一元三次方程求根公式的解法
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=141.26666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"141.26666666667","h":"21.733333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image1.png"})
的标准型一元三次方程形式化为的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=98.733333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"98.733333333333","h":"24.466666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image2.png"})
的一元三次方程的求根公式的形式应该为型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用表示。方法如下：
（1）将![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=89.666666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"89.666666666667","h":"22.666666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image3.png"})
两边同时立方可以得到
（2）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=208.33333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"208.33333333333","h":"25.333333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image6.png"})
（3）由于，所以（2）可化为，移项可得
（4）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=168.46666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"168.46666666667","h":"25.333333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image8.png"})
和一元三次方程的特殊型作比较，可知
（5）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=169.33333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"169.33333333333","h":"25.333333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image9.png"})
化简得
（6）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=160.33333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"160.33333333333","h":"48.933333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image10.png"})
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=104.13333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"104.13333333333","h":"24.466666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image11.png"})
的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=101.46666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"101.46666666667","h":"45.266666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image12.png"})
，
（9）对比（6）和（8），可令![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=259.93333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"259.93333333333","h":"48.933333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image14.png"})
（10）由于型为的一元二次方程求根公式为
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=137.66666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"137.66666666667","h":"47.066666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image15.png"})
， ，可化为
（11）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=160.33333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"160.33333333333","h":"53.466666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image17.png"})
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=161.2&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"161.2","h":"53.466666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image18.png"})
将（9）中的代入（11）可得
（12）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=163.93333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"163.93333333333","h":"53.466666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image19.png"})
，
（13）将![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=31.666666666667&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"31.666666666667","h":"21.733333333333","dataType":"gif","c":"word/media/image5.png"})
代入得
（14）![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=355.93333333333&md5sum=d376f342355ce5868876d3cdea0782a9&sign=7394be6944&rtcs_flag=2&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=22&ipr={"t":"img","w":"355.93333333333","h":"70.666666666667","dataType":"gif","c":"word/media/image21.png"})
本式只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ec069973f46527d3240ce0f4.html
文档为doc格式