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2018年吉林省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)

发布时间：2020-05-09   来源：文档文库   
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2018年吉林省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）


一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（ ） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知向量，满足||=1，A．4 B．3 C．2 D．0
=﹣1，则•（2）=（ ）
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线（ ）
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=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
7．（5分）在△ABC中，cos=A．4 B． C． D．2
，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+空白框中应填入（ ）
﹣，设计了如图的程序框图，则在
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ） A． B． C． D．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ） A． B． C． D．π
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ） A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
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A．﹣50

B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 ． 14．（5分）若x，y满足约束条件15．（5分）已知tan（α﹣，则z=x+y的最大值为 ．
）=，则tanα= ．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个第3页（共19页）


线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
，PA=PB=PC=AC=4，O为
20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a=3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为直线l的参数方程为（1）求C和l的直角坐标方程；
第4页（共19页）

，（θ为参数），，（t为参数）．

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

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2018年吉林省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析


一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（ ） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i． 故选：D．

2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：C．

3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B． C．

D．
第6页（共19页）

【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B．

4．（5分）已知向量，满足||=1，A．4 B．3 C．2 D．0
=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，
=﹣1，则•（2）=（ ）
【解答】解：向量，满足||=1，故选：B．

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=故选：D．

6．（5分）双曲线（ ）
=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为=0.3，
第7页（共19页）


A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±， ， x，
x
【解答】解：∵双曲线的离心率为e==则=====即双曲线的渐近线方程为y=±x=±故选：A．

7．（5分）在△ABC中，cos=A．4 B． C． D．2
，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
【解答】解：在△ABC中，cos=BC=1，AC=5，则AB=故选：A．

，cosC=2×==﹣，
==4．
8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+空白框中应填入（ ）
﹣，设计了如图的程序框图，则在
A．i=i+1
B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4
第8页（共19页）

【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B．

9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， =（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），
设异面直线AE与CD所成角为θ， 则cosθ=sinθ=∴tanθ=．
．
==，
=，
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为故选：C．
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10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ） A． B． C． D．π
sin（x﹣），
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣由﹣得﹣+2kπ≤x﹣+2kπ≤x≤≤+2kπ，k∈Z，
+2kπ，k∈Z，
，]，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣由f（x）在[0，a]是减函数， 得a≤．
．
则a的最大值是故选：C．

11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ） A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
第10页（共19页）


所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e=故选：D．
．



12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C．

第11页（共19页）


二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 y=2x﹣2 ． 【解答】解：∵y=2lnx， ∴y′=， 当x=1时，y′=2
∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2． 故答案为：y=2x﹣2．

14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 9 ．
【解答】解：由x，y满足约束条件化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
作出可行域如图，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9．



15．（5分）已知tan（α﹣【解答】解：∵tan（α﹣）=，则tanα= ）=，
．
第12页（共19页）


∴tan（α）=，
则tanα=tan（α+）=====，
故答案为：．

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 8π ．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA=4，
SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2则该圆锥的体积为：V=故答案为：8π．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
=8π．
，圆锥的高为：2，
∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿第13页（共19页）


元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t， 计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
第14页（共19页）


而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
，PA=PB=PC=AC=4，O为
【解答】（1）证明：∵AB=BC=2角形，
，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC； （2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=在△COM中，OM=SS△COM=设点C到平面=×=．
POM的距离为，
解得d=，
．
第15页（共19页）

，
=．
×=，
d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒∴点C到平面POM的距离为


20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=∴直线l的方程y=x﹣，；
+2=8，解得：k2=1，则k=1，
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=∴θ===8，解得：sin2θ=，
，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|） 由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4， 以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D， 由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4， 则D（3，2），
过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．
第16页（共19页）





21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a=3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点．
【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x3﹣a（x2+x+1）， 所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3当x∈（﹣∞，3﹣2当x∈（3﹣2综上，（fx）在（﹣∞，3﹣2上递减．
（2）证明：因为x2+x+1=（x+）2+所以f（x）=0等价于，
，
），x∈（3﹣2，
，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
时，f′（x）＜0，函数是单调递减， ），（3﹣2，+∞），上是增函数，在（3﹣2令，
则，所以g（x）在R上是增函数；
第17页（共19页）


取x=max{9a，1}，则有=，
取x=min{9a，﹣1}，则有=，
所以g（x）在（min{9a，﹣1}，max{9a，1}）上有一个零点，由单调性则可知，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为直线l的参数方程为（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为．
（t为参数）．
（θ为参数），
，（t为参数）．
，（θ为参数），转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则：由于（1，2）为中点坐标， 所以：，
，
+=1
则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直线l的斜率为﹣2．

第18页（共19页）


[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．
当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1， 当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1， ∴|x+a|+|x﹣2|≤4，
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|， ∴|a+2|≤4， 即﹣4≤a+2≤4， 解得﹣6≤a≤2，
故a的取值范围[﹣6，2]．

第19页（共19页）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/eeba055d5d0e7cd184254b35eefdc8d376ee14a4.html

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