贵州省黔东南州2018届高考第一次模拟考试数学（理）试题有答案

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黔东南州2018届高三第一次模拟考试

理科数学试卷

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（ ）

A．B． C． D．

2.对于复数，若，则（ ）

A．0 B．2 C．-2 D．-1

3.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）

A．旅游总人数逐年增加

B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和

C．年份数与旅游总人数成正相关

D．从2014年起旅游总人数增长加快

4.在等差数列中，若，则（ ）

A．9 B．8 C．6 D．3

5.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）

A． B． C． D．

6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）

A．3步 B．6步 C．4步 D．8步

7.在展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ）

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

8.执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（ ）

A．355 B．354 C．353 D．352

9.给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（ ）

A． B． C． D．

10.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（ ）

A．40 B．30 C．25 D．20

11.已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（ ）

A． B．

C． D．

12.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.若实数，满足，则的最大值是．

14.已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是．

15.已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是．

16.已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.

18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛.

（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.

（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

19.如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围.

21.函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.

请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.

23.选修4-5：不等式选讲

设.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ），，求实数的取值范围.

黔东南州2018届高三第一次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA

1.解：由，故．

2.解：由得．

3.解：从图表中看出，选项明显错误．

4.解：设的公差为，由得，则．

5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为．

6.解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．

7.解：通项，

依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．

8.解： ，则，，

成立，，；

成立，，；

成立，，；

不成立，所以输出.故选．

9.解：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选．

10.解：由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为 ，则有，故．

11.解：由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．

12.解：依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有， ，

则，而，

则，得，

由为钝角知，又，

则有，故选．

二、填空题

13.解：本题考查线性规划，答案为．

14.解：因为在上单调递增，所以．

15.解：依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．

16.解：由已知得，，则

又，则有或（舍）．

三、解答题

17.解：(Ⅰ)设的公比为，由，得

，

于是，解得（不符合题意，舍去）

故．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，

则…

．

18.解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；

当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则

，所以事件发生的概率为.

(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．

，，

，．

所以,随机变量的分布列为

则随机变量的数学期望（人）．

19.(Ⅰ)证明：由平面，平面，故

由，得为等腰直角三角形，故

又，故平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，

过作垂直于，易知又已知，故

以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则

则有，．

设平面的法向量为，则有

，可取；

因为平面，所以平面的法向量可取．

则．

而二面角为锐二面角，故其余弦值为．

20.解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，

又是等腰直角三角形，所以所以

故椭圆的标准方程为．

(Ⅱ) 设，，将与联立消得

．，

点在以线段为直径的圆外等价于，

，解得故实数的取值范围是．

21. 解：(Ⅰ)，

依题意得，，则有

．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在区间上为增函数，且，

则当时，；当时，，

故函数的减区间是，增区间是．

(Ⅲ) 因为，

于是构造函数，

16． 解：由已知得，，则

又，则有或（舍）．

三、解答题

17． 解：(Ⅰ)设的公比为，由，得

， …………………………………………………（2分）

于是，解得（不符合题意，舍去） ……………（4分）

故． …………………………………………………（6分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ， ……（8分）则，

则…………（10分）

．　…………（12分）

18． 解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；

当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则 ……………（2分）

，所以事件发生的概率为. ……（6分）

(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4． ……………………………（7分）

，，

，． ………………（11分）

所以,随机变量的分布列为

则随机变量的数学期望（人）．……（12分）

19． (Ⅰ)证明：由平面，平面，故

由，得为等腰直角三角形，故

又，故平面． ……………（6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，

过作垂直于，易知又已知，故（7分）

以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则

则有，．

设平面的法向量为，则有

，可取；

因为平面，所以平面的法向量可取．…………（9分）

则． …………………………………………（11分）

而二面角为锐二面角，故其余弦值为． ………………（12分）

20． 解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，

又是等腰直角三角形，所以所以

故椭圆的标准方程为． ……………………………………………（5分）

(Ⅱ) 设，，将与联立消得

．………（8分）

点在以线段为直径的圆外等价于，

，解得故实数的取值范围是．…（12分）

21. 解：(Ⅰ)， …………………………………………………（1分）

依题意得，，则有 ………………………………（2分）

． …………………………………………………（4分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在区间上为增函数，且，

则当时，；当时，，

故函数的减区间是，增区间是．……………………………（8分）

(Ⅲ) 因为，

于是构造函数，

，成立，等价于………………（9分）

由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．

即（当且仅当时取等号）

所以函数，又时，，

所以． …（11分）故的取值范围是． …（12分）

22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数）

消去得．由圆极坐标方程为，得．

故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．……（5分）

(Ⅱ)将代入得，．

设其两根分别为，则．

由的几何意义知．故为定值(与无关)（10分）

23. 解：(Ⅰ)，

由解得，

故不等式的解集为． ……………………………………………（5分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：

在区间为减函数，在区间上为增函数，

而，

故在区间上，，．

由．

所以且，

于是且，

故实数的取值范围是．…………………………………………………（10分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e8847c2e4631b90d6c85ec3a87c24028915f858f.html