2020-2021学年山西省大同市中考数学模拟试题及答案解析

最新山西省中考数学模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．在下列四个数中，比0小的数是（　　）

A．0.2 B．|﹣1| C． D．

2．“珍惜生命，注意安全”是一永恒的话题．在现代化的城市，交通安全晚不能被忽视，下列几个图形是国际通用的几种交通标志，其中不是中心对称图形是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图（1）变到图（2），不改变的是（　　）

A．主视图 B．主视图和左视图

C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图

4．一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5，kb=6，那么该直线经过（　　）

A．第二、四象限 B．第一、二、三象限

C．第一、三象限 D．第二、三、四象限

5．在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（　　）

A．数形结合 B．转化思想 C．模型思想 D．特殊到一般

6．如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（，） C．（2，﹣1） D．（2，﹣）

7．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D． +1

8．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）

A． B．2 C．3 D．2

9．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：

如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

10．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：

①点D到直线l的距离为；

②A、C两点到直线l的距离相等．

则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

11．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=　　　　　　度．

12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于　　　　　　．

13．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x=　　　　　　（写出一个x的值即可）．

14．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　　　　　　．

15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　　　　　　．

16．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2； ④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是　　　　　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）计算：（﹣2）2sin60°﹣（﹣）•﹣（﹣）0；

（2）已知x，y满足方程组，求2x﹣2y的值．

18．已知A=﹣．

（1）化简A；

（2）当x满足不等式组，且x为奇数时，求A的值．

19．（1）如图，在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）图中的实线表示从A到B需经过C点的公路，且AC=10km，∠CAB=25°，∠CBA=37°．现因城市改造需要在A、B两地之间改建一条笔直的公路．问：公路改造后比原来缩短了多少千米？（参考数据：sin25°≈0.41，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，结果精确到0.01）

20．暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A、B、C、D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示：

（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数．

（2）若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图，则“去B地”的扇形圆心角为多少？

（3）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平？说明理由．

21．如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

22．如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式．

（2）当x为何值时，y1＜y2？

23．问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．

独立思考：

（1）AE=　　　　　　cm，△FDM的周长为　　　　　　cm；

（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸：

如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：

①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．

②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

24．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．在下列四个数中，比0小的数是（　　）

A．0.2 B．|﹣1| C． D．

【考点】实数大小比较．

【分析】根据绝对值得定义和立方根的定义得出各个数的符号，即可得出结果．

【解答】解：∵0.2＞0，|﹣1|=1＞0， =﹣2＜0，＞0，

∴比0小的数是﹣2；

故选：C．

2．“珍惜生命，注意安全”是一永恒的话题．在现代化的城市，交通安全晚不能被忽视，下列几个图形是国际通用的几种交通标志，其中不是中心对称图形是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．

【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，

可知A、C、D是中心对称图形，B不是中心对称图形．

故选B．

3．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图（1）变到图（2），不改变的是（　　）

A．主视图 B．主视图和左视图

C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，

从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：D．

4．一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5，kb=6，那么该直线经过（　　）

A．第二、四象限 B．第一、二、三象限

C．第一、三象限 D．第二、三、四象限

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．

【解答】解：∵k+b=﹣5、kb=6，

∴k＜0，b＜0

∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，

故选D．

5．在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（　　）

A．数形结合 B．转化思想 C．模型思想 D．特殊到一般

【考点】解分式方程；最简公分母．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，确定出用到的数学思想即可．

【解答】解：在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是转化思想，

故选B

6．如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（，） C．（2，﹣1） D．（2，﹣）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO缩小，结合图形得出，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，因而得到的点E′的坐标为（2，﹣1）．

【解答】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，

所以点E′的坐标为（2，﹣1）．

故选：C．

7．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D． +1

【考点】正方形的性质．

【分析】阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，

则S△ACD=AD•CD=×2×2=2；

AC=AD=2，

则EC=2﹣2，

∵△MEC是等腰直角三角形，

∴S△MEC=ME•EC=（2﹣2）2=6﹣4，

∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4）=4﹣4．

故选：A．

8．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）

A． B．2 C．3 D．2

【考点】正多边形和圆；勾股定理．

【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．

【解答】解：∵正六边形的边心距为，

∴OB=，AB=OA，

∵OA2=AB2+OB2，

∴OA2=（OA）2+（）2，

解得OA=2．

故选：B．

9．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：

如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【考点】加权平均数．

【分析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．

【解答】解：甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10=87.6（分），

乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10=88.4（分），

丙的平均成绩为：（90×6+83×4）÷10=87.2（分），

丁的平均成绩为：（83×6+92×4）÷10=86.6（分），

因为乙的平均分数最高，

所以乙将被录取．

故选：B．

10．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：

①点D到直线l的距离为；

②A、C两点到直线l的距离相等．

则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】正方形的性质．

【分析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．

【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，

∵正方形ABCD的对角线BD长为2，

∴OD=，

∴直线l∥AC并且到D的距离为，

同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，

故共有2条直线l．

故选：B．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

11．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=　80　度．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∠1=45°，

∴∠C=∠1=45°，

∵∠2=35°，

∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，

故答案为：80．

12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于　2　．

【考点】菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，

解得a=1，b=4，

∵菱形的两条对角线的长为a和b，

∴菱形的面积=×1×4=2．

故答案为：2．

13．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x=　﹣　（写出一个x的值即可）．

【考点】命题与定理．

【分析】先进行配方得到x2+5x+5=x2+5x+﹣=（x+）2﹣，当x=﹣时，则有x2+5x+5=﹣＜0．

【解答】解：x2+5x+5=x2+5x+﹣=（x+）2﹣，

当x=﹣时，x2+5x+5=﹣＜0，

∴是假命题．

故答案为：﹣．

14．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为　20%　．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，

125（1﹣x）2=80，

解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；

故答案为：20%

15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　5　．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．

【解答】解：作FG⊥AC，

根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，

∵点F是DE的中点，

∴FG∥CD

∴GF=CD=AC=3

EG=EC=BC=2

∵AC=6，EC=BC=4

∴AE=2

∴AG=4

根据勾股定理，AF=5．

16．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2； ④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是　①②③　．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：

（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；

（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；

（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．

【解答】解：（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正确；

（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，故②正确；

（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，

∵BQ=BP=t，

∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

故③正确；

（4）结论D错误．理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，

∵BC=10，

∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．

故④错误；

故答案为：①②③．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）计算：（﹣2）2sin60°﹣（﹣）•﹣（﹣）0；

（2）已知x，y满足方程组，求2x﹣2y的值．

【考点】实数的运算；二元一次方程组的解；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程组两方程相减求出x﹣y的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：（1）原式=4×+×2﹣1=3﹣1；

（2），

②﹣①得：x﹣y=﹣2，

则2x﹣2y=2（x﹣y）=﹣4．

18．已知A=﹣．

（1）化简A；

（2）当x满足不等式组，且x为奇数时，求A的值．

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．

【分析】（1）先通分，再把分子相加减即可；

（2）求出不等式的解集，再求出x为奇数时A的值即可．

【解答】解：（1）A=﹣

=﹣

=

=；

（2），由①得，x≥1，由②得，x＜5，故不等式的解集为：1≤x＜5，

又∵x为奇数，且x≠1，

∴x=3，

∴A==﹣1．

19．（1）如图，在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）图中的实线表示从A到B需经过C点的公路，且AC=10km，∠CAB=25°，∠CBA=37°．现因城市改造需要在A、B两地之间改建一条笔直的公路．问：公路改造后比原来缩短了多少千米？（参考数据：sin25°≈0.41，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，结果精确到0.01）

【考点】作图—基本作图；解直角三角形的应用．

【分析】（1）直接利用过直线外一点作直线的垂线作法得出答案；

（2）直接利用锐角三角函数关系分别得出AD，CD，BD的长进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：D点即为所求；

（2）在Rt△ACD中，

CD=ACsin25°≈4.1（km），

AD=ACcos25°≈9.1（km），

在Rt△BCD中

BD=CD÷tan37°≈5.467（km），

AB=AD+DB=14.567km，

BC=CD÷sin37°≈6.833（km），

∴AC+BC﹣AB≈2.27（km），

答：公路改造后比原来缩短了2.27千米．

20．暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A、B、C、D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示：

（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数．

（2）若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图，则“去B地”的扇形圆心角为多少？

（3）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平？说明理由．

【考点】游戏公平性；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）假设去B地的人数为x人，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可；

（2）根据扇形圆心角的计算解答即可；

（3）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可．

【解答】解（1）设去B地x人，则，解得x=40，

答：去B地的人数是40；

（2）“去B地”的扇形圆心角为；

（3）不公平，

列表：

∴P（姐姐）= P（弟弟）=

又∵此游戏结果共有16种，且每种发生的可能性相同

∴此游戏不公平．

21．如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

【考点】切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．

【分析】（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；

（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

【解答】（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，

∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，

∵OE⊥AB，E为OD中点，

∴OE=OD=OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，

设OA=x，则OE=x，AE=x，

∵AB=4，

∴AB=2AE=x=4，

解得：x=4，

则的长l==；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，

∴∠BAM=∠BMA=30°，

∴AB=BM，

∵BM为圆O的切线，

∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，

∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，

∴CM∥AB，

∴四边形ABMC为菱形．

22．如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式．

（2）当x为何值时，y1＜y2？

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小，从而得出反比例函数解析式；由三角形的面积公式可得出AB=4，结合点B坐标可得出点A的坐标，由A、P点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）令y1=y2，求出x的值，从而得出点Q的横坐标，结合两函数图象的位置关系即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点P的坐标为（2，2），

∴k=2×2=4，

∴反比例函数解析式为y2=．

∵S△ABC=AB•PB=4，

∴AB=4，

∴点A（﹣2，0）．

∵点A、P在一次函数图象上，

∴有，解得：．

∴一次函数解析式为y1=x+1．

（2）令y1=x+1=y2=，即x2+2x﹣8=0，

解得：x1=﹣4，x2=2．

即点Q横坐标为﹣4，点P横坐标为2．

结合两函数图象可知：

当x＜﹣4和0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

则当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＜y2．

23．问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．

独立思考：

（1）AE=　3　cm，△FDM的周长为　16　cm；

（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸：

如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：

①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．

②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据直角三角形勾股定理即可得出结论，

（2）利用三角形相似对边比例关系计算出三角形各边长即可计算出结果，

①根据题意，利用三角形全等即可证明结论，②根据勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出结果．

【解答】解：（1）设AE=x，则EF=8﹣x，AF=4，∠A=90°，42+x2=（8﹣x）2，x=3，

∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，

∵∠MFE=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°，

又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴，

又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，

∴，

∴△FMD的周长=4++=16，

故答案为：3，16；

（2）EG⊥BF，EG=BF，

则∠EGH+∠GEB=90°，

由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称，

∴∠FBE=∠EGH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，

四边形GHBC是矩形，

∴GH=BC=AB，

∴△AFB≌△HEG，

∴BF=EG；

①△FDM的周长不发生变化，

由折叠知∠EFM=∠ABC=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°，

∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°，

∴∠DFM+∠DMF=90°，

∴∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴，

设AF为x，FD=8﹣x，

∴，

解得：，

∴，

∴FMD的周长=，

∴△FMD的周长不变，

②由折叠知∠FBE=∠EGH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，

四边形GHBC是矩形，

∴GH=BC=AB，

∴△AFB≌△HEG，

∴BF=EG，

所以（2）中结论成立．

24．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），

∴﹣×4+b=0，解得b=，

∴直线BD解析式为：y=﹣x+．

当x=﹣5时，y=3，

∴D（﹣5，3）．

∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，

∴k=．

∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．

（2）方法一：

由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C（0，﹣k），OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，

∴y=x+k．

∴P（x， x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），

∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，

∴，即，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

与①同理，可求得：k=．

综上所述，k=或k=．

方法二：

∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，

∴KAP+KAC=0，

∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），

∴KAC=﹣，

∴KAP=，

∵A（﹣2，0），∴lAP：y=x+k，

∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），

∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）

∴P（8，5k），

∵△ABC∽△APB，∴，

∴，

∴k=，

②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA===，

∴∠DBA=30°．

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．

过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．

∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣2）+=2，

∴F（﹣2，2）．

综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二：

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FH=DF×sin30°=，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t=，

∵lBD：y=﹣x+，

∴FX=AX=﹣2，

∴F（﹣2，）．

2016年6月14日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e51a4621c081e53a580216fc700abb68a982add9.html