聚焦常见函数模型及其应用

聚焦常见函数模型及其应用

湖北浠水实验高中 郭楚明（特级教师） （438200）

函数应用题是高考的热点问题，从近几年的各地高考试卷中可以看出这方面的考查力度较大，随着高中新课改的深入，这类试题将会更加引起人们的重视。

常见函数模型有：

（1）一次函数型；（2）反比例函数型；

（3）二次函数型；（4）指数函数型；

（5）对数函数型；（6）型；（7）分段函数型。

高考中常见函数应用题有两类：

（1）利用给定的函数模型信息，对实际问题进行定量分析；

（2）通过提炼加工，建立相应的函数模型解决实际问题。

解答函数应用题的一般步骤是：读题建模求解反馈。

（1）读题：理解题意，领悟题目的数学本质，弄清题中出现的每个量及其数学含义。

（2）建模：恰当设元，根据题意进行数学化设计，建立函数模型。

（3）求解：用相关的函数知识进行数学上的推理与计算，求出未知量。

（4）反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确作答。

解答应用题要从以下三个方面来培养自己的能力：

（1）事理关，通过阅读，能读懂题意；

（2）文理关，能把实际问题的文字语言转译为数学符号语言，用数学式子表达数量关系；

（3）数理关，在构建数学模型的过程中有对数学知识的检索能力，完成由实际问题向数学问题的转化。

例1：甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图．请你根据提供的信息说明：

(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；

(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；

(3)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由．

解：(1)甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为

乙图象经过(1，30)和(6，10)两点，从而求得其解析式为

当x = 2时，，，

所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．

(2)第1年出产鱼1×30 = 30(万只)，第6年出产鱼2×10 = 20(万只)，可见，第6

年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了

(3)设当第m年时的规模总出产量为n

那么

因此，当m = 2时，n最大值为31.2.

即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．

【评析】这是一道根据图形信息研究函数模型的实际问题，做这一类题目一定要运用形数结合的思想抓住图形中的关键点及函数模型特征。

第一问是一次函数模型，第三问是构建二次函数模型求最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围。

例2：近年来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加，某养殖户拟建一座平面图（如图所示）是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽不少于5米，不多于米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶（房顶与地面形状相同）每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元。问：当猪舍的宽定为多少时，该养植户投入的资金最少，最少是多少元？

解：设该养殖户投入资金为y元，则猪舍的长为

显然当时，

因此当时，，此时；

又函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，此时.

答：若米时，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6600元；若

米时，猪舍的宽就定为米，该养殖户投入的资金最少是元。

【评析】本题充分体现了数学建模思想，运用了配方法和函数的单调性解决实际问题中的最优化问题，同时蕴含着分类讨论与整合的数学思想。

例3：据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程S（km）.

(1)当t=4时，求S的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地

650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N

城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将

侵袭到N城？如果不会，请说明理由。

解：（1）由图象可知：当，

（2）当时，，

当时，

当时，

综上可知

（3）时，

时，

当时，令

解得

，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城。

【评析】（1）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。

（2）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏。

例4：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前。

（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？

以下数据供计算时使用：

解：（1）设每年人口平均增长率为年前的人口数为，则，则当时，，

即

两边取对数，则，

则

，得

（2）依题意，，得，

，故人口至多有亿

答：每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿。

【评析】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型（其中N是基础数，p是增长率，为时间）的形式，解题时，往往用到对数运算，要注意和已知表格中给定的值对应求解。

例5：20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的震幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）。

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）

解：（1）

（2）由，解得：

当M=7.6时，地震的最大振幅为；

当M=5时，地震的最大振幅为 .

所以，两次地震的最大振幅之比是

，

即7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的398倍。

【评析】这是一道对数函数模型的应用题，在自然界存在着一些微妙的函数关系，正是对这些关系的研究，才能激发我们探究自然世界的科学精神。

【跟踪训练】

1、我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还应征收附加税，已知某种酒

每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附

加税元（叫做税率%），则每年的销售量将减少10万瓶，如果要使每年在此项经营

中所收取的附加税额不少于112万元，则的最小值为 （ ）

A、2 B、6 C、8 D、10

2、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示曲线表示。据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间（小时）为

A、4 B、 C、 D、5

3、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5，3吨。

（1）求y关于的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费。

4、对于n年可成材的树木，在此期间的年生长率为%，以后的年生长率则为，

树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗；也可让其继续生长。

（1）问哪一种方案可获得较大的木材量？

（2）对于5年成材的树木，用哪种方案获得较大的木材量。

跟踪训练参考答案：

1、构造附加税函数，求其满足的取值范围可得，故选A

2、由图知，则

解得：

有效时间为小时，故选C

3、（1）当甲的用水量不超过4吨时，即，乙的用水量也不超过4吨，

；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，

即，

当乙的用水量超过4吨时，

即，

所以.

（2）由于在各段区间上均为单调递增，

当；

当

当时，令，解得，

所以甲户用水量为吨，

付费（元）；

乙户用水量为吨，

付费（元）.

4、（1）只需考虑2n年的情形，设新树苗的木材量为Q，则2n年后有两种结果：

①连续长2n年，木材量

②生长n年后再重栽，木材量

因为所以，当时，用重栽的方案较好；

当时，用连续生长的方案较好。

（2）当时，考虑得，因此，对于5年成材的树木，当5年以后的生长率低于14.9%时，应考虑重栽，当5年以后的生长率高于14.9%时应考虑连续生长的方案。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e5de82f00c22590103029d14.html