小船渡河的问题

小船渡河的问题

在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况：

问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？

分析及解答：设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为tmin=d/V船。

[例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小时间是多少，小船实际渡河的位移为多大？

分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为tmin=d/V船。

∴tmin=d/V船=60/4=15(s)。

小船实际渡河的位移SAB=V合tmin=5*15=75(m).

问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？

分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间t=d/V2=d/Vsinθ。

[例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？

分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V船与河岸的夹角θ=arc cos(V船/V水)=530。这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/V船sinθ=60/4=15(s).

问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？

分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A运动到B，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB直线时，船速最小，最小船 速为V船=V水sinθ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水)。

[例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m宽的河岸A点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？

分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB直线时，船速最小，最小船 速为V船=V水sinθ。由几何关系可知：tgθ=√3/3, θ=300。∴V船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水)=1200。

方法解二：

运动的合成与分解专题中，有一个重要类型题“小船渡河”问题，这类题目主要研究“船怎样行驶，渡河时间、渡河位移最短”。教学实践中，我观察到许多学生是死记硬背记住结论，有时还混淆，怎样让学生利用运动的合成与分解规律理解渡河问题呢？我经过多届学生试验，摸索出一种浅显易懂的讲解方法。

例题：一条宽为d的河，水流速度为V1，船在静水中的速度为V2，那么

（1）怎样渡河时间最短，最短时间为多少？

（2）若V1＜ V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？

（3）若V1 ＞V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？

（4）若V1 = V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？

一、渡河时间最短问题

讲授之前，先复习合运动与分运动的关系，（等时性、独立性、等效性、运算法则为三角形定则），然后画图讲解，小船的运动方向可能有三种情况，一是沿河岸上游开船，如轨迹1、2、3，可能向河正对岸开船如轨迹4，可能向河岸下游开船如轨迹5、6、7，由于渡河时间t=S船/V船= S水/V水= S合/V合，而船渡河的分位移容易求，所以利用t=S船/V船计算简单，从船运动的分位移图中可知，当船头垂直正对岸开动时，船的分位移最短，渡河时间最短。

二、渡河位移最短问题

首先分析渡河位移，是指船的实际位移，即合位移。合位移的方向大致有三种，沿河岸上游、垂直河对岸、沿河岸下游，如图2，显然合位移为河宽时，渡河位移最短，而合位移方向即是合速度方向，假设水速方向向右，由三角形定则可知，船速方向应斜向上游某一角度θ，而且由几何关系知，船速只有大于水速时，合速度才可能指向正对岸，最短位移才可能为河宽。此时cosθ= V水/ V船,从而求出θ。

当水速大于船速时，由三角形定则可知，两个分速度应该首尾相接，合速度由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端，船速的可能方向如图3，就像以水速末端为圆心，以船速为半径画的圆一样，对应的合速度方向如图4，由合速度的方向即为合位移方向可知，合位移方向如图4虚线，显然从水速始端做圆的切线时，合位移为最短。此时船速与合速度垂直，船速方向仍应斜向上游某一角度θ，cosθ=V船 / V水，可求出θ，由几何关系可求最短位移Smin=d/ cosθ=d V水/ V船。

讲到这里，学生感觉好象船速大于水速与船速小于水速，求解最短位移的分析方法不同，我们应澄清这一错误认识。我们再按三角形定则，在水速的末端做出船速的可能方向，找出对应的合速度、合位移方向，如图5，由图可知，当船速方向斜向上游某一角度θ，可以使合速度方向恰好指向河正对岸，渡河位移最短。由此可见两种情况下的分析方法是完全一致的。只是当船速大于水速时，采用第一种方法略微简单而已。采用这种讲解方法，还可以轻松回答最棘手的问题-----船速等于水速时最短的渡河位移。仍按三角形定则做图6，由图可知，船速方向与河岸上游的夹角越小，渡河位移就越短，最极限的状态为船速方向刚好与水速方向相反，这时最短渡河位移为河宽。

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