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《管理运筹学》第四版课后习题答案解析

发布时间：2020-07-09   来源：文档文库   
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《管理运筹学》第四版课后习题解析(上

第2章线性规划的图解法
1 •解：
(1 可行域为OABC (2 等值线为图中虚线部分。
(3 由图2-1可知，最优解为B点，最优解Lx = 12_,最优目标函数值_69
x 115 27
7
7


2•解:

(1 如图2-2所示，由图解法可知有唯一解
x2 = 0.60.2 ,函数值为3.6


(2 无可行 解。
(3 无界解。 (4 无可行解。
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(5无穷多解


x 20 (6有唯一解
|，函数值为3 92
3•解: (1标准形式
max f
3xi
2x2
0Si
9xi 2x2 Si 30 3xi 2x2 S2 i3 2xi
2x2
S3
9

x
i, X2 , Si, S2 , S3 > 0
(2 标准形式
min f
4x1
6x2
0s13x
i
X2

Si
6

Xi
2X2

S2i0


7xi
6x2

4

X
i, X2 ,Si, S2》0
(3 标准形式
min f
xi 2x2 3xi

5X2 5X2

Si 70 2xi
5x2
5x2


50
3
xi 2x2
2x2
Xi , X2
X2
s1, s2 > 0 4•解： 标准形式
max z 10 xi 5X2 0Si
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0S2
0 S2 2x2 S2 0S2
0S3



0si 30 OS2















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3Xi


S1

4X2
9 2X2


5xi S2
Xi, X2 , S1, S2 > 0
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松弛变量(0, 0 最优解为xi =1, x2=3/2。 5•解： 标准形式
min f 11xi 8x2 Osi OS2 OS3 10xi 2X2 Si 20 3xi 3X2 S2 18 4x1
9x2
S3 36
XS1 , 2 ,
S

i，S3 > 0
剩余变量(0, 0, 13 最优解为xi=1，X2=5。 6•解：
(1 最优解为 xi=3, X2=7。 (2 1 Ci 3。 (3

2 C2 6。
(5最优解为xi=8, X2=0 (6不变化。因为当斜率<_ -1，最优解不变
i <
变化后斜率为C最优解3
2
不变。 7.解：
设x, y分别为甲、乙两种柜的日产量， 目标函数z=200x+ 240y,线性约束条件:
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,所以
1


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6x 12 y 120 8x 64 2 20 20 作出可行域. 2x y 16 y
2x y 16 最大
z
200 240 8 2720 答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为 4台和8台，可获最大利润2720 元. 8•解: 设需截第一种钢板x张，第二种钢板 y张，所用钢板面积 zm2





目标函数z=x + 2y, 线性约束条件：






x y 12 2x y 15







x 3y 27 x 0




x

3y


27


y 0
作出可行域，并做一组一组平行直线 x+ 2y=t .解

x y
12

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得 E(9 / 2,15 / 2 学习资料整理



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不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点
（4,8）使z取得最小值
答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所 用钢 板的面积最小. 9•解：
设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函 数z=
2 2 得 C(4 / 3,1 2x y 3 2 y 2 2x y3 -作出可行域.作一组平等直线 3x + 2y=t .解 3x + 2y,线性约束条件 x 0
y
/ 3
x

0

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C不是整点，C不是最优解•在可行域内的整点中，点 B(1 , 1使z取得最小 值. z 最小=3X 1 + 2X 1=5,
答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小 为m2. 10.解: 设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元.目标函数为z=960x+ 360y. 0 x 10 线性约束条件是
y 作出可行域，并作直线 960x+ 360y=0. 0 20 8x 2.5 y 100
即8x+ 3y=0，向上平移

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5

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1
\ 1,

24 J
叫

4X）事 20

4
\ 12
3 Q \
A
111^
\ \
1
ru 1 1 20 1 A
-12 -8 -A Q
-A -8
1 4 &

1 无 16 24 X
- \
\ 1 \
\

-12 - -16
- t 1
\
1
■
x
由

10 得最佳点为
2.5 100 960x+ 360y=0. 8,10
8x 作直线
即8x+ 3y=0，向上平移至过点 B(10, 8时，z=960x+ 360y取到最小值. z 最小=960X 10+ 360X 8=12480 答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元. 11 .解: 设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y，
0.18x 0.09 2x y y 72


所获利润为z，则z=6x+ 10y. 800

0.08 x 0.28 y 56 2x 7 y 1400 即
trrt
作出可行域•平移 6x + 10y=0，如图


x

x
0
y
0

0

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2x y 800
得
X 即 C(350, 100.当直线 6x+ 10y=0 即 3x+ 5y=0 平移 350 到


2X 7 y y 1400 100 经过点 C(350, 100时，z=6x+ 10y 最大

12. 解: 模型 max z 2x1 < 300 3x2 < 540 2X! 1.2 Xi 2X! < 440 1.5 x2 w 300 500 Xi 400x2 为，x2 > 0 (1 X1 150 , X2 70 ,即目标函数最优值是
103 000。
(2 2, 4有剩余，分别是330, 15，均为松弛变量。 (3 50, 0, 200, 0。
(4 在 0,500 变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。 (5
c2
因为—
430 冬
450 w 1，所以原来的最优产品组合不变。
13. 解: (1模型 min f 8XA
3XB

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50xA 100XB < 1 200 000 5xA 4xB > 60 000 IOOXB > 300 000 XA , XB > 0 基金A, B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。 (2模型变为 max z 5XA
4XB
50 XA
100XB < 1 200 000 100XB > 300 000 XA, XB > 0 推导出XI
18 000 , X2 3 000，故基金 A投资90万元，基金万元。
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投资30 B


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第3章线性规划问题的计算机求
解
1 •解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是 4和8,这时最大利润是2720 ⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高 13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的 对偶价格不变。比如油漆时间变为 100，因为100在40和160之间，所以其对 偶价格不变仍为13.333
⑷不变，因为还在120和480之间。 2•解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解 为 （4，8） 3 •解：
⑴农用车有12辆剩余 ⑵大于300 ⑶每增加一辆大卡车，总运费降低 192元 4•解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为 （10，8） 5•解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是 350和100件，这时最大利润是3100元
相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14; C2允许减少量为10- 3=7,所有允许 增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6 ） /14+ （10- 9） /7〈 100%所以最优解不变。

⑵最优解

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6•解：
(1 xi 150 , X2 70；目标函数最优值 103 000。
(2 1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完 的加
工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
(3 50, 0, 200, 0。含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间 每增加1工时，总利润增加200
元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。 (4 3车间，因为增加的利润最大。
(5 在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。
(6 不变，因为在 0,500 的范围内。
(7 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条 件 1的右边值在
200, 440 变化，对偶价格仍为50 (同理解释其他约束条件。
(8 总利润增加了 100X 50=5 000，最优产品组合不变 (9 不能，因为对偶价格发生变化。
(10 不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
25 100 50 而
(11 不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
60 < 100% 50
140 140 < 100%，其最大利润为 103 000+50X 50- 60 X 200=93500 元。
7•解: (1 4 000，10 000，62 000。
(2 约束条件1:总投资额增加1个单位，风险系数则降低
0.057 ；约束条件2:年回报额增加1个单位，风险系数 升高2.167 ；约束条件3:基金B的投资额增加1个单位, 风险系数不变。
量是0,表示投资回报额正好是60 000 ;约束条件3的松弛变量为700 000，表 示投 资B基金的投资额为370 000。

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(4 当C2不变时，Ci在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当Ci不变时，C2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。
(5 约束条件1的右边值在 780 000,1 500 000 变化，对偶价格仍为0.057 (其他同理 。
(6
百分比与允许增加的百分比 之和
2 4.25 3.6 不能，因为允许减少的_4 ______ 100%，理
由
见百分之一百法则。
8•解：
(1 18 000，3 000，102 000，153 000。
(2 总投资额的松弛变量为0,表示投资额正好为1 200 000 ;基金B的投资额 的剩 余变量为0,表示投资B基金的投资额正好为300 000; (3 总投资额每增加1个单位，回报额增加 0.1 ; 基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降 0.06 o
(4 C1不变时，C2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； C2不变时，C1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。
(5 约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为 0.1 ;
约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。 (6
900 000 900 000 600 °°°
300 000
100澈对偶价格不变。
9•解： (1洛 8.5 ， X2 函数分别提高2和3.5。
(3 第3个，此时最优目标函数值为22。
(4 在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变 化。
1.5 ， X3 0， X4 0，最优目标函数 18.5 o

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(5 在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 10.解: (1 约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。 (2 X2目标函数系数提高到0.703，最优解中X2的取值可以大于零
(3 根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之 和
—2三100%，所以最优解不变。
14.58 OO 3 1
(4
30 9.189 因为15 65 100 %根据百分之一百法则，我们不能判定其
对偶
111.25 15 价格是否有变化。
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第4章线性规划在工商管理中的应用
1 •解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。 设14种 方案下料时得到的原材料根数分别为X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X1
1，X12，X13，X14，如表 4-1 所示。
表4-1各种下料方式 下料方式 1 2 3 2 640 mm 2 1 1 1 770 mm 0 1 0 1 650 mm 0 ：1
4 1
0 0
5 0 3 0 6 7 8 0 1 0 1 0 2 2 1 1 \0 : 2
9 0 1 1
10 0 1 0 11 12 0 1 0 0 0 3 2
13 14 0 1 0 0 0 1 \0 2 3
1 440 mm 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 min f =X1 + X2 + X3+ X4+ X5 + X6+ X7 + X8+ X9+ X10 + x“ + X12+X13 + X14 s.t. 2 X1 + X2+X3+X4> 80
X2+3X5 + 2X6 + 2X7+X8+ X9+X10> 350 X3+X6+2X8+X9+ 3X11 + 2X12+X13> 420 X4 + X7+X9 + 2X10+X12 + 2X13+ 3X14^ 10
X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14>0 通过管理运筹学软 件，我们可以求得此问题的解为：
X[=40, X2=0, X3=0， X4=0, X5=116.667，X6=0，X7=0，X8=0, X9=0, X10=O, Xn = 140, X12= 0，X13=0，X14=3.333 最优值为300。 2•解：
(1 将上午11时至下午10时分成11个班次，设Xi表示第i班次新上岗的临时工 人数，建立如下模型。
min f =16(X1 + X 2+ X3 + X4+ X5+ X6 + X7+ X8 + X9+ X10 + X11 s.t . X1 + 1>9
XXxx1 + 2 + 1》9 1 + 2+ X3 + 2》9 X1+X2+X3+ X4 + 2》3 X2 + X3+X4+ X5+ 1>3 X3 + X4+X5+ X6 + 2》3 X4 + X5+X6+ X7 + 1》6 X5 + X6+X7+ X8+ 2> 12X6 + X7 + X8 + x9 + 2》12 x7 + x8 + X9 + X10+ 1 >7 X8 + X9 +X10+X11 + 1 >7
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X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, XlO, Xl1>0 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：
XXXXX1 =8, 2=0, 3=1， 4=1， 5=0, X6=4， X7=0, X8=6, X9=0, X10=0, X11=0, 最优值为320。
在满足对职工需求的条件下，在 11时安排8个临时工，13时新安排1个临时 工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时 工可使临时工的总成本最小。
（2）这时付给临时工的工资总额为 320, 一共需要安排20个临时工的班次。
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
-----1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 2 9 0 5 0 0 0 10 110 0 - 4 0 0 0 - 4 0 0 0 - 4 0 0 根据剩余变量的数字分析可知，可以让 11时安排的8个人工做3小时，13时安 排的 1个人工作3小时，可使得总成本更小。
(3 设Xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工 人数。 min f =16(X1 + X 2 + X3+ X4+ X5 + X6+ X7 + X8+ 12(y〔 + y + y3 + y + y5 + y6+ y7 + y8+ y9s.t . X1 + y1 + 1 >9 X1 + X2 + y1 + y2 + 1 >9 X1 +x2+x3+y1 + y2+y3+ 2>9 X1+X2+X3+X4+ y2+y3+y4+ 2>3 X2+X3+X4+X5+ y3+y4+y5+1>3

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X3+X4+X5+X6+ y4+y5+y6+ 2》3 X4+X5+X6+X7+ y5+y6+y7+1 >6 X5+X6+X7+X8 + y6+y7+y8+ 2> 12 X6 + X7 + X8 + y7 + y8 +y9+ 2> 12 X7 + X8+y8+y9+1 >7 X8 + y9+ 1>7 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, 丫1 , 丫2,讨3, 丫4, 丫5, y6, y7, y8, y9>0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
X1=0, X2=0, X3=0, X4=0, X5=0, X6=0, X7=0, X8=6, y1=8, y2=0, y3=1, y4=0, y5=1, ye=0, y7=4, y8=0, y9=0。最优值为 264。
具体安排如下。 在11： 00— 12: 00安排8个3小时的班，在13: 00— 14: 00 安排1个3小时的班，在
15: 00— 16: 00安排1个3小时的班，在17: 00— 18: 00安排4个3小时的班, 在 18: 00
—19: 00安排6个4小时的班。
总成本最小为264元，能比第一问节省320- 264=56元。 3•解: 设xj , xj '分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的 生产量；yj为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量, 根据题意，可以 建立如下模型: ..5 ij
6max z
i j
1 1

i i
[S y 1

C X

j i
ij i ' 1
5C X ]
i
j 1
H w
i ij
1
5

rj aXi ij


6
( j 1,L





i 1

5
i
ij

a 1 X
i
1

( j r' L
ij


,6
1

,
s.t. y i. ij d (i 1,L ,5: :j , 6
1,L
w y (i , 5; j , 6,其中，w w k 1，L =0 i 0 i6 i
w 1 ,L X ' X ij iij ij ，j ij 1 1j,L , 6 X ' X 0, 0, y 0(L , 5；
ij
ij
ij


j V
0(i 1,L
, 6 ,5; 1,L


j

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4.解:学习资料整理



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(1 设生产A B C三种产品的数量分别为X1, X2, X3,则可建立下面的数学 模型。 max z = 10 Xi + 12x2 + 14x3 s.t. X1 + 1.5x2+ 4X3=2 000 2x1+ 1.2x2+ X3WI 000 X1 < 200 X?< 250 X3 < 100 X1 , X2, X3>0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：X1=200, X2=250, X3=100,最优 值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 C 100件，可使生产获利最多。 (2
A B C的市场A 200件，B 250件, 容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时 的对偶价 格均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加
10元，B的
市场容量增加 一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利 润增加14元。但 增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如 果要开拓市场应 当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在 0价位上 增加材料数量和机器 台时数。 5•解：
(1设白天调查的有孩子的家庭的户数为Xu，白天调查的无孩子的家庭的户数 为X1 2，晚上调查的有孩子的家庭的户数为X21,晚上调查的无孩子的家庭的户数 为X22,则可建立下面的数学模型。
min f =25x11 + 20x12+ 30x21 + 24x22 S.t . X11 + X12+ X21 + X22》2 000 X11 +X12 =X21 + X22 X11 + X21》700 X12 + X22》450 X11, X12, X21, X22>0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11 = 700, x12= 300, x21 = 0, X22= 1 000 , 最优值为 47 500。
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白天调查的有孩子的家庭的户数为 700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为
30 0户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为 1 0 00户，可使总调查费用最小。
(2 白天调查的有孩子的家庭的费用在 20〜26元之间，总调查方案不会变化； 白 天调查的无孩子的家庭的费用在19〜25元之间，总调查方案不会变化；晚上 调查 的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调 查的无 孩子的家庭的费用在-20〜25元之间，总调查方案不会变化。
(3 发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家 庭的最少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少 调查数在负无 穷到1 300之间，对偶价格不会变化。 管理运筹学软件求解结果如下：
12 3-4
无甘ODOD13
300


目标函數最优值为：47500

相差值

和
x2 x3

约束
700 0 300 0 0 1 1000 0
松弛撫0余克里对偶们格


200004 7
0050


o O
1 2 3 4
0 0 0


850
-22 2 •5
0



目标函数系劃 1范
麥里 邓艮
当前值
卩
上X1

x3
厲
常教项数范凰:

约束 1
20 19 29 20


25 20 30 24
当前值
2S 25
无上限
25

hl
设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x,y台，总利润是P,则P=6x+8y,可建立 约束 条件如下： 30x+20yW 300; 5x+10yW 110; x>0 y>0
x,y均为整数。使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为
9600;
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7.解：
1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3< 500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 < 350 车床限制条件 3x1 + x3< 150磨床限制条件 即总绩效测试(目标函数为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 2 本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3< 500 4x1+ 3x2 < 350 3x1 + x3< 150 x1 > 0、x2> 0、x3>0
最优解(50, 25, 0,最优值：30元。
3、若产品川最少销售 18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3< 500 4x1+ 3x2 < 350 3x1 + x3< 150 x3> 18 x1 > 0、x2> 0、x3>0
这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下：
最优解(44, 10, 18,最优值：28.5元。
、
8•解：
设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模 型：
min f =2 800xii + 4 500xi2+ 6 000X13+ 7 300X14+ 2 800X21 + 4 500X22 + 6 000 X23 + 2 800X3 1 + 4 500X32+ 2 800X41 s.t . Xn> 15 X12+X21》10 X13+ X22 + X31 > 20 X14+ X23 + X32 + X41> 12 Xij》0, i , j =1, 2, 3, 4

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指导参考
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
XXXXXX11 = 15, 12=0, 13=0, 14=0, 21 =10, 22=0, X23=0, X31 =20, X32=0, X41 = 12, 最
优值为159 600，即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方 米 一个月，在三月份租用2 000平方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月， 可使所付的租借费最小。 9. 解：
设Xi为每月买进的种子担数，yi为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为； Max Z=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x 1-3.05X 2-2.9X 3 s.t. y1< 1000 y2< 1000 y 什 X1 y3< 1000 y 什 X1- y 2+ X2 1000- y1+ X1< 5000 1000- y 什 X1- y 2+ X2< 5000 X1<( 20000+3.1 y1/ 2.85 X2<( 20000+3.1 y1-2.85x 1+3.25y2/ 3.05 X3=( 20000+3.1 y1-2.85x 1 +3.25y 2-3.05X 2+2.95y 3 / 2.9 1000-y 1+X1-y 2+ X 2-y 3 +X3=2000 Xi》0 yi》0 (i=1,2,3 10. 解: 设Xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。
max Z=9(Xii+ X12 + X13+ 7(X21 + X22 + X23+8( X31 + X32 + X33 - 5.5( X“ + X21 + X31- 4(X12+ X22 + X32- 5(X13+ X23 + X33
s.t . X11> 0.5( X11 + X12 + X13 X12< 0.2(X11+X12 + X13 X21》0.3( X21+X22 + X23 X23W 0.3( X21+X22 + X23 X33> 0.5( X31 +X32 + X33 X11 + X21 +X3什 X12 + X22+X32+ X13+X23+ X33< 30 X11 +X12+ Xi3=5 X21+X22+ X23W 18 X31 +X32+ X33< 10
Xij》0, i , j =1, 2, 3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
X11=2.5，X12=1，X13=1.5，X21=4.5，X22 = 10.5，X23=0，X31=0，X32 =5, X33 =5,最优 值为93..
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11. 解：
设X i为第i个月生产的产品I数量，丫 i为第i个月生产的产品U数量，Z i , Wi分别 为第i个月末产品I、u库存数，S 1i , S 2i分别为用于第(i+1个月库存的自 有及租 借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型
5
min z =
(5为


i 1
s.t X1-
10

000=乙 X2+Z1- 10

000=Z2 X3+Z2-
10

000=Z3 X4+Z3- 10 000=乙学习资料整理
12
8 yi (Si
X
5
+
Z
4
- 3
0
12
(4.5 为 7 yi
S2i
000=Z5 X6+Z5- 30 000=Z6 X7+Z6- 30 000=Z7
X8+Z7- 30 000=Z8 X9+Z8- 30 000=Z9










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X10+Z9- 100 O00=Zio X11+Z10- 100 000=Zn X12+Z11- 100 000=Zi2 5VWWWVWW-^WW - +++++ + + w w
怡50 000=2 15 000=3 15 000=4 15 000=5 15 000=6 15 000=7 15 000=W8 15 000=W 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下 最优值为4 910 500
X1=10 000,
000,

X8=45 000,
丫1=50 000,
X9=105 000, X10=70 000, Xn=70 000, X12=70 000; 丫=15 000, Y2=50 000, 3=15 000, 丫8Y4=15 000, 丫5=15 000 丫9=15 000, 丫10=50 000, Y11=50 000,
Ys=15 000, 丫7=15 000, 丫 12=50 Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;
000; S19=15 000, Si10=12 000, Sin=6 000, S29=3 000; Z8=15 000, S18=3 000,
w +
S2i
> 0, Sii Y10+W- 50 000=W。 Y11+W0- 50 000=W1 丫12+W1- 50 000=W2 Si w 15 000 1<i < 12 X+Y<120 000 1<i <12 1<i <12 Si 0.2 Zi +0.4 W X i > 0, 丫》0 , Z i >:®, W 0, s2i
0 X2=10 000, X3=10 000, X4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 学习资料整理


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其余变量都等于0 12. 解:学习资料整理



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为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规 划问题进行求解，令，X 1=生产标准汽油所需 的X100原油的桶数X2=生产经济汽油所需的 X100原油的桶数乂3=生产标准汽油所需的X220 原油的桶数乂4=生产经济汽油所需的X220原油 的桶数 贝U，min Z=30 x 什30 x 2+34.8 x 3+34.8 X4 S.t. X l + X3> 25000 X2+ X4> 32000 0.35 Xi+ 0.6X 3 > 0.45 (Xi + X3 0.55 X2+ 0.25x4= 0.5 (X2+ X4
通过管理运筹学软件，可得 xi=15000, X2=26666.67, X3=10000, X4=5333.33 总成本为1783600美元。 13•解: (1设第i个车间生产第j种型号产品的数量为 学模型。
X Xij ,ij ,可以建立如下数


max Z=25(XH+X21
17(X13
XX31
XX41 X51
X20( X12
24 XX32 X42
52
23 X43 53
(X14 + 11


44
S X11

X21

X31

X41 X51 < 1 400



t



X12
X12
X32
X32
X42
X42
X52》300



x52 < 800



X13 X14
5x11
X23
X24
X43 X53 < 8 000



X44 > 700



7 X12
6X13
5X14 < 18 000

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4 X31
3X41
3X32 < 14 000 2X42
4 X43 2 X 44 W 12 000
2X51
4X52
5X53 w 10 000
「=123,4
x ij > 0, i
2,3, 4,5

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下
*******************优解如*************************
*** 目标函数最优值279 400
为： 变量
最优解
相差值

X11 X21 X31 X41
X51
0 0 1 400 0 0 0 800 0 0 1 000 5 000
11 26.4 0 16.5 5.28 15.4 0 11 10.56
X12 X32 X42
x52
0 0
0 8.8 2 000 0
X14 2 400 0 X24 0 2.2 X44 6 000 0
即 X32=800, X13=1000, X23=5000, X53=2000, XM=2400, X44=6000,=1400,其余均为 0,得到最优值为279 400


X13 X23 X43 X53

⑵对四种产品利润和

5个车间的可用生产时间做灵敏度分析
约束 松弛/剩余变量对偶价格
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-1 0
25
2 500 3 0 4 0 5 7 700 6 0 7 0 8 6 000 9 0

10
0
目标函数系数范围: 变量 下限
当前值Xii 无下限 25 X21 无下限 25 X31 19.72 25 X41
无下限 25 X51
无下限 25 X12
无下限 20 x32
9.44 20 X42 无下限 20 X52 无下限 20 X13
13.2 17 x23
14.8 17 X43 无下限 17 X53 3.8 17 X14 9.167 11 X24 无下限 11 X44
6.6
11


常数项数范围：
约束
下限 当前值
0 - ---1 2
无下限 300 3 300 800 4 7 000 8 000 5
无下限
700

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0 20 3.8 0 2.2 4.4 0 5.5 2.64
上限
36 51.4 无上限 41.5 30.28 35.4 无上限 31 30.56 19.2 无上限 25.8 无上限 14.167 13.2 无上限
上限 --2 900 800 2 800 10 8 400



000

范文范例 指导参考

6 7 8 9 10
6 000 9 000 8 000 0 0
18 000 15 000 14 000 12 000 10 000
无上限 18 000 无上限 无上限 15 000
可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行
14•解：设第一个月正常生产 XI，加班生产X2，库存X3；第二个月正常生产X4, 加班生产X5，库存X6；第三个月正常生产X7,加班生产X8,库存X9；第四个月正常 生产X10
，加班生产X11，可以建立下面的数学模型。
min f =200(X1+ X4+ X7+ xe+300(X2+ X5+ X8+ Xn+60( X3+ X6+ X9 s.t X1<4 000 X4<4
000 X7<4
000 X10<4 000 X3W 1000 X6<1 000 X9W1 000 X2<1 000 X5W1 000 X8<1 000 X11<1 000 X1 X3 X6 X7 x11 X2 4 500 X3 X5 X9 x10
500 X4 X8 3 000 X6 5 500 x9
4 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , X7 , X8 , X9 , X10 , X11 > 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 为 f =3 710 000 元。
最优值
X1=4 000 吨，X2 =500 吨，X3=0 吨，X4=4 000 吨，X5=0 吨，
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X6=1 000 吨，X7=4 000 吨，X8=500 吨，X9=0 吨，Xio=35OO 吨，Xii=1000 吨。
管理运筹学软件求解结果如下：
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隧篇篇篇t最优解虫日1 机抵篇篇
目标函数最优值为 3460000 变窒 最优解 4 目差｛直 .1 .2 .3 .4 .5 .6 x7 .8 .9 .10 .11 约束
a.Efio 噜―饨也俨噜―噜―噜噜―噜―

4000 0 500 0 0 120 4000 0 0 60 1000 0 4000 0 500 0 0 160 3500 0 1000 0
松弛楝1余变里戈％高价格
mn 33 ^0400 ooooo OOO 2D
DUD 七七-^0000 -2 14 1 O
饨他句
^
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第5章单纯形法
1. 解：表中a、c、e、f是可行解，f是基本解，f是 基本可行解。 2. 解：
(1 该线性规划的标准型如下。 max 5xi + 9x2 + Os什OS2+OS3 s.t. 0.5xi + X2+ Si = 8 xi + X2 - S2= 10 0.25xi + 0.5X2 — S3= 6 Xi , X2 , Si, S2, S3>0
(2 至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量 取零
。
(3 ( 4, 6, 0, 0, -2 T (4 ( 0, i0, -2 , 0, -i T
(5 不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 (6 略 3. 解：
令X3 x3 ,f 边同时乘以-
1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量 X5和剩余变量 X6，将原线性规




z改为求；将约束条件中的第一个方程左右两
x3 max f 划问题化为如下标准型：


max f

4Xi X2 3x2
X3
3x2 3X3
2X3 3X3
7X4
x4


约束条件：




4x1 Xi
X3
1
6X4





X5
4x3

18 3Xi
4x3

2X2
X6
,X4 , X5 , X6 0



2


Xi ,
X2 ,
X3 , X3

X j、 x j 不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面 x j 相应的列
x j、
向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列 会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。 4. 解:
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(1 表5-1学习资料整理



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迭代次 数
Xi X2 X3 Si S2 S3
基变量 Si S2
CB
0
S3
0 0 0
Z j
乙
C j 6 3 0 1 2 0 [ 6
30 i 2 [i] 0 30 25 0 1 -1 0 25
0 1 0 0 0 0
：0
0 r i *0 0 0
0 0 0 i 0 0
b 40 50 20 0

(2 线性规划模型如下。

max 6x1 + 30x2 + 25X3 s.t. 3xi + X2+ Si=40 2X2 + X3+ S2=50 2x1 + x 2-X3+ S3= 20 Xi, X2, X3, S1 , S2, S3 数 值为0。
(4第一次迭代时，入基变量时X2,出基变量为S3
>0 (3 初始解的基为(Si，S2，S3T,初始解为(0, 0, 0, 40，50, 20T,对应的
目标函5.解: 迭代 基变 次数 量

CB

Xi
0 10 4 2
z
X2 X3
X4
0 1 0 0 0
M
X5
0 0 1 0 0
M
X6
0 0 0 -1 0
M
X7
0 0 0 1 0
M
b
10 4 2 -
M
6 8 3 7 6
M
6 10 9 6 6
M
X
4
0


0

n

X
5
C

0
j
0
M
M

M
X4
n

0

17/3
—

0 0

8 4


1 0

0 1

1/3 5/6

-1/3

28/3 7/3

X5
X2

0 6
-5/6 1/6

17/6 7/6


1 0
M
1 0
M
0 0
M
0 0
M
-1/6 1
M
1/3
i
M
C j
z
-7
M
-1
M
M
M
6.解：
(1当现行解为可行解，并且对应的非基变量检验数均小于 划问题才有唯一最优解，即ki 0 , kg 0 , k5 0时，该线性规 0 ；
（2） 当某个非基变量的检验数为0时，该线性规划问题有多重最优解。所以若满 足
现行解为最优解，并且有多重最优解即满足：或者 ki 0 ;或者
0，k3 0 0，k5 k 0 k3
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ks

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ki 0， k3 0， k5 0 0 ；；或者，
，
（3） ki ，即 k5 性条件，第
0可以保证该线性规划问题有可行解。若此时该线性规划问题目 标函数 0 且 k4
0 ；
无界，也就是说一定存在某个检验数为正时，对应的列的系数向量元 素全部非正
（4） 由表中变量均为非人工变量，则 ki 0且k2 0，由于变量的非负
一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解；
7.解： (1 a
0, c

7, b 1, d
0, e 0, f
0, g
1, h
7 ；
（2）表中给出的解是最优解
8•解：最优解为（2.25，0） T 最优值为9

表5-2 迭代次数
基变量
S1
sCX1 X2 s S2
B
0
2
0 0
4 1 [4] 0 4 0 1 4
0 P |3
\2
z j Cj —Zj S1
1
X1 Z j
0 4
c j z j 0 p 2.5 ：0.5 2
- 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -0.25 0.25 1
- 1 b 7 9

4.75 2.25

9•解：
（1） 最优解为（2, 5, 4） T,最优值为84。 （2） 最优解为（0, 0, 4） T,最优值为-4。
10•解：有无界

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解。 11 .解：
（1） 无可行解。
（2） 最优解为（4, 4） T,最优值为28。 （3） 有无界解。
（4） 最优解为（4, 0, 0） T,最优值为8。
12.解：
该线性规划问题的最优解为
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5,0, 1）T,最优值为-12（

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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1 •解： (1 ci< 24 (2 C2》6
(3 CS2=8
2•解：
(1 ci >- 0.5 (2 - 2<C3<0 (3 CS2< 0.5 3•解: (1 bi> 250 (2 02< 50 (3 03< 150 4•解： (1 b1 >- 4 (2 02< 10 (3 b3>4 5. 解:
0
最优基矩阵和其逆矩阵分别为：






1 1 0
4 1
B

B 4 1

最优解变为X1

X2

0, X3

13，最小值变为-78 ;
最优解没有变化； 最优解变为X1
6•解：
0, X2 14, X3
2，最小值变为-96 ; (1 利润变动范围C1< 3,故当C1=2时最优解不变

(2 根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 (3 02< 45。
(4 最优解不变，故不需要修改生产计划。


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(5
修改，因为新的产品计算的检验数为 原生
产计划没有影响。 7.解：
此时生产计划不需要-3小于零，对
⑴设洛,X2 , X3为三种食品的实际产量，贝够问题的线性规划模型为
max z
约束条件：8X1
2.5 X1
5X3 5X3 0

2X2 350
3X
16X2 10X3
10X1 5X2 2X1 13X2

450 400
X1 , X 2
, X3
解得三种食品产量分别为X! 为 109.375 万 丿元。
43.75, X2 X3 0 ,这时厂家获利最大
⑵ 如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可
以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
XMlTlTiCXWXXWMITgKXXWX
目标函数最优直为：103.375
賁里 最优解 相差佰 x1 x2 x3 约束 1
2
43.75 0 0 0
3 125
松弛擦1］余变里对偶价格
0 12.5 3
312.5 目标函数萦数范ID :
下限 xl x2 »3
»■■■■■■■
2.4 313 a 0
当前值
25 上^ 无上眼 5 3.125
■■■■■■ n ■■ ■■ in a
无下眼 2 无下眼
3 宜数项埶范国:
下隔 当前値 上限 «■■■■■■■ ・・・・・・N亠 ■ ■■ iMnSB ■ 1 0 390 360
437.5 450 无上眼 2
A7.5 400 无血 3

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指导参考
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为 169.7519万元，其中
14.167, x2 0， x3 11， x4 31.667 ；
（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为 163.1万元，其中
x1 11, x2 0， x3 7.2， x4 38 ；
所以建议生产乙产品。
8.解： 均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量 为零且对
应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可 知此线性规划有无穷多组解。

9•解：
(1 min f = 10y1+20y2. s.t. y1+y2>2 y什 5/2>1 y1+y2>l y1,y2>0
(2 max z= 100y1+200y2. s.t. 1/2y1+4y2<4 2y什6y2 <4
2y1+3y2<2 y1,y2>0 10.解: (1 min f二 10y什50/2+20^3. s.t. -2y什 3y2+y3》l -3y1+y2 >2 -y1+y2+y3 =5 y1，y2>0，y3没有非负限制。 (2 maxz= 6y1- 3y2+2y3. s.t. y1- y2- y3<1
2y1+y2+y3 =3 -3y+2/2- y3<- 2

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范文范例
指导参考
yi, y2>0, y3没有非负限制 11.解：
max z 约束条件: ya 1 y1 1 y
y4 1 y4 y5 1 y1 , y, ya ,头, y5 0 ya 1 ya y2 6 y1
7 y2 8 9 y4 10 河i y5
原冋题求解结果显示: HMMM MHNaMIHNHf IHI44H H
对偶问题结果显示: ----------- 览崛汕帀 ------------- 目整I數霞优哄,：E 訂
>2 »3 5 5 .5 5 .5 Q n 0 U U
屮宦优 j解如下
日忏函数最优值芮■ 叢里最优韶 相差直 20

x1 «2 x3


约杲

1 2 3 4 5 x5
Q] 0 Q Q]
松弛喇余貫里
a 0 0 0 0
4 2 5 3 c
DJ
油
>5 釣束
2 10 杜柄際碑对隔f憐
0?
5 2

冃标雷救谿范圉- 下限
«1 x2 x3 0 0 0 0 Q 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
4 L 5 C 匚 口标訓和翩I克可
注呈 下压 出前直 上很
i b 7" 8 K4
馬
常数硕数范困：
约束 下限 当前眉 上限
12 3 4 5
>5 常数顶轨麵- 约宋 l"fB
-2 22 2 2
1 2 3 t
5 [ 0 0 0
L
：

用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量
12.解：
（1）该问题的对偶问题为

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范文范例
指导参考
max f 4 yi 12y2 约束条件：3y1 y2
2
2 yi 3y2 3 yi y2 5 yi , y2 0 求解得max f=12，如下所示: MMKKHMliKKHMHKICHMKKKHM
•最优解如下 KKMMKKICMMKKHKlflCKHMMKKHMMH娜数最购2相差值
d 0 4
1 0
约束
松弛操q余变里对偶怕格
1 1 o
2 0 4
3 4 0
目标函数系数范国:
娈重 下限 当前值 上眼
无下限
4 12
e 无上服
常数
【页数范圉 下约束
限
当前值
上眼 1 1 2 无上限
23

0 31
5

6无上限

(2
该问题的对偶问题为
min z
2 y1 3y2约束条件： 2 y1
3y2 y3 3y1 y2
4 y3
5 y1
7 y2
6 y3
y1 , y2, 「y3 0 求得求解得min z=24，如下所示:
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5 y 3 8 10




范文范例
指导参考
目标函數最优值为：24
寓甘片富冨寓寓*丹斗寓翼*片冨寓需嵩實剧早女口一|^片富寓寓离*;离寓;■；*肓事斗寓肖｝弭寓宴丹

最优解 相差值

対束
X1 x2 x3 1 2 3
0 EJ 0 21 0 46
松弛撫Q余变里对偶们格






11 0 17


目标函数素埶范圉:

变里

当前值 上限 无上限 无上限
«2
M3
常数项数范国： 约束 下限
-9
0 A2

2 3 5
当前值
无上限

上限 无上服 无上限

1 2 3
■24
无卜限
■56
■3 8 10
■1.429
思考： 在求解
min CX 约束条件: AX 0 其中：C为非负行向量, 列向量b中元素的符号没有要求
max z CX 约束条件：AX b
X 0 其中：C为非正行向量, 列向量b中元素的符号没有要求 以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。 13. 解：
(1错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行 解； (2正确; (3 错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解, 可能 有可行解，甚至为无界解; (4 正确; 14. 解:

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范文范例
指导参考
max z
2X2
X1
3X3

4




X1
X3
X2
S
1
X1 X2 2x3 X3 Xi >20, i


S2




8



X2


S3

2 1丄,3
,30, j
1丄
； s j
用对偶单纯形法解如表6-1所示
表6-1 迭代次数
基变量
S1 S2
G
X1 X2 X3 S1 S2 S3
0
S3
z0 0 0
Z j
j j
CX1 S2 S3
z-1 0 0
Z j
-1 [-1] 1 0 0 -1 1 0 0 -1 0
-2 1 1 -1 0 -2 -1 2 [-1] 1 -3
-3 -1 2 1 0 -3 1 1 1 -1 -2
0 1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
b -4 「8 -2

「4 4 -2

1
续表
j
j c迭代次数 基变量
X1 S2
CB
X1 X2 X3 S1 S2 S3
-1 1 0 0 -1
-2 0 0 1 -2
-3 0 3
0 -1 1 0 1 -1
0 0 1 0 0 0
0 -1 2 -1 3 -3
b 6 [0 2

-1 0 -2
-1 2 j
c j z j -5 0 0
最优解为xi=6, X2=2, X3=0,目标函数最优值为10。

z2
X2
15. ta ，其中a和b为常数列 向量。
解：原问题约束条件可以表示为：
AX b 令t 0 ,将问题化为标准型之后求解，过程如下：


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范文范例
指导参考
其中最优基矩阵的逆矩阵为

1 0 0 1 B 1 1 I 1
1 1 0 B 1 * b 1 10 1 1 0 1 3 0 3 1 0 t 0 1 t B 1 * ta 1 t t 1 1 0 1 t 0 1 t 5 t 则 B 1 * (b ta
2 3t
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3t

范文范例 指导参考
从而，
1）当0 2 迭代 次数 2
Xi
1 3
3时，最优单纯形表为
基变量
CB
Xi
1 1 0
X2
2 0 0
X3
X4
0 0 1
X5
0 0 -1
0 1 -1
b
5 2
t
3t1 0
X4
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范文范例
指导参考
X2

C2
z
0 0 3t


1 0 0，3 0 -1
t 0 0

1 -2
3
t
j
此时5 解为 (Xi , X2
t j

0，2 0， 线性规划问题的最优
(5 t,3 t ，目标函数最大值为11
3t 2
3t ；
(5 t ,3
72）当 3 t 时, 由2 t）■并非最优解，利用对偶
0 可知，（x ,
x

单纯形法继续迭代求解，过程如下所示, 迭代 次数
X1 X4
基变量
CB
X1
1 10 10 0
X2
2
X3
X4
0
X5
0
0
b
5
1 0 2
Z
0 0 ( -1-1 0 10 0 1
0 0-10-2 10 0 1-1
0 0 1-11 0 10 0 1
z2
2 3
t 3t t
X2
C j j
X1
1 0 2

7 2 3t 3
t
2t
3
X3
X2
c
j j
0 0 0 -1 -1
此时7 2t

0， 2 3t

0，3 t 0 ,从而线性规划问
题的最优解为
(X1 , X2
3当_7
2t ,3 (7 2t ,3 t， 目标函数的最大值为13；
2t
t 10时，，由7 t 并非最优解，利用对

0 可知，(x , x (7
1 2
2
偶单纯形法继续迭代求解，过程如下所示,

迭代 次数
基变量
CB
X1
1 10 10 0
X2
2
X3
X4
0
X5
0
0
b
5
X1
1 0 2
2
X4
0 0 ( -1-1 1
0 10 0 1
2 3
t 3t t
X2

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范文范例
指导参考


c
j
z
0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
-1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 -1 0 -1 -1 0 1 -2
-2 （-
1））X1 X3
1 0 2

7
2t

3



X2
c1 -1 1 0 0 0
7 5 2t 10
t t

j j
z
0 1 1 1
X5 X3
0 0 2

4

X2
j j
cz

-1
此时 7 2t 0 , 为
,10 t 0 ,从而线性规划问题的最优解
（Xi, X2 ） （0,10 t ），目标函数的最大值为 20 2t ；
16.解：先写出原问题的对偶问题
min f 20 y1 约束条件: yi 2 yi 3y2 2 3y1 y2 4 y1
20 y2 (1 ⑵ ⑶
(4 2 1 y2
yi , y2 0 3 -3代入对偶问题的约束条件，得有且只有（2）、（ 4）式等 式成立，也5
将 y1
就是说，其对应的松弛变量取值均为 0，（ 1）和（3）式对应的松弛变量不为 0,从而由互补松弛定理有

X1 X3
0 ;又因为％
0, y2 0，
从而原问题中的两个约束应
该取等式，把

X1 X3 0代入其中, 得到 2X2 4X4 20
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范文范例

指导参考


3X2 6, X4
20 解方程组得到X2
2 。
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e13329d1ff0a79563c1ec5da50e2524de418d00a.html

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