高一年段数学培优教材第六讲 平面向量（2）
例1：（1）点P是word/media/image1_1.png的外心，且
word/media/image2_1.png，则角C的大小为_________________
（2）在word/media/image3_1.png中，
word/media/image4_1.png，其中G为
word/media/image3_1.png的重心，则
word/media/image3_1.png的形状是___
（3）设word/media/image3_1.png的外心为O，H是它的垂心，求证：
word/media/image5_1.png
（4）已知O为word/media/image3_1.png所在平面内的一点，且满足
word/media/image6_1.png，求证：点O是
word/media/image3_1.png的垂心。
（5）O为word/media/image3_1.png所在平面内的一点，则O为
word/media/image3_1.png的垂心的充要条件是：
word/media/image7_1.png
例2：已知向量word/media/image8_1.png，
word/media/image9_1.png，
word/media/image10_1.png，
word/media/image11_1.png，且
word/media/image12_1.png与
word/media/image13_1.png之间有关系式：
word/media/image14_1.png，其中k＞0． （1）证明：
word/media/image15_1.png ；（2）试用k表示
word/media/image16_1.png
例3：已知平面上的三个向量word/media/image17_1.png的模均为
word/media/image18_1.png，它们相互之间的夹角都是
word/media/image19_1.png，
（1） 求证：word/media/image20_1.png （2）若
word/media/image21_1.png，求
word/media/image22_1.png的取值范围。
例4：已知向量word/media/image23_1.png，存在实数
word/media/image24_1.png，使得向量
word/media/image25_1.png且
word/media/image26_1.png，（1）试将
word/media/image27_1.png表示为
word/media/image28_1.png得函数
word/media/image29_1.png；（2）求
word/media/image30_1.png得最小值。
例5．已知向量word/media/image31_1.png （1）向量
word/media/image32_1.png是否共线？
（2）求函数word/media/image33_1.png的最大值。
例6：在Rt△ABC中，已知word/media/image34_1.png， BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
word/media/image35_1.png的夹角
word/media/image36_1.png取何值时
word/media/image37_1.png的值最大？并求出这个最大值.
强化训练：
1．已知word/media/image3_1.png满足
word/media/image38_1.png，则
word/media/image3_1.png的形状是（ ）
A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形
2．已知word/media/image39_1.png为非零的平面向量. 甲：
word/media/image40_1.png甲是乙的 （ ）条件
A．充分条件但不是必要 B．必要条件但不是充分 C．充要条件 D．既非充分也非必要
3．已知平面上直线l的方向向量word/media/image41_1.png点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是
word/media/image42_1.png和
word/media/image43_1.png，则
word/media/image44_1.png
word/media/image45_1.png，其中
word/media/image46_1.png= （ ） A．
word/media/image47_1.png B．
word/media/image48_1.png C．2 D．－2
4．已知word/media/image49_1.png是夹角为
word/media/image50_1.png的两个单位向量，
word/media/image51_1.png则
word/media/image52_1.png的夹角为___________
5．如果向量word/media/image53_1.png与
word/media/image54_1.png 的夹角为
word/media/image55_1.png，那么我们称
word/media/image56_1.png为向量
word/media/image53_1.png与
word/media/image54_1.png的“向量积”，
word/media/image56_1.png是一个向量，它的长度
word/media/image57_1.png，如果
word/media/image58_1.png，则
word/media/image59_1.png______________
6．对于word/media/image60_1.png个向量
word/media/image61_1.png，若存在
word/media/image60_1.png个不全为零的实数
word/media/image62_1.png，使得
word/media/image63_1.png成立，则称向量
word/media/image61_1.png是“线性相关”的。按此规定，能说明
word/media/image64_1.png“线性相关”的实数
word/media/image65_1.png的一组取值为____________________
7．设向量word/media/image66_1.png ___________
8．已知向量word/media/image67_1.png，向量
word/media/image68_1.png与
word/media/image69_1.png的夹角为
word/media/image70_1.png，且
word/media/image71_1.png，则
word/media/image72_1.png=______________
9．在word/media/image73_1.png内求一点P，使
word/media/image74_1.png的值最小。
10．已知word/media/image75_1.png，是否存在实数
word/media/image76_1.png，使
word/media/image77_1.png与
word/media/image78_1.png的夹角为锐角？说明你的理由。
11． 已知向量word/media/image79_1.png. （1）求
word/media/image80_1.png的值；
（2）若word/media/image81_1.png的值
12． 已知向量word/media/image82_1.png.
（1）求函数word/media/image83_1.png的最小正周期； （2）求函数
word/media/image84_1.png的单调减区间；
（3）画出函数word/media/image85_1.png的图象，由图象研究并写出
word/media/image86_1.png的对称轴和对称中心.
word/media/image87_1.png参考答案
例1：（1）word/media/image88_1.png （2） 等边三角形
（3） 如图，联结BO并延长交三角形外接圆于点D，则
word/media/image89_1.png为
word/media/image90_1.png
word/media/image91_1.png
（4） 略 （5）略
例2：（1）word/media/image92_1.png
（2）word/media/image93_1.png
例3：（2）word/media/image94_1.png
例4：（1）word/media/image95_1.png （2）
word/media/image96_1.png，当
word/media/image97_1.png时取最小值
word/media/image98_1.png
例5：（1）共线 ； （2）word/media/image99_1.png；
word/media/image100_1.png
例6：04湖北高考题word/media/image101_1.png，所以当
word/media/image102_1.png时，取最大值0
强化练习：
1 C 2 B 3 D 4 word/media/image103_1.png 5
word/media/image104_1.png 6
word/media/image105_1.png 7
word/media/image106_1.png 8
word/media/image107_1.png或
word/media/image108_1.png
9．设word/media/image109_1.png，则
word/media/image110_1.png
word/media/image111_1.png
所以当word/media/image112_1.png时取最小，易证此时点P为三角形ABC的重心。
10．word/media/image113_1.png
11．（1）word/media/image114_1.png （2）
word/media/image115_1.png
12．解：word/media/image116_1.png
word/media/image117_1.png
（1）word/media/image118_1.png
（2）word/media/image119_1.png
word/media/image120_1.png
word/media/image122_1.png
从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（word/media/image133_1.png），无对称轴
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ea4824302f3f5727a5e9856a561252d380eb20ab.html
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