余弦定理（一）

　余弦定理(一)

[学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

word/media/image1.gif

知识点一　余弦定理及其证明

1.余弦定理的表示及其推论

2.余弦定理的证明

(1)课本上采用的证明方法：

如图，设a＝1d1923172c4d1dd8b2dfec30d03a6be6.png，b＝576f531038d6f8d689d5b36caa0eeb10.png，c＝e7de3e8dcbc2e33ed5fa15b45cb933b1.png，则c＝b－a，

word/media/image2.gif

∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2abcos C＋b2，

∴c2＝a2＋b2－2abcos C.

(2)利用坐标法证明

如图，建立直角坐标系，则A(0,0)、B(ccos A，csin A)、C(b,0)(写出三点的坐标).

word/media/image3.gif

∴a＝BC＝c96d01caa10e5d07e65920c6767eb048.png

＝047e0e0594e00573b6ae05b3394ab5f0.png，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A.

思考1　在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝ .

答案　6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png

解析　由题意知，cos A＝b447b96d30ea943bd9f237e3d3a44d0d.png＝－5c844e1d3eca594bbc90588d51ee0d6a.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

又A∈(0，π)，∴A＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png.

思考2　勾股定理和余弦定理的联系与区别？

答案　二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例.

知识点二　用余弦定理解三角形的问题

利用余弦定理可以解决以下两类问题：

(1)已知两边及夹角解三角形；

(2)已知三边解三角形.

思考　已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？

答案　不妨设已知a、b、A，

方法一　由正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png可求得sin B，进而得B，角C，最后得边c.

方法二　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得边c，而后由余弦或正弦定理求得B、C.

word/media/image4.gif

题型一　已知两边及夹角解三角形

例1　在△ABC中，已知a＝2，b＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png，C＝15°，求角A，B和边c的值(cos 15°＝ea8c520f407cd257088cef693c31a9e2.png，sin 15°＝1d0d0fd4eee9239d6be593857eb41e12.png).

解　由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C

＝4＋8－2×2×21553867a52c684e18d473467563ea33b.png×ea8c520f407cd257088cef693c31a9e2.png＝8－49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，

∴c＝d64abdace4f4d9a8345297fea67b87fa.png＝8be11805f959a08c4239a8aa8b5373f8.png＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

由正弦定理得sin A＝1fb1f0e3b7719a7d3d95e7f3f3fc075d.png＝feaac16d849833676334fb9971078c47.png＝1087d5a879c3a89b813adf42061c9084.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，

∴c＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，A＝30°，B＝135°.

跟踪训练1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，则c等于(　　)

A.4 B.a1c5c105c6891cf6e2f648731b058006.png C.3 D.c48744e4939687334f1a7860b6dbc890.png

答案　D

解析　由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×(－7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png)＝17，所以c＝c48744e4939687334f1a7860b6dbc890.png.

题型二　已知三边(或三边的关系)

例2　在△ABC中，已知a＝2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，b＝6＋29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，c＝49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，求A、B、C.

解　根据余弦定理，cos A＝b447b96d30ea943bd9f237e3d3a44d0d.png

＝0ec8a3b364d531ddbc4df636654b66c1.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.

∵A∈(0，π)，∴A＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，

cos C＝2540f53ab0d60fc2e56255d1c266c7d6.png＝bc451802004ec36f75e914f9bc857064.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，

∵C∈(0，π)，∴C＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.

∴B＝π－A－C＝π－b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＝5029460365f6bb90937854214a48d36f.pngπ，

∴A＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，B＝5029460365f6bb90937854214a48d36f.pngπ，C＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.

跟踪训练2　将例2中的条件改为“a∶b∶c＝2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png∶(6＋29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)∶49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png”，求A、B、C.

解　∵a∶b∶c＝2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png∶(6＋29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)∶49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，

即8066db9e078085ed0fa4c622403724d3.png＝284a1d79d8d660c95224cf5d11eeed4b.png＝03026fa6d84173180f4c00a809b015cb.png，

不妨设8066db9e078085ed0fa4c622403724d3.png＝k，则a＝2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.pngk，b＝(6＋29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)k，c＝49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngk，

下同例题解法.

题型三　已知两边及其中一边的对角解三角形

例3　在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，b＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，A＝45°，求边c.

解　方法一　在△ABC中，根据余弦定理可得

a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngc－6＝0，

所以c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png±3.

又c>0，所以c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋3.

方法二　在△ABC中，由正弦定理得

sin B＝f5fa73d748f24068f248f3d3e39044b5.png＝7705aa557193fa3f591ea31a85a0e7ea.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

因为b<a，所以B<A，

又B∈(0°，180°)，所以B＝30°，

所以C＝180°－A－B＝105°，

所以sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝ea8c520f407cd257088cef693c31a9e2.png，

故c＝f81569507a21850bb5135144d3869a94.png＝058dab0b80e872ff7ce85f43755f7cca.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋3.

跟踪训练3　已知在△ABC中，b＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，c＝3，B＝30°，解此三角形.

解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得

(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°，

∴a2－39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pnga＋6＝0，∴a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png或a＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

当a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°；

当a＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png时，由正弦定理得

sin A＝1b39f9160d895ffba3f52be940ba402c.png＝572b279024c645c10b17115fb4602571.png＝1，

又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.

∴C＝60°，A＝90°，a＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png或C＝120°，A＝30°，a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

方法二　由b<c，B＝30°，b>csin 30°知本题有两解.

由正弦定理，得sin C＝7563e82e133e0f3087e2955bead341c9.png＝6787f45b0442bbe67996289185237d87.png＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，

∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝5b47c7609f15205ec8f1da11db26e05c.png＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png；

当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ec247ee453d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f15.html