平面直角坐标系（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生逐步理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出平面直角坐标系；2．理解平面内点的坐标的意义，会根据平面内已知点的位置写出它对应的坐标，反之，已知平面上点的坐标能确定点的位置．
（二）能力训练点：1．进一步培养学生观察图形的能力；2．逐步培养学生把所学的数学理论用于解决实际问题的能力；3．初步培养学生把实际问题转化成数学模型的能力；4．通过直角坐标系的教学，向学生渗透数形结合的思想方法．
（三）德育渗透点：通过直角坐标系的教学，使学生进一步明确数学理论来源于实践，反过来又能指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：使学生能在平面直角坐标系中，已知点的坐标，能确定这一点的位置；已知点的位置，能写出与它对应的坐标．因为它是以后研究函数的基础．
2．教学难点：教材中概念、定义、名词多，学生看书时一时理不出个头绪，难以掌握教材．
三、教学步骤
（一）明确目标
在复习数轴上每个点都对应一个实数的基础上，给出这个实数叫做这个点在数轴上的坐标的定义．有了这个定义，本节课我们开始学习平面上点的坐标．为此我们首先学习平面直角坐标系．给出题目：13．1平面直角坐标系
（二）整体感知
在出示章前图时（图13-1），说明两个问题，一是横轴分别表示一天24小时；二是纵轴表示由零下4度到零上10度．这就是为了工农业生产的需要气象工作者绘制的24小时天气变化情况的记录．针对图（13-1）同学们回答下列问题：
1．你能看出这一天最高温度在哪一点？
2．最低温度在哪一点？
3．8、12、18时的气温是多少度？
4．你能说出一天中什么时刻气温最高，什么时刻气温最低？
大概你很想知道气象工作者是怎样绘制的这幅图，为了使你也能根据情况画出此图，必须学好本章的课程．在本章中，我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，其中包括用式子、图象和表来描述，刻划这种变化的内容．这些内容属于代数中函数部分．为此，我们首先来学习平面直角坐标系．
请同学们思考：什么是数轴？数轴上的点与实数有什么关系？
当学生回答出数轴上的点与实数是一一对应的，使学生明确：如果知道一个点对应的实数，那么这个点在数轴上的位置就被确定．这时就可以定义“数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标”．
练习一：由学生自己完成
1．写出数轴上A，B，C，D，E各点的坐标（出示幻灯）．
2．在数轴上分别标出坐标为-1，4，2.5，0，-1.5，-3.5各点．在学生有了点在数轴上的坐标这个概念的基础上，教师可提出：在教室中，怎样确定王敏同学的位置？
用电脑出示图13-2．学生可能回答，她坐在左数第三趟（列）第六位．如果我们依照章前图的做法就可以把王敏的坐位标出来．用一个水平数轴表示趟（列），再用一个竖直的数轴表示位（行）．如果知道王敏坐在第三列第六行，马上就能确定她的座位．即过横轴3处做横轴的垂线，再过竖轴6处做竖轴的垂线交于点m，这就是王敏的座位．这就是说要确定平面上一点的位置，必须有两个对应的数．
依照这种方法，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系．（如图13-3）其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．x轴和y轴将坐标平面分成四部分，按逆时针的方向分别称之为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．但必须注意，坐标轴上的点不属于任何象限．
现在我们依照确定王敏座位的方法，确定平面直角坐标系中A点的坐标．（如图13-4）学生不难得出A点在x轴上坐标为3，在y轴上坐标为2．那就是说，A点的位置由3、2这一对数来唯一确定，我们就把数对（3，2）叫做A点在平面直角坐标系中的坐标，记作A（3，2）．一定要把x轴上的坐标写在前面，即A（x，y）．
练习二：在上面的坐标系中请同学们写出B点的坐标．
例1 写出图中A，B，C，D各点的坐标．（图13-5）
注意：1．开始要遵照前面点的坐标的概念，从图上的点分别向两轴作垂线，得出坐标；
2．例题可由学生自己来完成，同学们互相改正错误；
3．写出答案之后，注意A和B两点的坐标，一个是（2，3），另一个是（3，2），它们是平面内不同的两点，因此坐标不仅是实数对，还是有序的实数对，不能写错顺序．
现在我们来研究另一方面的问题．如果我们已知平面上某点m的坐标为（2，3），你能否在平面上找出这一点的位置？有了前面的准备，学生是可以确定出点的位置的．
例2 在直角坐标系中，描出下列各点：A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）．
此题可由学生自己完成，一名学生板书．
练习三：
作完后回答教师提出的问题：
（1）F点在什么位置上？它的坐标有什么特征？任何一个在x轴上的点的坐标都有这个特征吗？
（2）能否由问题（1）猜想出y轴上的点的坐标有什么特征？如果点在坐标原点上呢？
（3）从（1）、（2）两个问题中，你能总结出哪些规律？
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课重点内容是能正确地画出直角坐标系，这一点，学生只要仔细不会有多大困难，而对用有序实数对表示一点的位置感到陌生，为此，首先从学生已知知识：数轴上的点与实数的对应关系出发给出“坐标”一词，再从学生的生活实践经验，找出王敏的坐位这一事实给出座位图，找出第三列第六行．就在这个图的基础上去掉单位、列、行，再加上两条数轴，学生就很容易理解确定王敏的座位要用两个数（列，行），来引出直角坐标系的雏形，再把这个实际问题迁移到数学上来，建立直角坐标系也就迎刃而解．同时也就解决了为什么平面上点的位置必须用一对有序实数对表示这一难点．这样学生思路清楚，理解起来很方便．整节课都是在教师指导下学生自己完成的．
（四）总结、扩展
首先通过教师提问，总结出本节课都学习了哪些内容，在此基础上让学生总结出x轴，y轴上点的坐标的规律，让学生思考各象限点的坐标的特征．
四、布置作业
1.课本习题13.1第1 ，2题
2．阅读教材，归纳总结所学习的知识点．
五、板书设计
平面直角坐标系（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．了解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系；2．使学生进一步熟悉根据坐标确定点和由点求得坐标的方法；3．理解各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征，会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵坐标的符号；4．理解点关于x轴、y轴、原点的对称点的意义，并能求出任一点的对称点的坐标．
（二）能力训练点：1．让学生运用数形结合的思想方法解决有关问题；2．通过平面内的点与有序实数对之间的关系的教学，向学生进行对应的思想的教育；3．培养学生的观察、分析、概括、总结的能力及动手能力．
二、教学重点、难点和疑点
本节课的教学重点是掌握平面内不同位置的点的坐标的特点．因为根据点的坐标的特点就可以确定点，而确定点是研究函数图象的基础．
本节课的教学难点是总结出不同位置的点的坐标的特点及求一个点的对称点的方法．因为这需要学生通过观察，分析才能加以归纳、总结．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了用有序实数对可以表示坐标平面内的点，那么有序实数对与坐标平面内的点有什么关系、坐标平面内的点的坐标有何特点呢？这就是我们这节课要研究的问题．
（二）整体感知：
提问：1．在直角坐标系中，找出下列各点：A（2，3）；B（3，2）；C（-2，3）；D（2，-3）；E（-2，-3）．
由一名同学在黑板上板演，其他同学在纸上完成，把同学完成的试卷收上来，然后看黑板上的解答，纠正其中的问题．
2．在坐标平面内不同的点的坐标是否相同？不同的坐标所表示的点是否相同？那么点的坐标是用什么表示的？（答：有序实数对）你认为坐标平面内的任意一点与有序实数对有什么关系？
由学生讨论回答，若讨论时遇到困难，可以提示：数轴上的点与实数有什么关系？
教师加以总结：对于坐标平面内的任意一点A，我们可以确定它的坐标，并且这个坐标是唯一的，这就说，对于坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序实数对和它对应；反过来，给出任意一对有序实数对，例如（3，2），我们都可以在坐标平面内描出一个点，这个点也是唯一的，这又说明，对于任意一对有序实数对，在坐标平面内都有唯一的点与它对应．
综上所述，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．（板书）
提问：能否在图中指出各象限？（用练习中已画的平面直角坐标系图）
由一名同学上黑板指出，其他同学给予评价．然后出示例题：（出示幻灯）
例1 指出下列各点所在的象限或坐标轴：A（-2，3）；B（1，-2）；C（-1，-2）；D（3，2）；E（-3，0）；F（0，1）．
分析：要解决这个问题，首先要画出直角坐标系，描出给出的各点；然后，按照图中所描的点的位置，给出答案．
提问：题中为什么要写出“所在的象限或坐标轴”？明确坐标轴上的点不属于任何象限．
由学生完成例题之后，加以评价，然后提问：（1）坐标轴上的点的坐标有什么特征？上节课已介绍过，学生可以很容易回答．
（2）各象限中点的坐标有何特征？（若学生对此问法不太清楚，可换一种问法：坐标是由一对有序实数组成的，这对有序实数因为点的位置在不同的象限各是什么符号的数？）
学生讨论之后，结合直角坐标系图，让学生独立完成下面的图表．（出示幻灯）
根据点所在象限，用“+．-”号填表：
提问：任一点P（x，y）
（1）如果P（x，y）在第二象限，那么x，y分别是正数还是负数？
（2）如果x＞0，y＜0，P（x，y）在第几象限？（向学生介绍这是一种表示不定点的方法）
通过这两个问题，使学生能从正、反两个方面理解坐标平面内点的坐标的特征．
例2 求出点P（-3，-2）关于x轴、y轴、原点的对称点．
用提问的方式加以分析：
（1）关于x轴、y轴对称是哪种对称？应怎样通过画图作出对称点？
（2）关于原点对称是哪种对称？应怎样通过画图作出对称点？
（这两个问题若学生有遗忘，可适当加以提示．）
（3）你能否在练习本上画出这些点？
可由教师或一名同学在黑板上画图，其他同学在练习本上完成，然后看黑板上的图加以评价、总结、提出问题：（用P1，P2，P3表示点P关于x轴，y轴，原点的对称点）
（1）能否说出P1，P2，P3的坐标？你的根据是什么？（根据轴对称及中心对称的定义）
（2）观察这三点的坐标与P点的坐标有怎样的关系？（把这四点的坐标都写在图上以便观察）
先让学生讨论，然后加以总结：对于P（x，y）．
（1）关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P1（x，-y）；
（2）关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P2（-x，y）；
（3）关于原点对称，则横、纵坐标都变为相反数，即P3（-x，-y）；
提问：点P（x，-y）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标各是什么？
这个问题是直接运用上面总结而得的规律，使学生能正确地运用该规律，并理解之．
练习：p.10页第1，2题，互相评价．
P．11中4题 填在书上，口答互相评价．
补充：如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第______象限，点Q（x-1，1-y）在第______象限．
用提问的方式加以分析，学生讨论回答：
（1）要确定点N和Q在第几象限，应知道什么条件？
答：点N和点Q的坐标的符号．
（2）点N与Q的坐标的符号与什么有关？
答：与x和y的取值范围有关．
（3）怎样才能确定x和y的取值范围呢？
答：根据点M的坐标及位置．
（4）点M（1-x，1-y）在第二象限，第二象限的点的坐标有什么特征？由此得x和y的取值范围是什么？
答：1-x＜0即x＞1，1-y＞0即y＜1．
（5）由x＞1和y＜1可得点N和点Q的坐标的符号是什么？
答：N（-，-）；Q（+，+）．
（6）点N和点Q各在第几象限？
答：点N在第三象限，点Q在第一象限．
（7）点N与点Q、点P是有怎样关系的点？
答：点N与点Q关于原点对称；点N与点P关于x轴对称．
通过这一道练习题既巩固了平面内的点的坐标的特征，同时也巩固了对称点的知识，而且考虑的方式与前面例题正好相反，这就可以培养学生思维的灵活性和深刻性．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点是掌握平面内不同位置的点的坐标的特点，为了回答这一问题，首先是从画图入手，通过特定点在图上的位置总结出特点之后，再通过正、负半轴围成的象限加以解释，就使这个问题既有直观的解答，又有理论依据，便于学生的理解和接受．
而对于求一个点的对称点的坐标也是从特例入手，用学生熟悉的几何知识加以阐述，使学生能达成知识间的顺利过渡，自然地突破这一难点．
最后又用了一道综合练习题使学生对上述两个问题加以复习，在检验学生掌握情况的基础上，教给学生完整的知识，培养了学生思维的灵活性和深刻性．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．本小节我们都学习了哪些知识？
2．坐标平面内的点与有序实数对有什么关系？
3．如何确定一个点在第几象限或哪条轴上？
4．如何确定一点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标？
四、布置作业
教材习题13.1中4，5，6，7题.
五、板书设计
函数（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；2．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．
（二）能力训练点：培养学生观察、分析的能力．
（三）德育渗透点：1．通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动、变化的观点思考问题；2．通过例题向学生进行生动具体的知识来源于实践反过来又作用于实践的辩证唯物主义教育；3．通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：是在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．因为函数关系式是画函数图象的基础．
2．教学难点：是对函数意义的正确理解．因为它是判断一个式子是否是函数的依据．
3．教学疑点：
①常量中写不写1；
②常量的数值包不包括“-”号；
三、教学步骤
（一）明确目标
在前面我们已经知道本章将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，这其实是函数问题．今天这节课我们就来学习数学中的一个重要的基本概念——函数．
（二）整体感知
请同学们先看两个实际问题：（出示幻灯）
问题1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？
由学生讨论回答．
答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的．
问题2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不安，有时却温柔善良．试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将会发现水面上有怎样的变化？
答：水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如图13-6．（出示幻灯）
那么，在这一变化过程中，圆的半径r，周长C和面积S是怎样变化的呢？圆的周长和直径2r的比值又是怎样的呢？
第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回答结果可再提问：你是怎样得到圆的周长和直径2r的比值是不变的呢？这个比值是什么呢？
由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，如以上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径r周长C以及面积S，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率π，我们称之为常量．
但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的．例如：（出示幻灯）
（1）从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？
这个问题的答案有很多种，引导学生回答：随着时间的不同，距北京的距离不同；但速度是不变的．
（2）从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，那些量是常量？
引导学生回答：距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同．
这两个问题都可由学生讨论、回答．通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证唯物主义教育．
在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．例如：大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中一个很重要的基本概念——函数．
现在，我们就来研究什么叫函数？
首先，我们来看问题1：在售米的过程中，米的千克数和总价这两个量有什么关系？
给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：对于米的千克数，每确定一个值，就有唯一的总价与它相对应．
提问：（1）大家试想，若每千克大米售价2.40元，我们用字母n表示大米的千克数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式呢？
（2）若买5千克大米，应付多少钱？若买25千克大米呢？
这两问主要是为了让学生从实际问题体会一下对应的关系．
再来看问题2：（1）请大家考虑，若已知圆的半径为r，我们应怎样计算它的面积呢？
（2）半径r与面积S有怎样的关系呢？
总结：对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应．
类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一例举．由上面两个例子中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？
教师提出问题之后，先由学生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大家讨论，若完全正确，则教师可以加以肯定表扬之后，再强调其中的关键词语，然后板书；若回答的不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后（若学生不能总结完整，教师可适当给以提问性的铺垫）再强调关键词语，然后板书．此处是本节课的重点和难点，一定不能操之过急．
板书：一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S（m2）与一边长L（m）之间的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量．（出示幻灯）
此题较简单，可由学生独立完成，完成之后，可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解．
练习：1, 2, 3．口答．
2．补充：（出示幻灯）
下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
由学生加以讨论回答．
答：（1）、（2）、（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；
（4）不是函数．因为对于每一个x的值，y不是有唯一的值与它对应．（注意学生在说明原因时的语言，一定要正确．）
提问：由练习（4）说明了什么问题？
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
函数的概念是本章的一个重点，而函数的概念又是从两个量之间的关系得到的，因此本节课从两个实际问题入手，首先让学生分清什么是常量，什么是变量，接着让学生总结变量之间的关系，从而得出函数的概念，为了使学生能正确地理解函数的概念中的“唯一的”这三个字的含义，可给出数字，让学生代入式子中加以验证，最后又给出一道补充练习题，让学生能更深层次地理解这个概念．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．你能否举出函数的例子？
这个问题的答案不确定，主要是为了让学生熟悉函数的概念，在学生举例的过程中，若发现问题，应及时加以纠正．
3．这节课我们还学习了常量和变量，请你回答：自变量和函数是什么量？
四、布置作业
教材习题13.2A组1，2．B组3，4题
五、板书设计
六、参考资料
《名师授课录》（上海教育出版社）
函数（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．理解自变量的取值范围和函数值的定义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值；2．使学生在了解函数的解析表示法的基础上，进一步认识与了解函数的意义；3．能在已知函数值的情况下求出相对应的自变量的值．
（二）能力训练点：1．在确定自变量取值范围的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．在求函数值的过程中进一步加强对学生运算能力的培养．
（三）德育渗透点：通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：求自变量的取值范围和已知自变量的值求函数值．因为在通常情况下，自变量是有一定的变化范围的，而且对于在一定范围内变化的自变量，函数值也有一定的变化范围．
2．教学难点：求自变量的取值范围．因为自变量的取值范围，决定了函数值的变化范围．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了数学中一个很重要的基本概念——函数，这节课我们将来学习与函数有关的一些知识．
（二）整体感知
提问：1．根据上节课所学知识，请你举一个函数的例子，并写出函数表达式，同时请说明它为什么是函数．
由于这个问题较基本，而且可以因人而异，所以可选择几个中下层次的学生来回答，培养学生的参与意识及能力．在学生回答的同时，把这些式子写在黑板上，留待后用．
2．（从上面出现的函数关系式中选出较恰当的一个）请你说出这个式子中的常量与变量，自变量与函数．
由学生回答，互相评价即可．
根据上述问题中给出的函数关系式，指出：（板书）这几个函数关系式，都是利用数学式子（即解析式，在此处不必扩充解析式的定义）来表示的，我们称这种用数学式子表示函数的方法叫做解析法．
提问：上述定义里的“这种”，你认为是什么含意？
由学生讨论，适当引导学生，可找学习较好的学生回答，然后教师加以总结，除了解析法之外，函数还有其它的表示法．例如：在本章开始时，所给出的温度图表，其实就是用图象表示函数，这些我们将在以后学习．
提问：1．看函数解析式S=πR2，若单纯以式子出现，这里的自变量R的取值范围是怎样的？
2．若给出圆的面积公式S=πR2，这里的自变量R的取值范围又是怎样的？
这两个问题由学生讨论回答，在此处提出这样的问题，主要是使学生明确：在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．（教师总结）
下面我们就来看一下求自变量取值范围的例题：（出示幻灯）
例1 求下例函数中自变量word/media/image15_1.png的取值范围：（1）y=2
word/media/image16_1.png+3；（2）
提问：①看这几道题，自变量在什么样的式子中？
②上述式子，在什么样的条件下有意义？
教师提问之后，剩下的工作可由学生自行完成，然后由学生回答，互相评价即可．
练习:1
的难度，教师可在适当的地方加以点拨，尤其注意文字“或”与“且”的使用．
练习2
由学生讨论完成这道题．
注意：关于x的取值范围，纠正学生中易出现的x＞0这种错误，向学生解释明白（或由学生自行解释）：字数一定是整数的．
上面，我们主要是讨论如何确定自变量的取值范围，那么在这样的取值范围内，函数值有没有变化呢？应怎样求出特定自变量值的情况下函数的值呢？由学生思考．
看函数y=x（30-x），当自变量x=5时，对应的函数值是多少？
由学生思考之后．口述过程．教师板书完成此题．
下面，我们来看一个例题：（出示幻灯）
例3 求下列函数当x=2时的函数值：
由学生独立完成，找两名同学上黑板板演，第1名同学做（1）、（2）题；第2名同学做（3）、（4）题．然后根据学生做题的情况，总结，纠正出现的错误．
提问：求函数值的问题实际就是求什么的问题？
提这个问题主要是使学生能对所学的知识有正确地认识，而且能正确归类，便于学生理解、记忆．
这个问题由学生思考回答，若是没有思路，可以启发学生从解题的方法上找结果，总结：实际就是求代数式值的问题．
练习1，2题
由学生独立完成，教师巡回指导，口答答案即可．
刚才，我们研究了怎样由自变量的值求函数值，试想，若已知函数值应怎样求对应的自变量的值呢？
由学生讨论方法，与上述例题的方式正好相反，之后出示例题：（出示幻灯）
例3 当x取什么值时，下列函数值为0：
（1）y=3x-5；（2）y=2x2-5x+3．
提问：函数值为0，是什么意思？
由学生思考、总结：函数值为0，即y=0．然后由学生独立完成，找两名同学板演，最后加以总结，评价即可．
练习三：当x取什么值时，下列函数值为0：
由学生独立完成，若学生在做题时有一定的困难或有错误出现，教师应及时加以纠正．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的教学重点是求自变量的取值范围，为了让学生明确为何要确定自变量的取值范围，首先引出了函数的解析式，然后通过一个具体的解析式S=πR2的不同含义，使学生明确上述问题．在学生知道了为什么要确定自变量的取值范围之后，就开始通过各种不同类型的问题，让学生进一步理解自变量的取值范围实际就是使函数解析式有意义的那一部分值．同时，能使学生对不同类型的问题找到求自变量取值范围的方法，在小结中形成规律，便于学生的记忆和应用．
同时，在研究了自变量的取值范围之后，又很自然地使学生想到，随着自变量的值不同，对应的函数值也就不同，因此又引出了已知自变量的值求函数值和已知函数值求自变量的值这两个问题，使学生能很容易地接受．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答．
1．这节课我们介绍了一种什么样的表示函数的方法？
2．用解析法表示函数应注意什么问题？
3．求函数的自变量的取值范围的方法是怎样的？
对第3题，由学生先讨论之后回答，对有欠缺的部分互相补充，形成有规律而且完整的知识．
答：（1）要使函数的解析式有意义：
①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；
②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数．
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义．
4．如何在给定自变量的情况下求函数值？又如何在给定函数值的情况下求自变量的值？
四、布置作业
1．教材习题3，5，6，7题
五、板书设计
函数的图象（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生初步认识函数的图象；2．使学生能通过函数的对应值表，了解函数的列表表示法；3．通过函数的图象，了解函数的图象表示法；4．通过函数的多种表示法，使学生加深对函数意义的了解．
（二）能力训练点：1．通过函数的三种表示法的介绍，培养学生分情况、分类别讨论问题的方法；2．通过函数图象的教学，向学生渗透数形结合的思想方法．
（三）德育渗透点：通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系的和有规律地变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：在了解列表或画图方法表示函数的基础上，会用描点法画出函数的图象．因为本章主要学习函数的图象，而以后画函数的图象都是用描点法．
2．教学难点：正确而合理地选择列表数值，因为描点法作图的关键是找准点的位置，而点的位置就是由自变量的值和它对应的函数值确定的．
三、教学步骤
（一）明确目标
提问：1．上节课我们学习了一种表示函数的方法，是什么？
2．它是不是唯一的表示函数的方法呢？
这节课我们就来学习函数的其它表示方法以及怎样表示．（板书课题）
（二）整体感知
看实例：一种豆子每千克售价2元，即单价是2元/千克，豆子总的售价y（元）与所售豆子的数量x（千克）之间的函数关系式应怎样表示？你能否指出其中的自变量和函数？（出示幻灯）
这两问可分别由两名同学来完成，适当找层次较低的学生来回答，这样既可以给学生一次成功的表现机会，又可以体现出面向全体学生．
提问：1．你能否指出这个函数中自变量的取值范围？这个问题主要是为了明确列表时从哪个数值开始．
2．你能算出当x=0，0.5，1.5，2，2.5，3时的函数值吗？由学口答完成．
这两个问题既巩固了上节课的知识，又直接为下面的列表服务．用幻灯出示下表：
上面，通过列表给出x与y的对应值，或可以表示y与x的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法．
提问：你认为用列表法表示函数有什么样的特征？
由学生讨论上述问题，在讨论的过程中，学生自然要与解析法相对比，可以使学生进一步分清各种表示法在不同情况下的优与劣，培养学生看事物要深刻，而且一分为二的辩证唯物主义观点．
答：（1）直观，可直接从表中找到x与y的对应值；
（2）局限性，只能表示函数的一部分．（特殊情况除外）
提问：1．看上表，给出的实际是一列实数对，如果规定把自变量x的值写在前面，函数y的值写在后面，我们就得到一列什么样的实数对？
2．想一想，有序实数对与什么有关？有什么样的关系？
通过这两个问题，可使学生很自然地把上面的列表与坐标平面联系起来，就可以顺利引出函数与坐标平面内的图形的联系．
3．能否把上表中给出的有序实数对在坐标平面内描出相应的点？
此图可由一名同学板演，其他同学在练习本上完成，互相批改．
注意：（1）若自变量的值与函数值的差别较大，可以在x轴与y轴上用不同的长度表示不同的单位；
（2）在表中给出的数越多，相应地在坐标平面内描出的点也就越多．
下面我们来看一个简单的函数y=x．
提问：1．能否指出自变量的取值范围？
2．能否列出x与y的对应值表？你认为选什么样的自变量的值较好？讨论，回答．
这个问题主要是让学生明确在列表时，为了以后描点的方便选什么样的值较好．
答：（1）选绝对值较小的数；（2）选整数．
3．你能否根据表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点？一名同学板演，最好有事先准备好的专用的画有坐标平面的小黑板，其他同学在练习本上完成．
学生描完点之后，教师可根据情况进行总结评价，然后提问：
你认为我们可以根据解析式得到多少有序实数对？对应地可描出坐标平面内的多少点？你试试看，这无数多点组成了怎样的图形？为什么？
后两问可由学生讨论之后再回答，总结：因为图形上的每一点到x轴与y 轴的距离相等（x=y），由几何知识可知，这样的点组成的图形是以这两条轴为边组成的角的角平分线，因此这个图形是一条直线．这条直线就是函数y=x的图象．
教师边讲边板书：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．我们也可以用图象来表示一个函数，把这种方法叫做图象法．
提问：图象法表示函数有怎样的特征？可让学生讨论回答．
答：（1）形象，直观；
（2）可以表示事物变化的全过程；
（3）有局限性，只能画出函数图象的一部分．（特殊情况除外）
提问：在讨论列表法和图象法时，说到它们的局限性时，我们都说到了特殊情况除外，能不能不说“特殊情况除外”呢？
提这个问题主要是为了扩展学生的思维，加强学生思维的深刻性．
由学生讨论，举适当的例子回答上述问题．只要想到自变量的取值范围有限即可．
练习第1题 只要求填表、描点．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点是用描点法画出函数的图象，为了解决这个难点，在本节课一开始，就用实际问题给出了用列表法表示函数．有了列表法之后就引导学生明确x、y的一对对应值就是一组有序实数对，而每一组有序实数对在坐标平面内就对应着一个点．把有限个点用平滑曲线连结起来，就是函数的图象表示法．这个过程是教师引导学生一步步完成，这样学生思路清晰，也为学生今后自己画函数图象有了可操作的方法．
在函数的列表表示法和图象表示法都有个自变量的取值问题，在以往的教学中了解到学生初次接触，有时取值过大或过小，给画图造成困难，所以开始就提出“怎样选平面坐标系中的单位长度与怎样选自变量x的值？”的问题，让学生边讨论边实践的方法，让学生自己动脑、动手来尝试来解决这个难题．
（四）总结、扩展
让学生看教材，回忆本节课的内容，回答下列问题：
1．到目前为止，我们共学习了几种表示函数的方法？各是什么？
2．这几种表示方法各有怎样的特征？（使学生养成归纳总结的习惯．）
四、布置作业
教材练习题1，2题，习题13.3中1，2题（只要求填表、描点．）
五、板书设计
函数的图象（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义；2．使学生会用描点法画出简单函数的图象．
（二）能力训练点：1．在选择恰当数值进行列表的教学中，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．在描点画图的过程中培养学生的动手能力；3．进一步向学生渗透数形结合的思想方法．
（三）德育渗透点：通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：能用描点法画出简单的函数图象．因为本章的重点就是研究函数及其图象，而函数图象都是用描点法来完成的，因此我们首先应让学生学会用描点法画简单函数的图象，才能在以后的学习中应付较复杂的函数．
2．教学难点：正确地画出函数图象．因为学生刚刚接触函数图象，对图象的变化趋势没有一定的认识，若描点稍有偏差，就会造成最后连线的错误．
三、教学步骤
（一）明确目标
提问：1．根据前几课的学习，我们共学习了几种表示函数的方法？各是什么方法？
可选中下层的学生来回答这个问题．
2．这三种方法各有怎样的特征？
由学生先议论一下，然后举手回答，再互相补充．
3．你认为这三种表示法之间有没有什么关系？
这个问题可给学生一定的时间加以讨论，然后再回答．提这个问题主要是为了让学生（1）把函数的解析式、列表、图象这三种方法有机地结合起来；（2）清楚画函数图象的基本步骤．
答：有了函数的解析式就可以根据解析式求值列表，列出表之后就可以在坐标平面内描出对应点，把这些对应点连结起来就是函数的图象；反过来，有时我们也可以根据已知的表和函数图象写出函数的解析式，这个问题等我们以后遇到再加以讲解．
这节课我们就主要来学习根据已知函数的解析式来画出函数的图象．（板书）
（二）整体感知
提问：1．上节课我们画了一个函数的图象，谁能说出是哪个函数的图象？
2．你能否说出y=x这个函数的图象是什么？
注意：若学生能说出它是一、三象限的角平分线就最好，若不能，只要说出它是一条直线也可以．
3．你还能简述一下我们是怎样画出这个函数的图象吗？
提这三个问题主要是为了在复习上节课知识的同时总结出由函数解析式画图象的一般步骤．
根据学生回答第3个问题的情况加以总结．教师边讲解边板书一些关键词语或把步骤提前写好用幻灯出示：
由函数解析式画图象，一般按下列步骤进行：
1．列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2．描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3．连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来．
提问：1．你认为在上述步骤中，每一步都应注意什么问题？
由学生分步骤提出需要注意的问题，让学生尽可能多地发言，然后针对学生所提出的相对集中的注意问题或学生还有欠缺的问题再加以强调．
注意：（1）列表时，选值要恰当，有利于我们正确而方便地画图，并能看到图的整个变化趋势，另外计算要准确；
（2）描点时，要找准点的位置，不要用特别粗的笔，要使点的位置清晰，以便连线；
（3）连线时，要注意图象的走势，按照自变量从小到大的顺序，用平滑曲线连结．
2．你认为我们画出的函数图象，在一般情况下，是全部的图象，还是局部的图象？
3．你认为描点的多少对画函数的图象有何影响？
4．我们画的函数图象，是精确的还是近似的呢？
上述三个问题主要为的是加深学生对函数图象意义的理解，可由学生讨论回答．
下面，我们就按照上面的步骤来画一个函数的图象．（出示幻灯）
例 画出函数y=x+0.5的图象．
提问：（1）一般情况下，我们画一个函数的图象，找5至7个点的较多，若这个图我们准备选7个点来完成，你想怎样取自变量的值呢？
由学生讨论选取怎样的7个点，各自说明选取的理由，然后找出最佳的选值方法．
（2）你能否画出这个函数的图象？
由一名同学上黑板画，可事先准备好一块画有坐标平面的小黑板，其他同学在练习本上画，教师巡回指导，最后针对画图时出现的问题加以总结即可．
练习题中1、2 上节课已列表、描点，这节课只要连线就可以了，让学生口答连成的线的形状．
2．看上节课作业 我们已经列表，描点完毕，你能否用平滑曲线把你所描的点连结起来？
这道练习题一方面让学生认识到函数图象并不都是直线，另一方面也让学生进一步体会一下“平滑曲线”的含义，同时为以后学习二次函数与反比例函数的图象打下伏笔，加强学生的动手能力．
对于这道题的处理，教师可让学生用铅笔直接在作业本上连结，然后同学之间互相参看，等学生都画得差不多了，教师演示一下这两个图的连结方式，不必深讲．
3．让学生看书．
由学生独立完成（1）题．
关于问题（2），在学生完成问题（1）之后，由学生讨论“如何检验给出的点是否在函数图象上”？
提示：①我们在画图时，首先是列表，然后描点，这些点是怎样得来的？（从函数关系式）所以我们是否可以利用函数关系式来判断呢？（代入计算）；
②我们已经画出了函数的图象，你能否把给出的点描在同一个坐标平面内？你能否由此判定给出的点是否在函数图象上？（看图）
让学生分别利用上述两种方法来检验一下，在运用方法②时，同时向学生强调作图要注意“精确”．
提问：你通过这两种方法检验的结果是否一样？你能否由此说明函数关系式与函数图象上的点有怎样的关系？
问题（1）很明显，问题（2）可由学生讨论回答，主要是为了培养学生思维的深刻性和全面性．
答：满足函数关系式的点必在该函数的图象上；反过来，函数图象上的点必满足函数关系式．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点和难点都是能正确画出简单的函数图象，为了使学生能顺利得出画函数图象的一般步骤，教师首先引导学生回忆上节课所画的函数y=x的图象，通过这个例子学生总结出画图的一般步骤之后，教师又引导学生说出每步应注意的问题，为以后的作图打下良好的基础，然后通过例题对每一步骤加以熟悉，又通过练习对它加以巩固，并让学生画了两个较复杂的图，使学生对函数图象的认识从直线到曲线，加强学生的灵活性和应变能力．整节课都是在教师的指导下学生自主完成的，有助于培养学生各方面的能力．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．由函数的解析式画图象，一般应按什么步骤来画？
2．若要使画出的函数图象精确，取的点越怎样越好？
3．函数关系式与函数图象上的点有怎样的关系？
四、布置作业
教材课本习题13.3中A组3题 B组1，2题．
五、板书设计
一次函数
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念；2．使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式．
（二）能力训练点：培养学生分析问题、解决问题和类比、归纳的能力．
（三）德育渗透点：1．通过一次函数与正比例函数概念的教学，向学生渗透特殊与一般的辩证唯物主义思想；2．通过例题的讲解，向学生进行数学来源于实践又反过来作用于实践的观点的教育．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：一次函数与正比例函数的概念及根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为一次函数与正比例函数是学生接触到的具体函数中最简单的，以后学习其它函数的基本思路都按照研究一次函数的方式，而研究一次函数的性质和图象，都是从其解析式出发的．
2．教学难点：根据实际问题中的条件确定一次函数与正比例函数的解析式．因为现在的数学教育中培养学生用数学的意识是很重要的一点，而现在的学生往往缺乏实际经验，对从实际问题中抽象出数学模型的训练又不多．
三、教学步骤
（一）明确目标
前几节课我们学习了一些与函数有关的知识点，它们都是一些一般性的问题．从这节课开始，我们将来研究几个特殊函数的解析式和图象．首先，我们来研究一次函数．（板书）
（二）整体感知
提问：1．什么是函数？
2．函数有哪几种表示方法？
3．你能否举出几个函数的例子？
若学生举的例子正是一次函数，就把它写在黑板上，用于讲解；若学生举的例子不适合，可采用书上给出的例子讲解．
提问：（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系）
（2）这些函数中的自变量是什么？函数是什么？
这个问题主要是使学生明确函数就是等号左边的s和y；而自变量是x和t之后，明确等号右边其实是一个代数式的形式，以便回答下一个问题．
（3）在这些函数式中，含有函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式子？
这个问题是给出一次函数的概念的关键问题，若学生没有想到用“一次式”这种方式表示，教师可直接向学生提出“是关于自变量的几次式”这个问题，再由学生回答．
（4）结合我们学过的一元一次方程的有关知识，你能否说出x的一次式的一般形式是什么样的？
由学生讨论回答，及时纠正可能出现的错误，最后加以总结：x的一次式是kx+b（k≠0）的形式．
由上面的问题结果综合得到：（板书）
一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数．
提问：（1）k、b是常数的含义是什么？
答：对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的．
（2）对于函数y=2x+3和y=-2x-5，你能否指出其中的k和b？
这个问题一方面是为了向学生进一步说明k和b是常数的含义，另一方面也是为了培养学生思维的灵活性和深刻性，充分体会一次函数标准形式的表示方法，能正确分清其中的k和b，为以后学习一次函数的图象和性质打下良好的基础．强调学生在回答时，注意k和b的符号．
（3）k≠0这个条件能否省略不写？
由学生讨论回答，指出若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数，不必向学生交待常函数的意义．
（4）上述一次函数的定义中，限制了k≠0，那么b能否为0呢？若b=0，上述式子变形为什么样？
这个问题主要是为了引出正比例函数的概念，同时，通过这种引法，也可以使学生体会到正比例函数与一次函数是有关系的．
由问题（4）总结，板书：
特别地，当 b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数．
提问：（1）正比例函数与一次函数有怎样的关系？
答：正比例函数是一次函数的特例．
（2）小学时，学过正比例的知识吗？是怎样叙述的？请你回忆一下．
小学叙述时，是强调两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．写成式子是
提问：小学学过的正比例与我们现在说的正比例函数有什么关系？
先由学生观察，然后总结：把小学学过的正比关系的式子加以变形就成为y=kx（k一定），也就是我们现在所学习的正比例函数．由于小学定义时k为商，所以k当然不为0，这个细节可由教师提问后学生回答．但小学学习时，x与y只能取正数，但现在就不同了，x和y可以取任意实数．由这个总结使学生对学过的知识能加以系统的理解．
练习题1，2 口答．
注意：一定要让学生说清原因．
刚才我们学习了一次函数和正比例函数的概念，下面我们来看一下，能否根据实际问题自己列出一次函数和正比例函数的关系式呢？（出示幻灯）
例1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．
（1）求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；
（2）求3.5秒时小球的速度；
（3）求经过几秒小球的速度可变化为10米/秒．
分析：v与t是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解：
例2 拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
这道题学生会感到有困难，以提问的方式分析：
（1）油箱中的油为什么会减少？（耗油）
（2）余油量与什么有关？（原油量与耗油量）
（3）耗油量与什么有关，怎样表示？
（4）你能否确定这个函数关系式？
（5）这道题是实际问题，拖拉机能否一直工作？什么时候拖拉机不能工作了呢？
练习二 填在书上，口答，注意单位（万元）．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的第一个重点是一次函数与正比例函数的概念，为了便于学生的理解，教师不是上来就给出概念让学生背，而是通过一些函数的解析式让学生归纳总结一次函数概念，然后通过一次函数概念中的一些条件的分析得出正比例函数，使学生很清楚地看到一次函数与正比例函数的关系．
关于本节课的第二个重点和难点，教师更是要给学生充分的思考时间，并把问题层层剖析，使学生能理解实际问题的含义，由此自然而然地达到把实际问题抽象成数学模型的目的．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们学习了几个特殊的函数？
2．你能分别说出它们的一般形式吗？
3．正比例函数与一次函数有怎样的关系？
4．确定实际问题的自变量取值范围应注意什么？
四、布置作业
1．教材习题13.4A组 1、2、3、4、5；
2．选做：教材习题B组1、2
五．板书设计
一次函数的图象和性质（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生会画出一次函数和正比例函数的图象；2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质；3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念．
（二）能力训练点：1．通过画正比例函数与一次函数的图象，培养学生的动手能力；2．在正比例函数与一次函数的性质的教学中，培养学生的观察、分析、总结、归纳的能力；3．进一步向学生进行数形结合的思想方法的教育．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：正比例函数的图象及性质，因为图象是研究性质的前提，而研究性质又是进一步研究函数的基础．
2．教学难点：由函数的图象归纳得出函数的性质及对性质的理解．因为由图象归纳函数的性质是学生首次接触，学生没有基本思路，而且学生思维的深刻性和全面性也不够．
三、教学步骤
（一）明确目标
提问：1．上节课我们介绍了两种特殊的函数，是哪两种？
2．什么是一次函数？什么是正比例函数？
由学生口答之后互相评价，纠正出现的错误．
这节课我们将要进一步研究这两种函数，主要来研究它们的图象和性质．（板书）
（二）整体感知
提问：1．以前我们曾画过y=x的图象，它的图象是什么样的？
2．上节课的作业我们曾在同一直角坐标系中画出了三个函数图象：y=2x，y=2x-1，y=2x+1，这个函数图象是什么样的？
3．函数y=x，y=2x，y=2x-1，y=2x+1各是什么函数？
4．正比例函数与一次函数有什么样的关系？
5．你能否由此猜测：一次函数的图象是什么样的？
由上述问题，学生很容易得到结论：一次函数的图象是一条直线．教师再加以强调总结并板书．
6．由几何知识可得，要画一条直线只要知道几点就可以了？
由此问题可给出画一次函数图象的方法：只要先描出两点，再连成直线就可以了．
练习一：画正比例函数y=0.5x与y=-0.5x的图象．（出示幻灯）
提问：你准备取哪两点来画这两个图象？为什么？
由学生充分讨论，对比之后，得出两点，让学生明白取这两点的好处．然后由一名同学上黑板画图，其他同学在练习本上完成．最后再加以总结板书：画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连线．
提问：1．看y=0.5x的图象，随着x的值增大，y的值有怎样的变化趋势？
2．再看y=-0.5x的图看，随着x的值增大，y的值有怎样的变化趋势？
3．你认为这两个函数图象的变化趋势不同，是由什么因素影响的？
这几个问题可由学生讨论回答，有助于培养学生的观察、分析问题的能力和思维的深刻性．在学生回答的基础上，教师加以总结和板书：
一般地，正比例函数y=kx有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小．
我们知道正比例函数是一次函数的特例，那么，正比例函数的这个性质一次函数是不是具有呢？看练习：（出示幻灯）
练习二：在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=2x+1，y=-2x+1．
提问：要画这两个函数的图象，你认为取哪两点较好？
由学生进行充分的讨论，适当地向学生提示：在坐标平面内，什么样的点好找？（轴上的点）由此启发学生恰当地找出两点，便于画图，形成规律．然后由一名同学上黑板画图，其他同学在练习本上完成．最后加以总结，板书：
连线．
注意：通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b．
提问：观察你所画的图象，一次函数y=kx+b是否具有同正比例函数y=kx相同的性质？
有了上次的经验，学生很容易就能得到结论，教师在此基础上总结，板书：
一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小．
课本练习题1直接画在书上；
2．填在书上，口答；
3．（出示幻灯）画出函数y=3x+12的图象，利用图象：
（2）求y=3，9，-3时对应的x的值；
（3）求方程3x+12=0的解．
分析：（1）这道题是利用图象解决问题，所以应先画出图象．由一名学生板演，其他同学在练习本上完成．
注意：由于本题的数值问题，所以x轴和y轴最好取不同的长度表示不同的数值．
（2）若已知x（或y）的值求与它对应值y（或x），应怎样在图上找呢？例如：已知x=-2时，求y的值．由学生先讨论，然后动手作，找到y的对应值，最后回答是怎样作的．（作垂直）
（3）你能否找到余下的x与y的对应值？
学生作图之后，口答结果．
（4）若求方程3x+12=0的解，看方程3x+12=0与函数y=3x+12的关系，实际就是求什么？
学生讨论回答，然后加以总结：求方程3x+12=0的解其实就是看函数y=3x+12的图象当y=0 时对应的x的值，也就是看图象与x轴交点的横坐标．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点是画正比例函数与一次函数的图象及由图象总结得出函数的性质．为了能使学生顺利地掌握画图的方法，首先给学生一个明确的感性认识：一次函数的图象是一条直线，再通过几何知识得到，画一条直线只要知道两点即可，然后又通过实例总结出画正比例函数图象与画一次函数的图象找哪两点较好，加以总结，形成规律，便于学生的记忆和应用．在画完图象的基础上，由学生对图象进行观察，然后教师提出关于变化的问题，对学生加以引导，使学生很顺利地得到正比例函数与一次函数的性质．整节课的关联性较强，一环扣一环，便于学生的思考．
（四）总结，扩展
教师提问，学生思考回答：
（1）画正比例函数y=kx 的图象取哪两点？
（2）画一次函数y=kx+b的图象取哪两点？
（3）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b 的性质是怎样叙述的？你认为只要记住哪个函数的性质就可以？（一次函数的性质）为什么？（正比例函数是一次函数的特例，一次函数具有的性质正比例函数必具备．）
（4）我们是由什么得到函数的性质的？
（5）能否考虑由解析式得到正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的性质呢？
由学生讨论，看学生的程度决定是否向学生介绍这个问题．
答：实际上，看y=0.5x．
任取两对对应值（x1，y1）（x2，y2），如果x1＞x2，由k=0.5＞0，可得0.5x1＞0.5x2，即y1＞y2．也就是说，对于y=kx，若k＞0，则y随x的增大而增大．
类似地，可以说明y=-0.5x的性质和y=2x+1，y=-2x+1的性质．
四、布置作业
1．教材习题13.5A组中1、2．
2．选做：B组1．
五、板书设计
一次函数的图象和性质（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．复习一次函数的概念、图象与性质的有关知识；2．使学生会用待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式，进而理解待定系数法．
（二）能力训练点：1．培养学生分析、归纳、总结的能力；2．向学生渗透“待定系数法”的应用．
（三）德育渗透点：在“待定系数法” 的教学中向学生渗透转化的思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式．因为只有确定了解析式才能研究它们的图象与性质．
2．教学难点：用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式．因为学生初次接触待定系数法，而且运用待定系数法又要在明确函数特征的基础上进行．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们介绍了一次函数和正比例函数，我们已经知道了怎样根据函数解析式画出它们的图象，又根据图象得到了它们的性质，但我们应如何确定它们的解析式呢？
这节课我们就来介绍一种重要的数学方法——待定系数法以及如何用待定系数法来确定正比例函数及一次函数的解析式．（板书）
（二）整体感知
首先，我们来回顾一下上节课所学的知识：
1．什么是一次函数？什么是正比例函数？
2．怎样画正比例函数y=kx的图象？
3．怎样画一次函数y=kx+b的图象？
4．正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b有怎样的性质？
由学生举手回答之后互相评价补充即可．
下面，我们来看一个问题：（出示幻灯）
已知一个正比例函数，当自变量x=3时，函数值y=5，你能不能写出这个正比例函数的解析式？如果能，你是如何写出的呢？
提这样的一个问题为引导，而不是直接拿出一次函数的问题来解决，主要是因为学生初次接触待定系数法，会是个难点，从最简单的部分开始研究，有助于学生思考、突破这个难点，从而顺利过渡到一次函数．
这个问题先由学生试着做，由于难度较小，学生可能会顺利解决，主要是由这个问题让学生说明解题思路，以及如何想到的这个思路，然后在学生回答的基础上教师再理顺思路，加以归纳：
提问：1．根据已知，要确定的函数是个什么函数？
2．正比例函数的一般形式是怎样的？
3．要确定这个正比例函数，其实就要确定什么？（系数k）
4．若只有一个未知数，有几个方程就可以求出固定的解？
5．你能否由此得出结论：若用待定系数法确定正比例函数y=kx的解析式，应已知几点？
现在，我们已经能运用待定系数法求出正比例函数的解析式了，能否仿照上述思路，用待定系数法求出一次函数的解析式呢？来看第二个问题：（出示幻灯）
已知一个一次函数，当自变量x=3时，函数值y=5，当x=-4时，y=-9．能不能写出这个一次函数的解析式？
让学生读题思考之后，提问：有没有谁能代替老师来分析和讲解这个问题？
由于上面已经分析过了解决正比例函数的问题，而解决一次函数的问题与它完全类似，所以对于较好的学生，这道题已完全可以自己解决．因此，在此处，就可以充分体现学生在课堂上的主体作用，给学生以表现自我的机会，培养和锻炼学生的能力．而且，同时可以从学生的分析和讲解过程中发现存在的问题，及时加以纠正．若学生讲解的毫无问题，要及时给以肯定，给学生以成功的体验，培养学生的自信心和自主解决问题的能力．
学生讲解清楚之后，教师提问：
1．如果上面的问题只知道当x=3时，y=5，能不能写出这个一次函数的解析式，为什么？
这个问题既能使学生更进一步理解待定系数法的解题原则，又能培养学生思维的深刻性．
2．你能否根据用待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式的过程回答：要确定一个函数的解析式，用几点是由什么决定的？
这个问题主要是为了让学生能对所学的知识形成规律，便于记忆和应用．
3．前面我们一再强调，今天所学的确定函数解析式的方法叫什么名称？你能大体说明一下为什么叫待定系数法吗？
先由学生说说看，只要明确它的含义就可以了，最后再由教师总结，板书：
像这样先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
下面，就请大家用待定系数法自己来解决一道题：（出示幻灯）
例 已知直线y=kx+b 经过点（9，10）和点（24，20），求k和b．
提问：直线y=kx+b经过点（9，10）和点（24，20）是什么意思？
学生可独立完成这道例题，针对学生完成的情况，加以总结，提出注意问题．
练习题1、2．
找两名同学板演，其他同学在练习本上完成，教师巡回批改．
由这两道练习题进一步说明：选用点的个数与要确定的系数个数相同．
上面我们学习了如何用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式，同时我们还学习了根据解析式画出图象，下面我们来看一道练习题：（出示幻灯）
2．观察你画过的一次函数的图象，回答下列问题：
（1）当k＞0时，y=kx的图象经过哪几个象限？当k＜0时呢？
（2）当b＞0时，y=x+b的图象经过哪几个象限？当b＜0时呢？
（3）你能否总结出y=kx+b的图象经过哪几个象限？
通过这三个问题，使学生加深对函数图象的理解，进一步明确系数k和b对函数图象的影响，形成有规律的较完整的知识．
答：对于正比例函数y=kx的图象：
（1）当k＞0时，经过一、三象限；
（2）当k＜0时，经过二、四象限．
对于一次函数y=kx+b的图象：
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的教学重点和教学难点都是用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式．为了解决这个问题，首先是用确定正比例函数的解析式这个最简单的问题来引出待定系数法的基本思路，让学生初步了解，有了一定的认识之后，再提出一次函数的问题，使学生能顺利地接受这一知识，并能正确地加以应用．在学生能应用的基础上，总结规律：用待定系数法确定函数的解析式需要几点是由待定系数的个数来决定的．为学生以后学习用待定系数法确定其它函数的解析式打下坚实的基础．
（四）总结，扩展
教师提问，学生思考回答：
1．本节课我们学习了一种重要的数学方法是什么？
2．根据已知的自变量与函数的对应值，利用待定系数法确定函数解析式的具体步骤是什么？
答：（1）写出函数解析式的一般形式，其中包括未知系数；
（2）把自变量与函数的对应值（也可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组（有几个待定系数，就要有几个方程）；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．
3．如何确定正比例函数与一次函数的图象所经过的象限？
4．你能指出当一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限时，k与b的取值范围吗？
这个问题的提出主要是培养学生的逆向思维能力．
四、布置作业
教材习题13.5A组中4、5，6．
五、板书设计
二次函数y=ax2的图象（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生知道二次函数的意义；2．使学生会用描点法画出二次函数y=x2的图象，并结合y=x2的图象，初步理解抛物线及其有关概念．
（二）能力训练点：1．进一步培养学生用描点法画函数图象的能力；2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育．
（三）德育渗透点：通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：二次函数的意义及二次函数y=x2的图象的画法．因为它们是研究二次函数的重要基础．
2．教学难点：正确画出二次函数y=x2的图象．因为它的图象是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数y=x2的图象的具体形状和变化趋势，所以不易把握．
三、教学步骤
（一）明确目标
我们已经在介绍了函数的一些基本知识的基础上介绍了一种特殊的函数——一次函数（包括正比例函数），从今天开始，我们将来介绍另一种特殊的函数——二次函数．（板书）
（二）整体感知
首先，我们来看两个实际问题：（出示幻灯）
1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？
这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心．然后把答案写在黑板上留用．
2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为word/media/image35_1.png，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式．
这个问题其实就是13．2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是S=word/media/image36_1.png（30-
word/media/image37_1.png），再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上．
提问：比较S=πR2与S=30word/media/image38_1.png-
word/media/image39_1.png 这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？
用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么，y叫做x的二次函数．
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？
通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
练习题1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因．
提问：根据我们所学知道，一次函数的图象是条直线，那么二次函数的图象又是什么样的呢？
这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．
我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？
这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究y=x2．另一方面也使同学认识到研究问题要由简到繁的基本方法．
所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图象方法与步骤，我们应怎样画二次函数y=x2的图象呢？
可由学生先回答画函数图象的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图象的方法．
（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其它数较好？
③看x2，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？
学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，x2的值相同．
④若选7个点画图，你准备怎样选？
通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使学生初步学会画二次函数图象时选点的技巧．
（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？
②怎样画就可以了呢？
答：x轴的正，负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．
通过这两个问题可培养学生的作图技巧．
（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？
② 我们应怎样连接这7个点？
让学生先连一次试试，然后教师演示．关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．
注意：我们所画的只是近似图象．
接下来，让学生观察这个函数图象提问：
1．函数y=x2的图象有什么特点？
答：是轴对称图形．
2．你是怎样判断函数y=x2的图象有上述特征的？
这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．
学生回答完上面的问题之后就可指出：函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．
（板书）
在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲．
再结合图象指出：抛物线y=x2是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点．
关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：
从图象上直观得到：抛物线y=x2的顶点是图象的最低点；从解析式上看，当x=0时，y=x2取得最小值0，（0，0）就是抛物线y=x2的顶点坐标．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点是二次函数的意义及二次函数y=x2的图象的画法．为了使学生知道二次函数的意义，首先用了两个生活中的实际问题，引出两个解析式，而这两个解析式的共同特征就是它们都是用自变量的二次式表示的，由此得到二次函数的意义．为了能使学生有更深一步的认识，通过对y=ax2+bx+c中a，b，c的取值的剖析，得到三个特殊的二次函数，也让学生明确了判断二次函数的本质问题．而对二次函数y=x2的图象，教师更是步步设疑，用一个个的问题，帮助学生进行分析、总结画图的方法，整个过程都很自然而且梯度较好，适合学生理解，最后又如图归纳得出所有二次函数的图象都是抛物线，使学生的认识更上一层．通过动画演示抛物线在原点附近的变化趋势，既提高了学生的学习兴趣，又使学生很直观地看到图形的得出，更容易接受和记忆．
（四）总结，扩展
教师提问，学生思考回答：
1．你能否说清二次函数的意义？
注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2．
2．二次函数y=x2的图象是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
四、布置作业 ：课本习题13.7A组1，2
五、板书设计
二次函数y=ax2的图象（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象；2．使学生理解二次函数和抛物线的有关概念．
（二）能力训练点：1．进一步培养学生动手画较复杂图形的能力；2．培养学生观察图形，分析问题和解决问题的能力；3．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，并能使学生运用此数学思想方法解决某些问题．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：画二次函数y=ax2的图象．因为图象是研究函数有关问题的基础．
2．教学难点：画二次函数y=ax2的图象．因为它画起来比较复杂．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们已经学习了二次函数的意义，并且画出了最简单的二次函数y=x2的图象，这节我们将继续研究二次函数y=ax2的图象．（板书）
（二）整体感知
提问：1．在下列函数中，哪些是二次函数？
通过这个问题，主要是复习了二次函数的意义，使学生进一步明确判断一个函数是否是二次函数的方法．
这个问题在上一个问题的基础上更深入一步，而且是个逆向思维的过程，对培养学生思维的灵活性和发散性、深刻性都有一定的好处．
因为这道题对学生来说有一定的难度，所以先由学生讨论解决，然后口答答案，可多找几名同学回答，尽量使学生说出各种不同的答案，再由学生解释得出上述答案的思路，再由学生进行讨论、选择，最后得出正确的思路，不要急于给出正确答案．
（2）由此（二次函数）能得出什么结论？（m2-2=2）
（3）这样就可求出m的值是多少？（m=±2）
（4）是不是 m=±2都是上述问题的答案呢？
（5）为什么m=-2不是要求的结果？（m+2=0即a=0）
通过问题1和问题2这两种类型题的练习，就可使学生对二次函数的意义有了更深入地理解，而且能从正、反两方面对二次函数的意义加以应用．
3．上节课我们画出了函数y=x2的图象，它是什么样的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标又是什么？
4．我们是取了哪些点来画出这个函数的图象的？
可用事先准备好的小黑板给出上节课所列的表．
下面，我们来看一下，如何画出下面两个二次函数的图象？（出示幻灯）
（列表）
（2）我们应怎样列表画出这两个函数的图象呢？
可先仿照上节课画y=x2的图象的选取方式列表如下：
把这些数值直接填在练习4中所准备的表格中．
在描点之前先观察表中的值，我们看到需要在同一坐标系中描出（-3，18）和（3，18）这样的点，而同时又要描出（-1，0.5）和（1，0.5）这样的点，这是很不方便画图的，因此，我们考虑能否找出更好的取值方式呢？
方式可不变，而使y=2x2的取值方式变化，即把x的取值间距缩小，从间距为1缩小成间距为0.5，列出如书上所示的两个表．（板书）
通过这样的比较过程，可以使学生明确合理选值列表，对画出适当的函数图象有很重要的作用，从而促使学生在以后的练习中养成习惯，逐步摸索如何合理选值．
列完表之后，让学生在练习本上完成这两个函数图象，找一个同学板演，事先准备好上面画有y=x2图象的小黑板，让板演的同学就把这两个函数图象画在同一坐标系内，便于以后的观察．
学生在画图时，教师可巡回指导，待黑板上的同学画完之后，再集中加以总结、纠正．
让学生观察所画出的函数图象，提问：
答：开口大小不同．
2．它们的开口大小有怎样的变化趋势？
3．你认为是什么决定了开口大小的不同？
由学生观察，讨论回答，然后老师加以总结，板书：
当a＞0时，a的值越小，则抛物线开口越大；而a的值越大，则抛物线的开口越小．
这个结论也可以由函数解析式直接得到，看学生的层次加以讲解，但不必太深．
4．它们的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
都是向上的，是不是每个二次函数的图象开口都是向上的呢？下面，我们再来看一个例题：（出示幻灯）
例2 画出函数y=-x2的图象．
这个图象可由学生独立完成．
画完之后，可把函数y=-x2与函数y=x2的图象加以对照，提问：
（1）从解析式上看，它们有什么异同？
（2）从图象上看，它们有什么异同？你认为如果函数y=x2与函数y=-x2的图象在同一坐标系内，它们有什么关系？
这个问题可由学生讨论回答：它们关于x轴对称．
根据上面的学习，我们发现有的二次函数的图象开口向上，而有的二次函数的图象开口向下，你能说清，什么是决定开口方向的因素吗？
由学生讨论得到，教师板书：
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点（即顶点坐标为（0，0）），当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
练习题1由学生填，画在书上；
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的教学重点和教学难点都是画二次函数y=ax2的图象，根据上节课的学习，学生已知道了它们的图象都是一条抛物线，也清楚了连结各点的走势．因此，这节课教师把教学的重点部分放在如何选取列表上，经过试验，对比，使学生初步掌握选点的技巧，为以后画一般的二次函数的图象打好基础．另外，这节课还从这几个图象之间的关系上总结出了a的取值的作用及y=ax2的对称轴和顶点，整个过程完全由教师引导学生自主完成．
（四）总结、扩展：（出示幻灯）
填空：（1）抛物线y=ax2的对称轴是______，顶点是______，顶点坐标是______；
（2）当a＞0时，抛物线y=ax2的开口______；
（3）当a＜0时，抛物线y=ax2的开口______．
四、布置作业
1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象：y=5x2，y=-5x2．
2．已知点A（-4，m）在抛物线y=x2上，（1）求m的值；（2）点 B（4，m）在抛物线y=x2上吗？
3．已知点C（n，q）在抛物线y=x2上，（1）求n的值；（2）点D（-n，q）在抛物线y=x2上吗？
4．选做：教材习题13.7B1、2．
五、板书设计
六、参考资料
九年义务教育三年制初级中学《代数第三册教案》（人教版）
二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a（x-hword/media/image51_1.png的图象；
2．使学生了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2的对称轴与顶点；
3．了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2同y=ax2的位置关系．
（二）能力训练点：1．继续通过画图的教学，培养学生的动手能力；2．培养学生观察、分析、总结的能力；3．继续向学生进行数形结合的数学思想方法的渗透．
（三）德育渗透点：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：画出形如y=ax2+k与形如y=a（x-hword/media/image52_1.png的二次函数的图象；能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标．因为画出函数图象，是我们研究函数性质的重要方法，只有在准确的图象启发下，我们才能正确得出函数图象的变化趋势和性质，而这些特殊二次函数问题的研究，又是我们研究一般二次函数的基础．
2．教学难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=ax2+k和形如y=a（x-hword/media/image53_1.png的函数图象．因为二次函数的图象，随着我们研究越来越深入，越来越一般，画起来也就越来越复杂，而恰当地选值，是画出二次函数图象，并能使我们从图象正确得出结论的关键．
三、教学步骤
（一）明确目标
提问：1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如y=ax2的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．
从这节课开始，我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象．（板书）
（二）整体感知
复习提问：用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象指出：抛物线y=x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．
教师可边提问边在黑板上列出表格，同时在事先准备好的有坐标系的小黑板上画出该函数的图象，然后可以找层次较低的学生来指出抛物线y=x2的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价．
下面，我们来看一下如何完成下面的例题？（出示幻灯）
例1 在同一平面直角坐标系内画出函数y=word/media/image54_1.png与y=
word/media/image55_1.png的图象．
可以由学生先选择好自变量的值列表，就列在刚才复习中画函数y=x2的图象所列的表下面．如下表：
列完表之后，可以让一名同学上黑板，把这两个函数的图象画在刚才复习中画有函数y=x2的图象的小黑板上，以便于下面的比较，其他同学在练习本上完成，教师巡回指导，等上黑板的同学画完，再集中加以总结即可．
然后，由学生来观察小黑板上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：
（1）抛物线y=word/media/image57_1.png的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线y=x2-1的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
这两个问题可以由图象直接得到，可适当找一些层次较低的学生来回答，给他们以表现的机会．
（3）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2有什么关系？
通过这两个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．
答：形状相同，位置不同．
关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）
①你所说的形状相同具体是指什么？
答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
答：因为a的值相同．
通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
先由学生思考，讨论之后，给出答案．
答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．
④抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线y=x2-1呢？
答：抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线y=x2-1是由抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位得到的．
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
答：y=ax2+k中的k的值决定了会这样平移．若k＞0，则向上平移，若k＜0，则向下平移．
练习题1由学生独立完成，口答．
下面，我们再来看一类二次函数的图象：（出示幻灯）
的图象．
注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时x的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时x的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路．
列完表之后，与例1一样处理，找一名同学板演，教师最好能事先
分析也可仿照例1完成．
称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书，这个问题就好解决了．若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法．
（2）这次图象的平移是沿x轴进行的，平移的单位和方向是由y=a（x-hword/media/image51_1.png中的h决定的，特别强调二次函数形式的写法是y=a（x-h
word/media/image52_1.png，而不是y=a
word/media/image61_1.png
练习题2学生独立完成，口答．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的教学重点是研究形如y=ax2+k与形如y=a（x-h）2的二次函数的图象，因此教师在处理这节课时首先温习画二次函数y=x2的图象的方法与步骤，然后让学生在这个基础上来完成形如y=ax2+k和形如y=a（x-h）2的图象，尤其注意了选值时的问题．
另外，在通过图象研究性质时，把一些基本图形也画了出来，更适于学生进行观察、比较和得出结论．最后又通过表格的形式，把抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标形成规律性的知识，便于学生对知识的理解和应用．
（四）总结、扩展
（出示幻灯）填写下表：
四、布置作业
教材习题13.8A组1（1）、（2）．
二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生会用描点法画二次函数y=a（x-hword/media/image64_1.png+k的图象；2．使学生了解抛物线y=a（x-h
word/media/image65_1.png+k的对称轴与顶点坐标．
（二）能力训练点：1．继续培养学生的作图能力；2．培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；3．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育．
（三）德育渗透点：向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：会画形如y=a（x-hword/media/image52_1.png+k的二次函数的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．因为这是解决任意一个一般的二次函数y=ax2+bx+c的基础．
2．教学难点：确定形如y=a（x-hword/media/image51_1.png+k的二次函数的顶点坐标和对称轴．因为虽然我们在前面分别介绍了形如y=ax2+k和y=a（x-h）2的二次函数的问题，但学生对确定顶点坐标和对称轴仍会出现符号上的问题．
三、教学步骤
（一）明确目标
提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图象？
答：形如y=ax2，y=ax2+k和y=a（x-h）2．（板书）
2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图象及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？
由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如y=a（x-h）2+k的二次函数的有关问题．（板书）
（二）整体感知
首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）
（x+1）2的图象，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
过图象的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图象先沿y轴，再沿x轴移动的方式，也可以给出图象先沿x轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．
画这三个函数图象，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名同学，分别指出这三个图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．
-1的图象？
由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图象，学生对画图已经有了一定的经验，同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．
（1）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图象的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．
在选取x的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．
（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）
（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向，最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图象，同样找一名同学板演．
学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：
顶点坐标？
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的表中，如下表：
（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数y=a（x-h）2+k中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称轴的表示方法，再得出顶点坐标．若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写
式子中加以观察，分析，得出结论：（板书）
一般地，抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是直线x=h；
③顶点坐标是（h，k）．
（x+1）2-1有什么关系？
答：形状相同，位置不同．
（4）它们的位置有什么关系？
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度．
根据上节课的学习，学生能想到是平移得来的，可把这四个图象分
动得到的？ ⑤抛物线word/media/image76_1.png是由抛物线
word/media/image77_1.png怎样移动得到的？
这个问题分两种方式回答：先沿y轴，再沿x轴移动；或先沿x轴，再沿y轴移动．
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图13-7所示：
注意：基本形式中的符号，特别是h．
课本练习口答，及时纠正错误．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
本节课的教学重点是会画形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．对于画图的问题，学生已经有了一定的经验，因而教师完全放手让学生自主完成，在完成的过程中，把这些经验形成规律，便于学生以后的应用．对于确定抛物线y=a（x-h）2+k的开口方向、顶点坐标和对称轴：开口方向较易，已经解决了，而后两个问题对学生来说有一定的难度，教师就引导学生通过观察、比较把几个函数都写成y=a（x-h）2+k的形式，从中发现特征，总结规律，而不是由教师直接给出．这样既能充分调动学生的学习积极性，又能使学生得到锻炼，培养他们的能力，而且也使学生对得到的结论有更深刻地认识和认同，便于学生掌握，同时也使学生认识到确定抛物线的对称轴和顶点坐标，应先把它写成一般形式，为下节课的学习打好基础．
（四）总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成y=a（x-h）2+k的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小决定抛物线的开口大小．
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
四、布置作业
教材 中1、（3）3、（1）（2）．
五、板书设计
六、参考资料
九年义务教育三年制初级中学《代数第三册教案》（人教版）
二次函数y=ax2+bx+c的图象（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴（对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴）；3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；4．使学生会用待定系数法由已知图象上三点的坐标求二次函数的解析式．
（二）能力训练点：1．培养学生分析问题、解决问题的能力；2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；3．在待定系数法的教学中培养学生的计算能力．
（三）德育渗透点：向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图象上三点的坐标和二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数y=ax2+bx+c的图象的基础．
2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度．
三、教学步骤
（一）明确目标
在前几节课的基础上，我们已经能画出形如y=a（x-h）2+k的图象，并能指出它的对称轴和顶点坐标，对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c应如何解决这些问题呢？这就是我们这节课的主要任务之一．（板书）
（二）整体感知
提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：
word/media/image79_1.png
word/media/image80_1.png（5）y=a（x-h）2+k．（出示幻灯片）
通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价．
我们已画过二次函数y=a（x-h）2+k的图象，画它的图象的第一步是干什么？（列表）列表时我们是怎样取值的呢？（先确定中心值）若我们要画二次函数y=ax2+bx+c的图象应怎么办呢？
学生讨论得到：把二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x-h）2+k的形式再加以研究．
提问：怎样能把二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x-h）2+k的形式呢？我们先来看几个练习题：（出示幻灯）
填空：（1）x2+bx+______=（x+______）2；
（3）x2+4x+9=（x+______）2+______；
（4）x2-5x+8=（x-______）2+______；
先由学生自己填，若在填的时候有问题，可以互相讨论之后再填．然后由学生回答答案，对一下．关键是由学生来总结：这几个空是怎样填上的？
总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方．
提问：当二次项的系数不为1时，应怎么办呢？
答：利用提公因式法，首先把二次项的系数化成1，再用上述方法．
下面，我们就一起来看一个具体的问题：（出示幻灯）
点坐标．
分析：首先要用配方法将函数写成y=a（x-h）2+k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．
这里的关键步骤是用配方法把函数改写成y=a（x-h）2+k的形式．应按怎样的方式来做呢？（教师边提问、边讲解、边板书）
然后，把括号内的部分配成一个完全平方（即先加，再减一次项系
这就与y=a（x-h）2+k的形式一样，就可以由学生独立完成余下的部分了．
注意：描点画图时，要参照已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并且用虚线画出对称轴，然后再对称描点，最后，用平滑曲线顺次连结各点．
画完图之后，可让学生观察图象，思考：
提问：1．这条抛物线与哪条形如y=ax2的抛物线形状相同？为什么？
则a的值就相同．
这个问题可根据学生的层次决定问还是不问，关于这个问题的回答
（6，3）而成的，也可以按照沿轴移动的方式来回答．
上面，我们研究了如何把一个具体的二次函数通过配方的方法来加以研究，对于一般的二次函数y=ax2+bx+c应怎样解决呢？（出示幻灯）
例1 通过配方求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标．
学板书，然后视情况加以讲解，补充和纠正．
最后，加以总结，形成规律：（板书）
式就可以了．
练习题1 口答．2，3题笔答.
我们已经学过用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式，需要知道图象上的几点才能利用待定系数法来确定函数的解析式呢？
试想，关于一般的二次函数y=ax2+bx+c，已知函数图象上的几点，可以用待定系数法来求出这个函数的解析式呢？
下面，我们就来看今天的第二个例题：（出示幻灯）
例2 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个函数的解析式．
根据此题的程度可由学生自主完成，注意提醒学生先要将函数的一般形式设出来，之后再用待定系数法求解．
练习题1、2找两名同学上黑板板演，其他同学在练习本上完成，统一答案即可．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
本节课的第一个重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．有了基本思路之后，再来观察给出的这几个练习题的共同特征：二次项系数为1．由此引出：若二次项的系数不为1怎么办？学生较易想到要使它变为1，跟着就提出：怎样能使二次项的系数变为1呢？用提公因式法．而一旦二次项的系数变为1之后，就可以按照上面的思路来解决了，这样这个重点和难点也就得到了自然地突破．
本节课的第二个重点是用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式．由于待定系数法已在前面交待过，所以教师可以完全放手由学生自主完成，这样更能体现课堂教学中以学生为主体，教师为主导的精神．
（四）总结、扩展
提问：1．本节课我们共学习了几种数学方法？各是什么？
2．用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形成y=a（x-h）2+k的形式的一般步骤是什么？
3．经过配方得到：二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴和顶点坐标各是什么？
4．用待定系数法确定函数的解析式，选用图象上的几点，通常是由什么来决定的？
四、布置作业
1．课本习题13.8A组2（2）（4）（6）（8）；3（3）（4）；
五、板书设计
反比例函数及其图象
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解反比例函数的概念；2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式．
（二）能力训练点：1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2．向学生渗透数形结合的数学思想方法．
（三）德育渗透点：1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：反比例的概念、图象、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式．因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题．
2．教学难点：画反比例函数的图象．因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难．
三、教学步骤
（一）明确目标
前几课，我们已学习了一次函数，正比例函数及二次函数，这节课我们将来学习本章中所研究的最后一种特殊函数——反比例函数．（板书）
（二）整体感知
提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？
由学生先考虑及讨论一下．
答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
看下面的实例：（出示幻灯）
1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；
2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例．
它们分别可以写成vt=s（s是常数），ab=S（S是常数），若从函数的观点看，上面例子中的两个变量可以分别看作自变量和函数，可以写成怎样的函数关系式呢？
数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）
即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？
通过这个问题，使学生进—步理解反比例函数的概念，只要满足y=
练习题1口答．
根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？
答：图象和性质．
通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其它函数，也可以按照这种方式来研究．
下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）
提问：1．画函数图象的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表．
2．在选值时，你认为要注意什么问题？
答：（1）由于函数图象的特点还不清楚，多选几个点较好；
（2）不能选x=0，因为x=0时函数无意义；
（3）选整数较好计算和描点．
这个问题中最核心的一点是关于x≠0的问题，提醒学生注意．
3．你能不能自己完成这道题呢？
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：
线组成，叫做双曲线；
（2）这两条曲线不相交；
（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．
关于注意（3）可问学生：为什么图象与x和y轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图象的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．
再让学生观察黑板上的图，提问：
1．当k＞0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
2．当k＜0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：
于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当k＜0时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．
3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？
通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
练习题2 由学生在练习本上完成，教师巡回指导．
上面，我们讨论了反比例函数的概念、图象和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）
例2 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4．求 x=1.5时，y的值．
用提问的方式对此题加以分析：
（1）y与x2成反比例是什么含义？
由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话
（2）根据这个式子，能否求出当x=1.5时，y的值？
（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？
（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？
（5）你能否自己完成这道例题：
由一名同学板演，其他同学在练习本上完成．
练习题3 由学生在练习本上完成．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
本节课的教学重点是反比例函数的概念、图象、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式．为了讲述反比例函数的概念，首先是从小学学过的反比例关系入手，把学生陌生的知识用已学过的知识来迁移，使学生能较顺利地接受反比例函数的概念，在研究了反比例函数的概念之后，教师指导学生作反比例函数的图象，然后根据图象得出反比例函数的性质，并把这个性质同正比例函数的性质相比较，使学生能对所学的知识有一个系统的认识．在学习了上述问题之后，跟着给出用待定系数法确定反比例函数解析式的问题，由于学生在前面已学过用待定系数法确定函数解析式，因此这道题就由学生来独立完成．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么样的？
四、布置作业
1．教材习题13.10A组1、2、3、4、5、6．
2．选做：B组1、2、3．
五、板书设计
小结与复习（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生对全章的学习内容做一回顾，系统地把握全章的知识要点；2．通过练习，使学生能较好地理解本章的基础知识和基本技能．
（二）能力训练点：1．培养学生整理知识的能力；2．培养学生对知识灵活运用的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：全章知识的归纳整理及应用．
2．教学难点：对函数知识的掌握和应用．
因为每一章节的学习，在新授时都是一部分一部分的分段进行的．而实际上，每一章的知识都是有一定的联系．因此，在全章小结复习时，必须找到一条合适的线，把全章的知识串起来，而把知识串起来的主要目的是为了以后的应用．在应用的时候，学生往往对单一知识点或新学知识点印象较深，应用较好，但一有综合或长时间以前学过的知识的应用，学生会感到有困难．因此，在小结复习时一定要使全章知识系统化、条理化、全面化．
三、教学步骤
（一）明确目标
前面我们已经把本章知识分节学习完了，今天我们的主要任务是把全章知识点加以小结复习．
（二）整体感知
可在课上给3分钟时间让学生阅读书上的小结与复习（每章学完之后，应培养学生阅读小结与复习的习惯，这样可以使学生能一目了然地看到全章知识点、学习要点和需要注意的问题），若学生有很好的课前预习习惯，也可以让学生在课前读完这一部分．
然后由教师以提问的方式进行知识小结：
全章的内容大体可分为几部分？
这个问题可以使学生首先从全局上分清知识的体系，学生可能会有不同的分法，引导学生把本章知识分成两部分：
第一部分是函数的概念及其有关知识，主要包括：
（1）点在平面内坐标的意义；
（2）函数的意义及其表示法；
（3）函数图象的意义及画法．
第二部分是三种比较简单的函数的介绍，主要包括；
（1）一次函数（包括正比例函数）的函数解析式、图象及性质；
（2）二次函数的函数解析式及其图象和图象的开口方向、对称轴、顶点；
（3）反比例函数的函数解析式、图象及性质．
这两部分可事先准备好幻灯片出示或简单板书．
下面，我们来分条复习一下：
1．坐标平面内的点是用什么来表示的？它们有怎样的关系？
答：用有序实数对来表示，它们是一一对应的关系．
2．什么是函数？
这个定义学生只要大体上能叙述清楚，对关键部分“对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应”不错就可以．
3．函数有哪几种常用表示法？
答：解析法、列表法、图象法．
4．什么是一次函数？什么是正比例函数？它们的图象分别是什么？
答：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）是一次函数；y=kx（k是常数，k≠0）是正比例函数．
一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，6）的一条直线；正比例函数y=kx的图象是经过点（0，0）的一条直线．
5．一次函数y=kx+b有哪些性质：
答：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小．
6．正比例函数y=kx的图象经过哪几个象限？
答：（1）当k＞0时，图象过一、三象限；
（2）当k＜0时，图象过二、四象限．
7．一次函数y=kx+b的图象经过哪几个象限？
8．什么是二次函数？它的图象是什么？
答：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）是二次函数，它的图象是抛物线．
9．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标、开口方向各是什么？
答：（1）当a＞0时，抛物线开口向上；
（2）当a＜0时，抛物线开口向下；
10．对于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标是用什么方法，怎样得到的？
答：用配方法，具体步骤为：
（1）在等号右边提公因式a，使二次项系数为1；
（2）在括号内先加再减新形成的一次项系数一半的平方，配成完全平方；
（3）去掉中括号．
11．什么是反比例函数？它的图象是什么？
12．反比例函数的图象有何特点？
答：（1）有两个分支；
（2）这两个分支不相交；
（3）这两个分支都无限接近x轴和y轴，但永不会相交．
答：（1）当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限，y随x的增大而减小；
（2）当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，y随x的增大而增大．
练习：这部分题可出示幻灯或提前印好卷子发下去．
1．填空：
（1）点A（2，-3）关于原点对称点的坐标是______，这个对称点关于x轴的对称点的坐标是______．
（2）正方体的表面积s与棱长x的函数关系式是______．
（3）正比例函数y=-2x的图象经过的是第______象限，一次函数y=2x-3的图象经过的是第______象限．
顶点坐标是______．
______象限．
答案：（1）（-2，3），（-2，-3）；（2）s=6x2；
2．选择题：
A．x≠1； B．x≥-3；
C．x≠1且x≥-3； D．x＞1．
（2）如果ab2=5，那么 [ ]
A．a与b成正比例； B．a与b2成正比例；
C．a与b成反比例； D．a与b2成反比例．
A．（0，1）； B．（1，0）；
A．0； B．1；
C．2； D．3．
（5）抛物线y=a（x2-x）的对称轴是 [ ]
C．x=1； D．x=-1．
答案：（1）C；（2）D；（3）B；（4）C；（5）A．
提示：①关于问题（3）求一次函数与x轴交点，可以分两种方法
就行；二是一次函数的图象是条直线，x轴也是条直线，这条直线的表示法为y=0，想求它们的交点，就是求这两条直线方程组成的方程组的解．
②关于问题（4）也可以分两条途径来考虑，一是直接从图象上看，二是解方程组．
（三）总结、扩展
针对课堂中出现的问题适当加以总结．
四、布置作业
1．教材复习题中A组7、11、12、13．
2．选做：B组1、2、3；P．145B5．
五、板书设计
六、参考资料
九年义务教育三年制初级中学《代数第三册教案》（人教版）
小结与复习（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生对全章的主要数学思想和方法有一个全面、系统的了解；2．使学生能应用这些数学思想和方法解决实际问题．
（二）能力训练点：1．通过练习，培养并巩固学生应用函数知识解决简单的实际问题的能力；2．在解决实际问题的过程中，使学生受到把实际问题抽象成数学模型的训练，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力，形成用数学的意识；3．向学生进行数形结合的思想，函数的观点的深入教育；4．使学生进一步明确配方法和待定系数法的应用．
（三）德育渗透点：1．向学生进行数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点教育；2．向学生进行事物间是互相联系、互相转化、有规律地变化着的唯证唯物主义思想教育．
二、教育重点、难点和疑点
1．教学重点：使学生能够运用所学的知识解决简单的实际问题．因为人们重视数学，重视数学教育，一个重要的原因就是运用数学可以解决许多问题，因此教学大纲强调，作为一个重要的教学目的，就是要使学生能够运用所学知识解决简单的实际问题．
2．教学难点：在解决实际问题中，使学生如何能把实际问题抽象成数学问题．因为我们日常教学中的大部分知识都是以纯数学的方式来进行的，所以对实际问题的抽象，学生一向感到比较困难．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课，我们已经从基本知识点的方面对全章进行了复习小结，这节课我们将从数学思想、方法这一方面入手，对全章知识加以小结．
（二）整体感知
提问：（出示幻灯）
例1 拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．
（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象．
答：（1）Q=45-6t．
（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线．
提问：这个问题运用了什么数学思想？
答：函数的观点．（学生学习了一章关于函数的知识，未必明确函数的观点就是一种很重要的数学思想，因此，在这个地方以这道实际问题使学生加以明确．）
例2 通过配方，求出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
答：（1）y=x2-6x+5=（x-3）2-4，开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标（3，-4）．
x=2，顶点坐标（2，3）．
提问：这个问题用了什么样的数学方法？
答：配方法．
我们在这一章中，学习了不少数学思想、方法，把握这些数学思想、方法，将有助于我们解决各种问题．
例3 画出二次函数y=x2-6x+7的图象，根据图象回答下列问题：
（1）当x=-1，1，3时y的值是多少？
（2）当y=2时，对应的x值是多少？
（3）当x＞3时，随x值的增大y的值怎样变化？
（4）当x的值由3增加1时，对应的y值增加多少？
分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把y=x2-6x+7变形为y=（x-3）2-2，确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图．
解：图象略．
（1）当x=-1时，y=14；当x=1时，y=2；当x=3时，y=-2；
（2）当y=2时，x=5或x=1；
（3）当x＞3时，随x的增大y也增大；
（4）当x的值由3增加1时，对应的y值增加1．
注意：①由于我们所画出的图形是近似的，因此在利用图象回答问题时，最好能运用解析式算一下，一方面可以增加答案的正确性，另一方面也可以对图象加以修正，使其更准确．
②我们还可以利用上述图象进一步提问：
1）求出一元二次方程x2-6x+7=0的解；
2）求出一元二次不等式x2-6x+7＞0和x2-6x+7＜0的解集．
③在解决实际问题时，我们还可以利用函数的图象把握所研究的变量的变化趋势．例如：提问：对于二次函数y=x2-6x+7，无论x取什么实数，y的值在什么范围内变化？因为图象开口向上，所以抛物线有最低点——就是抛物线的顶点（3，-2），也就是说，当x=3时，y取得最小值-2．因此无论x取何值，y≤-2．
提问：这个问题运用了什么数学思想、方法？
答：运用了数形结合的数学思想和配方法．
-2）三点．求它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
分析：这道题可先用待定系数法，由三点确定这条抛物线的解析式，再用配方法确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
练习：（出示幻灯）
一条抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式．
用提问的方式对此题加以分析：
1．这道题应用什么知识点来解决？
2．用待定系数法确定函数的解析式，需要几点，是由什么来决定的？
3．这道题应知道几点呢？
4．题中已知几点？
5．怎样确定第三点？
这个问题由学生讨论，可作如下提示：
（1）给出的两点有什么特征？（都在x轴上）
（2）抛物线有什么特征？（轴对称图形）
（3）能否说明给出的两点是什么特征点？（对称点）
（4）你能由这两点判定什么？（对称轴为x=6）
（5）能否确定第三点？（6，3）．
下面就可以用待定系数法由学生独立完成了．学生完成之后，进一步提问：
想一想，还有没有其它方法解决此题？
学生接着讨论，提示学生：
（1）最高点就是这条抛物线的什么点？（顶点）
答：（3）能．因为对于三个未知数，只要有三个方程就可求出固定的解，把前两点代入解析式得两个方程，再加上这个方程，就可组成方程组．（注意用此方法时的取值问题）
（三）总结、扩展
1．本章主要学习了哪些数学思想、方法？
答：函数的观点（或函数思想）；数形结合的思想；待定系数法；配方法．
2．针对本节课中出现的问题进行讲评．
四、布置作业
根据学生具体情况安排课外阅读与习题
五、板书设计
六、参考资料
九年义务教育三年制初级中学《代数第三册教案》（人教版）
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e9a76e02b207e87101f69e3143323968011cf49f.html
文档为doc格式