北京市海淀区第20中学2017届高三上12月月考数学[理]试题（解析版）

2016—2017学年第一学期高三数学（理）12月月考

一、选择题：

1. 集合，，若，则的值为（ ）．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，所以，选D.

2. 已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（ ）．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】试题分析：因为，所以，选C.

考点：等差数列性质

3. 命题“存在，”的否定是（ ）．

A. 不存， B. 存在，

C. 对任意， D. 对任意的，

【答案】D

【解析】对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论．因此命题“存在，”的否定是：“对于任意的，”．故选．

4. 已知直线与平行，则等于（ ）．

A. 或 B. 或 C. D.

【答案】C

【解析】由题意可知且，解得：．

故选．

5. 已知函数的最小正周期为，刚该函数的图象（ ）．

A. 关于点对称 B. 关于直线对称

C. 关于点对称 D. 关于直线对称

【答案】B

【解析】根据题意得，，故．

∴，

．

∴该函数的图象关于直线对称，不关于点和对称，也不关于直线对称．

故选．

6. 已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（ ）．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】∵点是以，为焦点的椭圆上一点，

，，

∴，设，则．

由椭圆定义可知，∴，

∴，则．

由勾股定理知，即，

计算得出，∴．

故选．

点睛：椭圆的离心率是椭圆重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

7. 甲、乙、丙等个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ）．

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】先排甲、乙、丙，共有种排法，再将剩余人插进去，

∴人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有种．

故选．

点睛：本题考查的是排列组合问题.解决排列组合问题要遵循两个原则：①按照特殊元素(或特殊位置)的性质进行分类；②按照事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以特殊元素(或特殊位置)为主体，即先满足特殊元素(或特殊位置)，再考虑其他元素(或位置)．

8. 如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为（ ）．

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体边长为，则，，，，．

∴，，

∴，，

∴，．

故选．

点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

二、填空题：

9. 双曲线的虚轴长为____________．

【答案】1

【解析】双曲线化为标准方程为，

∴，．

故虚轴长为．

10. 如图中阴影部分的面积等于____________．

【答案】1

【解析】试题分析：所求面积为．

考点：定积分.

11. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为____________．

【答案】2

【解析】试题分析：抛物线()的准线为；圆的圆心是，

半径为，由题意得，解得，或（舍）.

考点：抛物线与圆的位置关系.

12. 已知直线，与平面、，给出下列四个命题：

①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．

其中所有真命题的序号是_____________．

【答案】②③

【解析】①若，，则，平行，相交，异面都有可能，故①错误；

②，则存在且，又，所以，故，②正确；

③若，，则存在直线，使，由面面垂直的判定定理可知③正确；........................

④若，，则或，故④错误．

综上所述，所有真命题的序号为②③．

13. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为___________（用“”连接）．

【答案】

【解析】试题分析：

根据三个频率分布直方图知:

第一组数据的两端数字较多，偏离平均数远，最分散，其方差最大；

第二组数据是单峰的，每一个小长方体的差别较小，数字分布均匀，方差比第一组的方差小；

第三组数据绝大部分的数字都在平均数左右，数据最集中，故方差最小；

综上可得：。

故答案为：

考点：1．频率分布直方图；2．方差．

14. 已知函数，则（ⅰ）____________．

（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形．

其中，所有真命题的序号是____________．

【答案】 (1). 1 (2). ①③

【解析】（ⅰ）由题可知，所以．

（ⅱ）①若为有理数，则也为有理数，∴，

若为无理数，则也为无理数，∴，

综上有，∴函数为偶数，故①正确．

②根据可知：假设存在等腰直角三角形，则斜边知能在轴上或在直线上，且斜边上的高始终是，不妨假设在轴，则，故点，的坐标不可能是无理数，故不存在．另外，当在上，在轴时，由于，则的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故②错误．

③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点为顶点的四边形为菱形，故③正确．

综上，所有真命题的序号是①③．

三、解答题：

15. 在中，已知．

（Ⅰ）求角的值．

（Ⅱ）若，，求的面积．

【答案】（）（）．

【解析】试题分析：（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到 ，结合，进而得到的值，从中可确定B的值；（2）先由A、B角的大小及BC的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出C，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式 即可求得的面积．

试题解析：（）∵，∴．

∵，∴，从而．

∴．

（）∵，，根据正弦定理得，

∴．

∵，∴．

所以的面积．

16. 设直线与圆相交于，两点，问是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】．

【解析】试题分析：由垂直平分弦，得经过圆心．由两点可得直线的斜率为，由垂直可得直线的斜率为.即，再验证直线与圆有两个交点即可.

试题解析：∵直线垂直平分弦，∴直线经过圆心．

又∵直线过点，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为的斜率为，∴，

此时，圆心到的距离，符合题意．

故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，此时．

17. 某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

（Ⅰ）写出，，，的值．

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是分以上（含分）的同学中随机抽取名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的名同学来自同一组的概率．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的名同学中来自第组的人数，求的分布列及其数学期望．

【答案】（），，，．（）．（）见解析.

【解析】试题分析：利用频率= ，以及表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；

（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；

（3）由（2）可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出．

试题解析：（）由题意可知，，，．

（）由题意可知，第组有人，第组有人，共人．从竞赛成绩是分以上（含分）的同学中随机抽取名同学有种情况．

设事件：随机抽取的名同学来自同一组，则

．

故随机抽取的名同学来自同一组的概率是．

（）由（）可知，的可能的值为，，，则：

，，．

所以，的分布列为：

．

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.

18. 己知四棱锥中，平面，底面是菱形，且．，、的中点分别为，．

（Ⅰ）求证．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．

【答案】（）见解析（）（）是中点．

【解析】试题分析：（1）要证BC⊥PE，要转化为证明BC⊥平面PAE;

（2）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,进行计算即可;

（3）设, 利用与平面的一个法向量为垂直，可求得t值，进而得出是中点．

试题解析：

（）证明：连结，．

∵平面，平面，

∴．

又∵底面是菱形，，，

∴是正三角形．

∵是的中点，

∴．

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴．

（）由（）得，由可得．

又∵底面，∴，．

∴以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，．

∵平面，

∴平面的法向量为．

又∵，．

设平面的一个法向量，则：

，即，令，则，，

∴．

∴．

∵二面角是锐角，

∴二面角的余弦值为．

（）是线段上的一点，设．

∵，∴．

又∵，．

设平面的一个法向量为，则：

，即，∴，

∵平面，∴，，即，

解得．

故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点．

19. 已知，函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．

（Ⅱ）求在区间上的最小值．

【答案】（）．（）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出f'（x），得切线的斜率，又曲线的切点为（2，f（2）），由点斜式可写出切线方程；

（2）借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．分，，三种情况讨论函数的最值情况.

试题解析：（）当时，，，

∴，，

∴，即曲线在点处的切线斜率为．

又∵，

∴曲线在点处的切线方程为，

即．

（）∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值．

③当，则当时，，函数在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值．

综上所述，当时，函数在区间上无最小值．

当时，函数在区间上的最小值为．

当时，函数在区间上的最小值为．

20. 已知椭圆过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）若椭圆上存在点、关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上．

【答案】（）．（）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为 椭圆过点，所以．因为， 所以．所以椭圆的方程为；（Ⅱ）依题意得．因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上．

设直线的方程为．由得，由得①，的中点坐标为所以，所以代入①得或，所以或

因为，所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

试题解析：（Ⅰ）因为 椭圆过点，

所以． 1分

因为，

所以．

所以 椭圆的方程为3分

（Ⅱ）方法一：

依题意得．

因为 椭圆上存在点关于直线对称，

所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上．

设直线的方程为．

由得． 5分

由，

得．（*）

因为， 7分

所以的中点坐标为．

又线段的中点在直线上，

所以．

所以． 9分

代入（*），得或．

所以或． 11分

因为，

所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

13分

方法二：

因为 点在直线上，且关于直线对称，

所以，且．

设（），的中点为．

则． 6分

又在椭圆上，

所以．

所以．

化简，得．

所以． 9分

又因为的中点在直线上，

所以．

所以．

由可得．

所以，或，即，或．

所以或．． 12分

所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上．

13分

考点：与圆锥曲线有关的定点定值问题

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