概率密度为

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的概率密度。

（24）（本题满分11分）

设总体的概率密度为

.

其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值。

（Ⅰ）求参数的矩估计量；

（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由。

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

(1)

(2) 设函数在的某邻域内可导，且，，则

(3) 设函数可微，且，则在点(1,2)处的全微分

(4) 设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .

(5)设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.

(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数具有二阶导数，且0,{f}''(x)>0' altImg='1da33cc4599a59f10a677f690faa5c44.png' w='161' h='21' class='_13'>，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则（）

(A) . (B) .

(C) . (D) .

(8) 设函数在处连续，且，则（）

(A) 存在 (B) 存在

(C) 存在 (D)存在

(9) 若级数收敛，则级数（）

(A) 收敛 . （B）收敛.

(C) 收敛. (D) 收敛.

(10) 设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）

(A) . (B) .

(C) . (D)

(11) 设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）

(A) 若，则.

(B) 若，则.

(C) 若，则.

(D) 若，则.

(12) 设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是（）

(A) 若线性相关，则线性相关.

(B) 若线性相关，则线性无关.

(C) 若线性无关，则线性相关.

(D) 若线性无关，则线性无关.

(13) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）

(A) . (B) .

(C) . (D) .

(14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且

则必有（）

(A) (B)

(C) (D)

三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

设，求：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)。

（16）（本题满分7分）

计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域。

（17）（本题满分10分）

证明：当时，

（18）（本题满分8分）

在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。

（19）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数。

（20）（本题满分13分）

设4维向量组

问为何值时线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。

（Ⅰ）求的特征值与特征向量；

（Ⅱ）求正交矩阵和对角矩阵,使得；

（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵。

（22）（本题满分13分）

设随机变量的概率密度为

，

令为二维随机变量的分布函数。

（Ⅰ）求的概率密度；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）。

（23）（本题满分13分）

设总体的概率密度为

其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数。

（Ⅰ）求的矩估计；

（Ⅱ）求的最大似然估计。

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 极限______.

(2) 微分方程满足初始条件的特解为______.

(3) 设二元函数，则______.

(4) 设行向量组线性相关，且，则______.

(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则

______.

(6) 设二维随机变量的概率分布为

若随机事件与相互独立，则______，______.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7) 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点.

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

(8) 设，其中，则

（A） （B） （C） （D）

(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是

（A）收敛，发散 （B）收敛，发散

（C）收敛 （D）收敛

(10) 设，下列命题中正确的是

（A）是极大值，是极小值

（B）是极小值，是极大值

（C）是极大值，也是极大值

（D）是极小值，也是极小值

(11) 以下四个命题中，正确的是

（A）若在内连续，则在内有界

（B）若在内连续，则在内有界

（C）若在内有界，则在内有界

（D）若在内有界，则在内有界

(12) 设矩阵满足，其中为的伴随矩阵，为的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为

（A） （B）3 （C） （D）

(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则

线性无关的充分必要条件是

（A） （B） （C） （D）

(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）

三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分8分）

求.

（16）（本题满分8分）

设具有二阶连续导数，且，求.

（17）（本题满分9分）

计算二重积分，其中.

（18）（本题满分9分）

求幂级数在区间内的和函数.

（19）（本题满分8分）

设在上的导数连续，且.证明：对任何，有

（20）（本题满分13分）

已知齐次线性方程组

（ⅰ） 和 （ⅱ）

同解，求的值.

（21）（本题满分13分）

设为正定矩阵，其中分别为m阶，n阶对称矩阵，为阶矩阵.

（Ⅰ）计算，其中；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量的概率密度为

求：（Ⅰ）的边缘概率密度；

（Ⅱ）的概率密度；

（Ⅲ）.

（23）（本题满分13分）

设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记.

（Ⅰ）求的方差；

（Ⅱ）求与的协方差；

（Ⅲ）若是的无偏估计量，求常数.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 若，则______，______.

(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且

，则______.

(3) 设 则_____.

(4) 二次型的秩为______.

(5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则______.

(6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本，则

______.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7) 函数在下列哪个区间内有界.

（A） （B） （C） （D）

(8) 设在内有定义，且， 则

（A）必是的第一类间断点 （B）必是的第二类间断点

（C）必是的连续点 （D）在点处的连续性与的值有关.

(9) 设，则

（A）是的极值点，但不是曲线的拐点

（B）不是的极值点，但是曲线的拐点

（C）是的极值点，且是曲线的拐点

（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点

(10) 设有以下命题：

① 若收敛，则收敛

② 若收敛，则收敛

③ 若，则发散

④ 若收敛，则，都收敛

则以上命题中正确的是

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

(11) 设在上连续，且0,{f}'\begin{pmatrix}b\end{pmatrix}<0' altImg='2c1de5ef5ebb77fb91e795ff59b3e8e6.png' w='165' h='21' class='_17'>，则下列结论中错误的是

（A）至少存在一点，使得

（B）至少存在一点，使得

（C）至少存在一点，使得

（D）至少存在一点，使得

(12) 设n阶矩阵与等价，则必有

（A）当时， （B）当时，

（C）当时， （D）当时，

(13) 设n阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系

（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量

（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量

(14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于

（A） （B） （C） （D）

三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分8分）

求.

（16）（本题满分8分）

求，其中是由圆和所围成的平面区域（如图）.

（17）（本题满分8分）

设在上连续，且满足

，，

证明：.

（18）（本题满分9分）

设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量.

（Ⅰ）求需求量对价格的弹性；

（Ⅱ）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.

（19）（本题满分9分）

设级数的和函数为.求：

（Ⅰ）所满足的一阶微分方程；

（Ⅱ）的表达式.

（20）（本题满分13分）

设，. 试讨论当为何值时，

（Ⅰ）不能由线性表示；

（Ⅱ）可由唯一地线性表示，并求出表示式；

（Ⅲ）可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.

（21）（本题满分13分）

设n阶矩阵.

（Ⅰ）求的特征值和特征向量；

（Ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角矩阵.

（22）（本题满分13分）

设为两个随机事件，且，令

求：（Ⅰ）二维随机变量的概率分布；

（Ⅱ）与的相关系数；

（Ⅲ）的概率分布.

（23）（本题满分13分）

设随机变量的分布函数为

其中参数. 设为来自总体的简单随机样本.

（Ⅰ）当时，求未知参数的矩估计量；

（Ⅱ）当时，求未知参数的最大似然估计量；

（Ⅲ）当时，求未知参数的最大似然估计量.