相似射影定理私人整理

相似三角形（射影定理及角平分线的性质）

射影定理：

【知识要点】

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角

（2）Rt△ABC中，∠C=90º，则 2+ 2= 2

（3）直角三角形的斜边上的中线长等于

（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为

（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为

2、直角三角形相似的判定定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：

Rt△ABC中，∠C=90º，CD⊥AB于D，则

① ∽ ∽

②S△ABC=

③射影定理：

CD2= ·

AC2= ·

BC2= ·

【常规题型】

1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。

求AD、BD的长.

2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。

【典型例题】

例1．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90º，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交于F，与BC相交于G。求证：AD2=AB·AF

例2．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AM是BC边的中线，CN⊥AM于N点，连接BN，求证：BM2=MN·AM。

例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。

求证：AE·BF·AB＝CD3

例4．在中，，求

角平分线的性质：

【知识要点】

如图，在△ABC中，∠A平分线交BC边于D点，则有：.

证明：

例6、在△ABC中，∠B和∠C的平分线分别为BD和CE，且DE∥BC。求证：AB=AC。

例7、如图21-6，在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，EF∥AB，∠ADE=∠MDE，求证：∠BCF=∠MCF。

【拓展练习】

1、如图所示，已知Rt△ABC（AC＞BC）的斜边AB的中点D，过D作斜边的垂线交AC于E，交BC延长线于F，求证：DC2=DE·DF。

2、已知，如图，是直角三角形斜边上的高，在的延长线上任取一点，连结，垂足为，交于，求证：.

【作业】

1.已知中，是高，若，，，且，则 ， ， ， .

2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为和，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .

3.如图，，于，

，则 .

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD⊥AB，DE⊥AC，EF⊥AB，CD=4，AC=，则EF:AF=（ ）

A．1:2 B．:2 C．:5 D．:5

5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD=9：4则AC：BC的值为（ ）

A．9：4 B．3：2 C．4：9 D．2：3

6. 如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，，则（ ）

A． B．2:3 C．3:2 D．

7．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。

8．如图，在中，于，以和为边在形外作等边三角形和，求证：∽.

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