习题6
6.1选择题
(1)一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中:
(A)它的动能转化为势能.
(B)它的势能转化为动能.
(C)它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大.
(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减小.
[答案:D]
(2) 某时刻驻波波形曲线如图所示,则a,b两点位相差是
(A)π (B)π/2
(C)5π/4 (D)0
[答案:A]
(3) 设声波在媒质中的传播速度为u,声源的频率为vs.若声源S不动,而接收器R相对于媒质以速度VB 沿着S、R连线向着声源S运动,则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为
(A)
(C)
[答案:A]
6.2填空题
(1)频率为100Hz,传播速度为300m/s的平面简谐波,波线上两点振动的相位差为π/3,则此两点相距____m。
[答案:
(2)一横波的波动方程是
[答案:
(3) 设入射波的表达式为
[答案:
6.3产生机械波的条件是什么?两列波叠加产生干涉现象必须满足什么条件?满足什么条件的两列波才能叠加后形成驻波?在什么情况下会出现半波损失?
答:产生机械波必须具备两个条件:有作机械振动的物体即波源;有连续的介质。
两列波叠加产生干涉现象必须满足三个相干条件:频率相同,振动方向相同,在相遇点的位相差恒定。
两列波叠加后形成驻波的条件除频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定三个相干条件外,还要求两列波振幅相同,在同一直线上沿相反方向传播。
出现半波损失的条件是:波从波疏媒质入射并被波密媒质反射,对于机械波,还必须是正入射。
6.4波长、波速、周期和频率这四个物理量中,哪些量由传播介质决定?哪些量由波源决定?
答:波速由传播介质决定;周期和频率由波源决定。
6.5波速和介质质元的振动速度相同吗?它们各表示什么意思?波的能量是以什么速度传播的?
答:波速和介质质元的振动速度不相同。波速是振动状态在介质中的传播速度,而质元的振动速度是质元在其平衡位置附近运动的速度。波的能量传播的速度即为波速。
6.6振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?行波和驻波有何区别?
答: (a)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动,系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数,即可表示为
(b)在谐振动方程
当谐波方程
(c)振动曲线
(d) 两列频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定、振幅相同、在同一直线上沿相反方向的行波叠加后才会形成驻波。行波伴随有能量的传播,而驻波没有能量的传播。
6.7 波源向着观察者运动和观察者向着波源运动都会产生频率增高的多普勒效应,这两种情况有何区别?
解: 波源向着观察者运动时,波面将被挤压,波在介质中的波长,将被压缩变短,(如题6.7图所示),因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(
题6.7图 多普勒效应
6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;
(2)写出传播方向上距离波源为
(3)任一时刻,在波的传播方向上相距为
解: (1)已知平面简谐波的波动方程
将上式与波动方程的标准形式
比较,可知:
波振幅为
波长
波动周期
(2)将
(3)因任一时刻
将
6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
(1)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;
(2)求
解: (1)将题给方程与标准式
相比,得振幅
绳上各点的最大振速,最大加速度分别为
(2)
故
即
设这一位相所代表的运动状态在
6.10 如题6.10图是沿
解: (1)波沿
题6.10图
对于
对于
对于
对于
(取负值:表示
(2)波沿
对于
对于
对于
对于
(此处取正值表示
6.11 一列平面余弦波沿
(1)写出波动方程;
(2)作出
解: (1)由题6.11(a)图知,
又
题6.11图(a)
取
则波动方程为
(2)
题6.11图(b) 题6.11图(c)
将
如题6.11(c)图所示.
6.12 如题6.12图所示,已知
(1)波动方程;
(2)
解: (1)由题6.12图可知,
故波动方程为
(2)将
题6.12图
6.13 一列机械波沿
(1)波动方程;
(2)
(3)
(4)
解: 由题6.13图可知
∴
(1)波动方程为
题6.13图
(2)由图知,
∴
(3)∵
∴解得
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a),则由
题6.13图(a)
∴所属最短时间为
6.14 如题6.14图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P点的振动方程为
(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;
(2)写出距
解: (1)如题6.14图(a),则波动方程为
如图(b),则波动方程为
题6.14图
(2) 如题6.14图(a),则
如题6.14图(b),则
6.15 已知平面简谐波的波动方程为
(1)写出
(2)画出
解:(1)波峰位置坐标应满足
解得
所以离原点最近的波峰位置为
∵
∴
题6.15图
(2)∵
又,当
解得
6.16 题6.16图中(a)表示
解: 由题6.16(b)图所示振动曲线可知
故知
且
题6.16图
则波动方程为
6.17 一平面余弦波,沿直径为14cm的圆柱形管传播,波的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1,频率为300 Hz,波速为300m·s-1,求波的平均能量密度和最大能量密度.
解: ∵
∴
6.18 如题6.18图所示,
(1)
(2)
解:(1)在
(2)在
6.19 如题6.19图所示,设
(1)两波传到P点时的位相差;
(2)当这两列波的振动方向相同时,
解: (1)
题6.19图
(2)
6.20 一平面简谐波沿
(1)若
(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求
解: (1)∵
题6.20图
(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将
若仍以
此时驻波方程为
故波节位置为
故
根据题意,
6.21 一驻波方程为
(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速;
(2)相邻两波节间距离.
解: (1)取驻波方程为
故知
∴
(2)∵
6.22 在弦上传播的横波,它的波动方程为
试写出一个波动方程,使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波,并在
解: 为使合成驻波在
6.23 两列波在一根很长的细绳上传播,它们的波动方程分别为
(1)试证明绳子将作驻波式振动,并求波节、波腹的位置;
(2)波腹处的振幅多大?
解: (1)它们的合成波为
出现了变量的分离,符合驻波方程特征,故绳子在作驻波振动.
令
令
(2)波腹处振幅最大,即为
6.24 汽车驶过车站时,车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz,设空气中声速为330m·s-1,求汽车的速率.
解: 设汽车的速度为
汽车驶离车站时,车站收到的频率为
联立以上两式,得
6.25 两列火车分别以72km·h-1和54 km·h-1的速度相向而行,第一 列火车发出一个600 Hz的汽笛声,若声速为340 m·s-1,求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?
解: 鸣笛火车的车速为
两车相遇之后收到的频率为
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