上海市华师大二附中高一下学期期中数学试卷

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2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷

一、填空题（4*10=40分）

1．求值arctan（cot）=　　　　　　．

2．函数f（x）=的定义域是　　　　　　．

3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=　　　　　　．

4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是　　　　　　．

5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=　　　　　　．

6．函数f（x）=logcos1（sinx）的单调递增区间是　　　　　　．

7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为　　　　　　．

8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是　　　　　　．

9．已知，且，则cos（x+2y）=　　　　　　．

10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是　　　　　　．

①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；

②值域是R；

③最小正周期是π；

④f（x）是奇函数；

⑤f（x）在定义域上单调递增．

二、选择题（4*4=16分）

11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（　　）

A．向左平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移

12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（　　）

A．α＜β B．α＞β C．α+β＜ D．α+β＞

13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（　　）

A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx| C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|

14．下列命题中错误的是（　　）

A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立

B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立

C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立

D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立

三、解答题（8+10+12+14=44分）

15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．

16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．

17．已知函数y=．

（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；

（2）求函数y=f（t）的值域．

18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．

（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；

（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；

（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．

2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（4*10=40分）

1．求值arctan（cot）=　　．

【考点】反三角函数的运用．

【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．

【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，

故答案为：．

2．函数f（x）=的定义域是　{x|x=2kπ，k∈z}　．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．

【解答】解：由题意得：

cosx﹣1≥0，cosx≥1，

∴cosx=1，

∴x=2kπ，k∈Z，

故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．

3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=　　．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，

故答案为：．

4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是　[]　．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．

【解答】解：∵===sinx﹣cosx，

∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），

∴x∈[]．

故答案为：∈[]．

5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=　　．

【考点】反三角函数的运用．

【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx） 的值，可得x的值．

【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，

∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．

又 cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，

即 cos（arcsinx）•cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）

=•x+x•=，

∴•x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或 x2=，

∴x=，或x=．

经检验，x= 不满足条件，故舍去．

故答案为：．

6．函数f（x）=logcos1（sinx）的单调递增区间是　[）（k∈Z）　．

【考点】复合函数的单调性．

【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=logcos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．

【解答】解：令t=sinx，

∵0＜cos1＜1，

∴外函数y=logcos1t在定义域内单调递减，

又sinx＞0，

∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，

∴函数f（x）=logcos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），

故答案为：[）（k∈Z）．

7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为　cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；　．

【考点】三角函数线．

【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．

【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），

故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；

8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是　{ω|ω≥1或ω≤﹣}　．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．

【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，

∴当ω＞0时，由ω•≥，ω≥1，

当ω＜0时，由ω•（﹣）≥，求得ω≤﹣，

故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．

9．已知，且，则cos（x+2y）=　1　．

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．

【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．

【解答】解：设f（u）=u3+sinu．

由①式得f（x）=2a，由②式得

f（2y）=﹣2a．

因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，

∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．

∴x=﹣2y，即x+2y=0．

∴cos（x+2y）=1．

故答案为：1．

10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是　②④　．

①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；

②值域是R；

③最小正周期是π；

④f（x）是奇函数；

⑤f（x）在定义域上单调递增．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

【解答】解：f（x）===tanx（cosx），

对于①，函数f（x）的定义域是{x|x≠2kπ+，x≠kπ+，x≠2kπ+，k∈Z}，故错误；

对于②，函数f（x）的值域是R，故正确；

对于③，由于f（x+π）===tanx（其中cosx≠），故错误；

对于④，由于f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故正确；

对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间，故错误．

故答案为：②④．

二、选择题（4*4=16分）

11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（　　）

A．向左平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】把函数y=3sin（2x+）变形为y=3sin[2（x+）]即可得到答案．

【解答】解：∵y=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]．

∴要得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象向左平移个单位．

故选：D．

12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（　　）

A．α＜β B．α＞β C．α+β＜ D．α+β＞

【考点】正切函数的图象．

【分析】由题意可得α+β∈（π，2π），再根据tan（α+β）=＞0，可得α+β∈（π，），从而得出结论．

【解答】解：α，β∈（，π），且tanα＜cotβ=＜0，∴tanα•tanβ＞1，α+β∈（π，2π），

∴tan（α+β）=＞0，∴α+β∈（π，），

故选：C．

13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（　　）

A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx| C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|

【考点】正弦函数的图象．

【分析】利用三角函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：由于y=tanx的周期为π，0＜cot1＜1，

故y=（cot1）tanx的周期为π，且在（0，）上单调递减，故A满足条件．

由于y=|sinx|在（0，）上单调递增，故排除B．

由于在（0，）上，2x∈（0，π），函数y=﹣cos2x在（0，）上单调递增，故排除C．

由于函数y=﹣tan|x|不是周期函数，故排除D，

故选：A．

14．下列命题中错误的是（　　）

A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立

B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立

C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立

D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立

【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．

【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：令x=cosy∈[﹣1，1]，

则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x2﹣1成立，故A成立．

对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos3y﹣3cosy 成立，即f（x）=4x3﹣3x成立，故B正确．

令t=siny∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±）成立，

即f（x）=2•（±）成立，故B错误．

则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny﹣4sin3y 成立，即f（t）=3t﹣4t3成立，故D成立，

故选：B．

三、解答题（8+10+12+14=44分）

15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用诱导公式化简已知可得sinα=sinβ， cosα=cosβ，将两式平方后利用同角三角函数基本关系式解得或，结合角的范围即可得解α，β的值．

【解答】解：∵由sin（5π﹣α）=cos（π+β），可得：sinα=sinβ，两边平方可得：sin2α=2sin2β，①

由cos（﹣α）=﹣cos（π+β），可得： cosα=cosβ，两边平方可得：3cos2α=2cos2β，②

∴①+②可得：sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，

又∵sin2α+cos2α=1，

∴解得：cos2α=，即：或，

∵α，β∈（0，π），

∴解得或．

16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，画出函数y=sinx+cosx=的图象，数形结合得答案．

【解答】解：由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，

令y=sinx+cosx=，

∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），

作出函数的图象如图：

若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，

则﹣2，或，

即或．

当a∈（﹣2，﹣）时，；

当a∈（﹣，2）时，．

17．已知函数y=．

（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；

（2）求函数y=f（t）的值域．

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（1）由t=sin（t+）利用正弦函数的性质可求t的范围，平方后利用同角三角函数基本关系式可求sinθcosθ=，进而即可用t表示y=f（t）．

（2）由y== [（t+2）+﹣4]，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f（t）的值域．

【解答】解：（1）∵t=sinθ+cosθ，

∴t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]，

∴t2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ，

∴sinθcosθ=，

∴y===，t∈[﹣，]．

（2）∵y==（）= [（t+2）+﹣4]，

∵t∈[﹣，]．

∴t+2∈[2﹣，2+]．

∴（t+2）+=2，当且仅当（t+2）=，即t+2=时取等号．

∵t+2∈[2﹣，2+]．

∴函数的最小值为 [2﹣4]=．

当t=﹣时，f（﹣）=，

t=时，f（）=，

∴函数的最大值为，

故函数y=f（t）的值域为：[，]．

18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．

（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；

（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；

（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．

【考点】正弦定理．

【分析】（1）由已知及正弦定理可sinA，b，利用大边对大角可得A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理即可得解AB的值．

（2）利用余弦定理推出a2+b2＜c2，利用正弦定理推出a2+b2＜4R2．

（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可．

【解答】解：（1）∵R=2，a=2，B=45°，

∴由正弦定理可得：，解得：sinA=，b=2，

又∵a＜b，可得：A＜B，可得cosA==，

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，

∴AB=c=4sinC=4×=．

证明：（2）由余弦定理得cosC=，

∵C为钝角，可得cosC＜0，

∴a2+b2＜c2

又∵由正弦定理得c=2RsinC＜2R，

∴c2＜4R2，

∴a2+b2＜4R2．

解：（3）①a＞2R≥b或a≥b≥2R时，不存在；

②当a=2R且b＜2R时，A=90°，存在一个，c=；

③当a=b＜2R，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个，c=2RsinC=；

④当b＜a＜2R，存在两个，c=．

2016年9月2日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ecbd08473086bceb19e8b8f67c1cfad6185fe95b.html