[人教版]2017-2018学年八年级下册：集体备课教案（106页）

教学目标

掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。

经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。

通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。

重点难点

分式的概念

识别分式有无意义；用分式描述数量关系

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课设为以下五个环节：发现新知—再探新知—应用新知—深化拓展—小结巩固，以期在多样的活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。

（一） 发现新知

在这儿我对教材进行了处理，课本引例是 “土地沙化、固沙造林”问题，设问是“这一问题中有哪些等量关系？”我将引课方式改为通过学生自己构造代数式去发现分式，创设了这样的情境：

1.创设情境：

教师给出探究要求：

“代数式”庄园的果树上挂满了“整式”的果子：t，300，s，n，a-x，0，180(n-2)，请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，合成四个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果。其中有新的一类代数式吗？请说一说。

作这样的改动，是基于以下考虑：原有引例不仅要求学生用分式表示数量关系，还需要列出分式方程。针对我校学生的实际情况，我认为在起始课上这样的要求过高，而从学生熟悉的整式及其运算入手，引导学生从旧知中发现新知，与学生的原有认知水平更相吻合，有利于探索活动的展开，培养学生的创新意识。

“好的教师不是在教数学而是激发学生自己去学数学”。用已给的7个整式进行代数式的构造时，学生可以写出多种多样的式子，里面既有单项式，也有多项式，还有分式。通过学生对自己所构造的代数式进行观察，创设发现情境，学会把自己的活动作为思考的对象，更好地进行分式概念的建构活动。

2.探索交流 ：

（1）议一议：你们所发现的这一类新代数式：，，……它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？

（2）类比分数，概括分式的概念及表达形式

被除数÷除数=商数 被除式÷除式=商式

类比

3 ÷ 4 = n ÷ (a-x) =

整数 整数 分数 整式 整式 分式

（3）小组内互举例子，判定是否分式

针对学生的发现，采用“议一议”的方式引导学生观察新式子的特征，类比分数，合理联想，从而获得分式的概念及一般表示形式，可谓水到渠成。通过列举具体例子，互说判别过程，鼓励学生积极参与活动，在活动过程中强化分式概念，并及时纠正学生可能因分数负迁移所造成的认知障碍，注意辨析与的本质区别，强调分式的分母中必须含有字母。

（二）再探新知

如何识别分式有意义，是本节课的难点，也是探究学习的好素材。课本中分式有意义的条件是直接给出的，而我在以往的教学中发现学生往往忽视这个条件或是对分母整体不为零认识模糊，为了更好地突破难点，我创设了以下活动供学生自主探究分式有意义的条件。

1.探究活动

（1）填表：

（2）概括分式在什么条件下有意义，对一般表达式里的分母B作出取值限定：B

不能等于零

首先是组织学生独立填写表格。表格的设计，旨在通过求分式的值，将“代数化”了的分式还原为学生熟悉的分数，通过填表，不同层次学生的发现将会有差异，此时正是倾听与交流的好时机，通过互相说服和推广，他们最终会达成共识：分式的值与字母取值有关，分式并不都有意义。继而引导学生通过再次类比分数，将陌生问题向熟悉问题转化，自主得出“分式有意义”的条件，同时渗透从特殊到一般的数学思想。

2.例题与练习

例1.（1）当a=1，2时，分别求分式的值

（2）a取何值时，分式 有意义？

你知道吗：当x取什么值时，下列分式有意义？

（1） (2) （3）

例1由学生在自主完成的基础上同桌交流，然后师生评述，使全体学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标，获得成功感。“你知道吗”采用组内合作然后组间抢答的形式开展活动，激发兴趣。除课本随堂练习以外，我补充了第（3）问，加深学生对新知识的理解，强调分数线的括号作用，强化分母的整体意识，从而进一步改善学生原有的认知结构。

（三）应用新知

学生的个人知识、直接经验、生活世界是重要的课程资源。为了引导学生从自己熟悉的生活背景中发现、掌握和运用数学，在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，我在此安排了三个问题，让学生通过运用分式表示数量关系，进一步熟悉数学的抽象概括过程，体会分式可以为解决实际问题服务。.

例2.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2004公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务。如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要（ ）个月，实际完成一期工程用了（ ）个月。

练习：

1.（补充练习）浙江省衢州市常山“天子”牌胡柚为了能提前采收，抢占市场，需要给胡柚套袋以更好地吸收光能。已知一个果农一天能完成1200只胡柚的套袋工作，现在n个果农完成m个胡柚的套袋工作需要（ ）天。

2.（书P60随堂练习2）把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料？

（四）深化拓展

把下列各式写成分式，并试着赋予它实际意义

1.1÷a

2.(v1t1+v2t2)÷(t1+t2)

能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义是新课标中的明确要求。“赋予实际意义”对学生是个挑战，可以激发他们的思维和兴趣，活动过程中教师不仅注重学生是否给出了解释，更应关注学生是否进行了思考。提供的两个分式是初中阶段常用的模型。第一个可以与倒数、工作效率、等分相联系，学生比较熟悉，应该可以通过独立思考得出；第二个分式可以联想到平均速度、平均售价、加权平均数的求法等问题，但学生相对陌生，教师可以鼓励学生相互合作交流，也可以适当提示分析。通过这样的逆向思维，可以更好地发展学生的数感、符号感，培养学生的数学意识、创造能力。

（五）小结巩固

1.小结

（1）谈一谈：你这一节课有什么收获？（知识、方法、情感）

（2）课堂评价（评价表见附表）

“谈一谈”先让每个学生在组内交流，然后派小组代表作答，有助于学生概括能力、表达能力的提高。课堂中通过学生自评、互评，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这不仅有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据。

考虑到学生的个体差异，为更好的促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，在课外作业的布置上我安排如下：

2.课后作业

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思： 留白：（供心得体会与反思）

教学目标

使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．

通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．

渗透类比转化的数学思想方法．

重点难点

使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．

灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

(一)复习提问

1．分式的定义？

2．分数的基本性质？有什么用途？

(二)新课

1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：

2．加深对分式基本性质的理解：

例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？

解：∵c≠0，

学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)

解：∵x≠0，

学生口答．

解：∵z≠0，

例2  填空：

把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．

练习1：

化简下列分式(约分)

（1） （2） （3）

教师给出定义：

把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.

问：分式约分的依据是什么？

分式的基本性质

在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：

小颖：； 小明：

你对他们俩的解法有何看法？说说看！

教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.

彻底约分后的分式叫最简分式.

练习2（通分）：

把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.

（1）与 ； （2）与

解：（1）最简公分母是

(三)课堂小结

1．分式的基本性质．

2．性质中的m可代表任何非零整式．

3．注意挖掘题目中的隐含条件．

4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

教学目标

理解并掌握分式的性质

利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形。

了解分式通分约分的步骤和依据，掌握分式通分约分的方法

1、 使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。

重点难点

分式的基本性质

分子、分母是多项式的分式的约分和通分。

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

一、 创设问题情景，引入新课。

活动1

问题：看如何做不同分母的分数的加法。

这里将异分母化为同分母的依据是什么？

由分数的基本性质可知，如果数c不为0，那么：。

一般地，对于任意一个分数有：，是数。

二、 讲授新课

活动2

1、 思考：类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？

2、 想一想：怎样用分式的基本性质？

教师出示问题，学生分组讨论、归纳。

分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可以推想了出分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

注：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式中的“都”“同一个”“不为0”应特别注意。

分式的基本性质用式子表示为：

是整式。

利用分数的基本性质可以对分数进行等值变形。利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形。

活动3

【例2】填空

（1）

（2）

教师出示例题，学生分析解决问题。

师生共同分析：看分母是如何变化的，是“多”还是“少”？想分子如何变化；看分子如何变化，是“多”还是“少”，想分母如何变化。

活动4

思考：联想分数的通分、约分，由上例你能想出如何对分式进行通分、约分吗？

教师出示问题，学生自主进行分析。

分析：在例题（1）中,我们利用分式的基本性质,使分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值,把和化为相同分母的分式,这样的分式变形叫分式的通分。

在例题（2）中,我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式，不改变分式的值，使化为，这样的分式变形叫做分式的约分。

注意：（1）分式约分约去的是：分子和分母的公因式。

（2）如果分子、分母是单项式，公因式应联系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂；如果分子和分母是多项式，应首先把它们分解因式，然后找它们的公因式，最后约去公有的因式。

（3）分式的约分的最后结果应为最简分式。即：分子分母没有公因式。

（4）通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化为同分母。

（5）确定公分母的方法：系数取每个分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有的因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母，我们把这个公分母叫最简公分母。

活动5

【例3】约分

（1） （2）

【例4】通分

（1） （2）

设计意图：掌握分式的约分和通分，进一步体会类比的思想。

教师提出问题,学生试着完。教师应重点关注:（1）通分约分的依据;（2）约分后的结果;（3）公因式的确定。

例3分析:为了约分要先找出分子分母的公因式。

解:（1）

（2）

例4分析:为通分要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母。

解:略

活动6

思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法根据了什么原理？

教师在学生回答的基础是，强调：分式的约分和通分的依据是分式的基本性质。

活动7

课堂练习：p第10页练习1、2

三、 课时小结

活动8：小结

学生思考。试着独立完成，然后再分组讨论、交流本节所学的内容：

1、 掌握分式的基本性质。

2、 学会分式的约分方法。

课后作业p第8页4、5、6、7、9、11、12。

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

教学目标

使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际题．

经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性

教学过程中渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练

重点难点

掌握分式的乘除运算

分子、分母为多项式的分式乘除法运算．

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

1、情境导入

问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?

长方体容器的高为 ,水高为 .

问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地 b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?

大拖拉机的工作效率是 公顷/天,

小拖拉机的工作效率是 公顷/天,

大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.

观察下列运算：

猜一猜与同伴交流。

2、解读探究

经观察、类比不难发现

由学生自己归纳总结出分式乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

　　用符号语言表达：

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

　用符号语言表达：

例1计算

注意：分式运算的结果通常要化成最简分式或整式

例2计算

小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分

②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．

做一做：

通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d，已知球的体积公式为（其中R为球的半径，）那么

（1） 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？

（2） 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？

（3） 买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思： 留白：（供心得体会与反思）

情感态度与价值观

通过教学使学生掌握类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识

第三步：应用举例

【例1】约分：

（1）（2）（3） （4）

P15例2.

【例2】下列分式、、、中最简分式的个数是 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4

解：选A。

【例3】判断下列约分是否正确？为什么？

（1）=0 （2）=（3）= （4）=

分析：看一看它们的约分是否符合约分的原则。

解：（1）不正确。因为分式的分子与分母相同，约分后其结果应为1。

（2）不正确。因为分式的分子与分母不是乘积形式，不可约分。

（3）正确。因为它遵循了分式约分的原则。

（4）不正确。因为分式的分子与分母经过因式分解后，约分时违反了分式的符号法则。

教学反思：

情感态度与价值观

通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。

教 学 过 程

第一步：引入新课

1． P18问题3与问题4

是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的.这样引出分式的加减法的实际背景

问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.

2． P19[观察]

让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，请学生自己说出分式的加减法法则.

3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？

4．请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？

第二步：讲授新课

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示是：±=。

异分母分式相加减，先通分，变为分母的分式，再加减。

用式子表示为：±=。

（注意：异分母的分式加减法的运算, 关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母）

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

分式通分时，要注意几点：

（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；

（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；

（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；

（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。

（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。

（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。

这样取出的因式的积，就是最简公分母。

异分母的分式加减法的一般步骤：

（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；

（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；

（3）分子去括号，合并同类项；

（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式

第三步；例题讲解

（P20）例6.计算

[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.

（补充）例.计算

（1）

[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.

解： 略

(2)

[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.

解： 略

第四步：随堂练习

计算(1) （2）

（3） （4）

答案：（1） （2） （3） （4）1

第五步：课后练习

计算（1） (2)

(3) (4)

答案；(1) (2) （3）1 （4）

课后反思：

情感态度与价值观

通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题。

教学目标

1．知识与技能

理解负指数幂的性质，正确熟练地运用负指数幂公式进行计算，会用科学记数法表示绝对值较小的数

2．过程与方法

通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题的能力和计算能力．

3．情感、态度与价值观

在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观．

重点难点

重点：理解和应用负整数指数幂的性质，用科学记数法表示绝对值较小的数．

难点：负整数指数幂公式中字母的取值范围，用科学记数法表示绝对值较小的数时，a×10形式中n的取值与小数中零的关系．

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

（一）创设情境，导入新课

提问 （投影显示）（1）同底数幂除法公式am÷an=am-n中m、n有什么条件限制吗？

（2）若a0=1，则a ≠0 ．

（3）计算52÷55= 5-3 ，103÷107= 10-4 ．

（二）合作交流，解读探究

做一做 你发现了什么？

一方面：（1）52÷55=52-5=5-3

（2）103÷107=103-7=10-4

另一方面：（1）52÷55===

（2）103÷107===

则5-3= 10-4=

归纳 请总结一般规律．

一般地，规定：a-n=（a≠0，n是正整数），即任何不等于零的数的-n（n为任何正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数．

议一议 为什么公式中规定a≠0？

试一试 求下列各式值．

（1）5-3= （2）2-2=

（3）a-1= （a≠0） （4）（2x）-2=

（三）应用迁移，巩固提高

例1计算：（1）3-3； （2）（）-2； （3）（）0×10-1．

解：（1）3-3==； （2）（）-2==4；

（3）（）0×10-1=1×=．

例2计算：（1）（-2）-2； （2）（-2）-3； （3）（-a）-2； （4）（-a）-5．

解：（1）（-2）-2==； （2）（-2）-3===-；

（3）（-a）-2==； （4）（-a）-5==-．

想一想 例2的解题过程中你发现什么规律？

议一议 我们引进了零指数和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数，那么以前所学的幂的性质是否成立呢？

例3判断下列式是否成立

（1）a2·a-3=a2+（-3） （ ） （2）（a·b）-3=a-3b-3 （ ）

（3）（a-3）2=a（-3×2） （ ）

解：（1）、（2）、（3）都成立．

例4计算：（1）（-）-3+（）-2×3.140-（-3）3×0.3+（-0.1）-2；

（2）（3m-1n2）-2（m2n-3）-3；

（3）（-8×10-6）2÷（2×10-3）2．

解：（1）原式=-1 000+900×1-（-27）×+100

=-1 000+900+90+100

=90．

（2）原式=（3-2m2n-4）（m-6n9）

=3-2m-4n5=．

（3）原式=（64×10-12）÷（4×10-6）

=16×10-6

=1.6×10-5．

备选例题

例：已知实数x满足x2++x+=0，那么x+的值是（ ）

A．1或-2 B．-1或2 C．1 D．-2

【答案】 D

（四）总结反思，拓展升华

综合运用幂的运算法则进行计算，先做乘方，再做乘除，最后做加减，若遇括号，应做括号内的运算；对于底数是分数的负整数指数幂，可先颠倒分数的分子和分母的位置，便可把负整数指数化为已知整数指数：如：（）-2=303，0.3-1=（）-1=．

（五）课堂跟踪反馈

一、夯实基础

1．（-3）0= 1 5-2= ．

2．若（5x-10）0=1，则成立条件为 x≠2 ．

3．若式子+（x-1）0-（x-1）-2有意义，则x的取值范围 x≠2且≠1 ．

4．（）-1= 3 （-）-3 = -125 ．

5．下列运算中，错误的是 （B）

A．（）-3=（a-1）-3==a3

B．xn÷xn-1=x-1=（x≠0）

C．（a2b-1）3·（a-3b）2=（a6b-3）·（a-6b2）=

D．（）-2·（m·n-3）·（）2=

6．31-n·（-）3·32-n计算结果是 （A）

A．-（）2n B．-32n C． D．-1

7．计算（3×4-24×0.5）0是 （D）

A．0 B．1 C．24 D．无意义

二、提升能力

8．已知5x-3y+2=0，求105x÷103y的值

【答案】 0.01

9．3m=，（）n=4，求（1+x2）m+n÷（1+x2）3n的值

【答案】 1

10．已知x+x-1=2，求（1）x2+x-2； （2）．

【答案】 （1）2， （2）

三、开放探究

11．已知3m=5，3-n=4，求32m+n-1的值．

【答案】

12．计算下列各式，并把结果化成只含正整数指数幂的形式．

（1）（a+b）-4·（a+b）2÷（a+b）．

【答案】

（2）（4m4n-3）-2÷（-）．

【答案】 -

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

教学目标

1．知识与技能

理解负指数幂的性质，正确熟练地运用负指数幂公式进行计算，会用科学记数法表示绝对值较小的数．

3．情感、态度与价值观

在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观．

2．过程与方法

通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题的能力和计算能力．

3．情感、态度与价值观

在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观．

重点难点

重点：理解和应用负整数指数幂的性质，用科学记数法表示绝对值较小的数．

难点：负整数指数幂公式中字母的取值范围，用科学记数法表示绝对值较小的数时，a×10形式中n的取值与小数中零的关系．

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设

（一）创设情境，导入新课

问题 一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？

做一做 （1）用科学记数法表示745 000= 7.45×105，2 930 000= 2.93×106 ．

（2）绝对值大于10的数用a×10n表示时， 1 ≤│a│< 10 ，n为 整数 ．

（3）零指数与负整数指数幂公式是 a0=（a≠0），a-n=（a≠0）．

（二）合作交流，解读探究

明确 （1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a×10n的形式，其中1≤│a│<10，n为正整数．

（2）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，将它们表示成a×10-n形式，其中1≤│a│<10．

（3）我们知道1纳米=米，由=10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9米．

而35×10-9=（3.5×10）×10-9

=3.5×101+(-9)

=3.5×10-8，

所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米．

试一试 把下列各数用科学记数法表示

（1）100 000=1×105 （2）0.000 01=1×10-5

（3）-112 000=-1.12×105 （4）-0.000 001 12=-1.12×10-6

议一议 （1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a×10n形式时，1≤│a│<10，n的取值与整数位数有什么关系？

（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点呢？

明确 绝对值较小的数的科学记数法表示形式a×10-n中，n是正整数，a的取值一样为1≤│a│<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数．比如：0.000 05=5×10-5（前面5个0）；0.000 007 2=7.2×10-6（前面6个0）．

（三）应用迁移，巩固提高

例1 用科学记数法表示下列各数

（1）0.001=1×10-3． （2）-0.000 001=-1×10-6．

（3）0.001 357=1.357×10-3．

（4）-0.000 034=-3.4×10-5．

例2用科学记数法填空

（1）1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒=1×10-6秒；

（2）1毫克=1×10-6千克；

（3）1微米=1×10-6米；

（4）1纳米=1×10-3微米；

（5）1平方厘米=1×10-4平方米；

（6）1毫升=1×10-6立方米．

例3用科学记数法表示下列结果：

（1）地球上陆地的面积为149 000 000km2，用科学记数法表示为________；

（2）一本200页的书的厚度约为1.8cm，用科学记数法表示每一页纸的厚度约等于_______cm．

解：（1）149 000 000=1.49×108

即地球上陆地的面积约为1.49×108km2．

（2）因为1.8÷200=0.009=9×10-3．

所以每一页纸的厚度约为9×10-3cm．

例4计算：（结果仍用科学记数法表示）

（1）（3×10-5）×（5×10-3）

（2）（3×10-15）÷（5×10-4）

（3）（1.5×10-16）×（-1.2×10-3）

（4）（-1.8×10-10）÷（9×108）

解：（1）原式=（3×5）×（10-5×10-3）=15×10-8=1.5×10-7

（2）原式=（3÷5）×（10-15÷10-4）=0.6×10-11=6×10-12

（3）原式=-（1.5×1.2）×（10-16×10-3）=-1.8×10-19

（4）原式=（-1.8÷9）×（10-10÷108）=0.2×10-18=2×10-19

（四）总结反思，拓展升华

引入零指数幂和负整数指数幂后，幂的范围从正整数指数幂推广到整数指数幂，幂的运算法则同样适用于科学记数法有关计算，最后结果一般用科学记数法表示．

（五）课堂跟踪反馈

一、夯实基础

1．下列用科学记数法表示的算式：①2 364.5=2.364 5×103；②5.792=5.792×101；③0.001 001=1.001×10-2；④-0.000 083=-8.3×10-7，其中不正确的是 （D）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一，则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是 （D）

A．6万纳米 B．6×104纳米 C．3×10-6米 D．3×10-5米

3．氢原子的直径约为0.1纳米（1纳米=10-9米），如果把氢原子首尾连接起来，达到1毫米需要氢原子的个数是 （C）

A．100 000 B．1 000 000 C．10 000 000 D．100 000 000

4．某种原子的半径为0.000 000 000 2米，用科学记数法可表示 （B）

A．0.2×10-10米 B．2×10-10米 C．2×10-11米 D．0.2×10-11米

5．用科学记数法表示0.000 314，应为 （D）

A．314×10-7 B．31.4×10-6 C．3.14×10-5 D．3.14×10-4

6．一种细菌的半径是4×10-5米，用小数表示为 0.000 04 米．

7．一本100页的书大约厚0.6cm，那么一页纸大约厚 6×10-5 米．

8．银原子的直径为0.000 3微米，用科学记数法可表示为 3×10-4 微米．

9．一个小立方块的边长为0.01米，则它的体积是 10-6 立方米．（用科学记数法表示）

10．1米=109纳米，那么1纳米= 10-9 米，生物学家发现一种病毒的长度为0.000036毫米，用科学记数法表示该数为 3.6×10-5 毫米．

二、提升能力

11．用科学记数法表示下列各数：

（1）0.000 325； （2）-0.000 302；

（3）0.000 000 500 7； （4）-0.000 20．

【答案】 （1）3.25×10-4； （2）-3.02×10-4； （3）5.007×10-7； （4）-2×10-4．

12．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？

（1） 3×10-3； （2）8.32×10-5；

（3）-6.06×10-6； （4）1.001×10-7．

【答案】 （1）0.003 （2）0.000 082 3

（3）-0.000 006 06 （4）0.000 000 100 1．

1

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

情感态度与价值观

通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。

情感态度与价值观

通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生掌握解决问题重要的基本思想：转化的思想，并掌握它的实质。

教 学 过 程

第一步：课堂引入

1．回忆1. 什么叫做一元一次方程?一元一次方程的解法，并且解方程

2．提出本章引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.

总结： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。

第二步：应用举例

总结：

解分式方程的基本思想：

把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解

解分式方程的方法：

在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程

解分式方程的解的两种情况：

1 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根

原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根

产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零

验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根。

解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整

2．解这个整式方程；――解整

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。——验根

第三步：随堂练习

解方程(1) （2）

（3） （4）

答案：（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=

第四步：课后练习

1．解方程 (1) (2)

(3) (4)

2．X为何值时，代数式的值等于2？

答案：1． (1) x=3 (2) x=3 （3）原方程无解 （4）x=1 2. x=

课后反思 ：

17．1．1反比例函数的意义

教

学

目

标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念。

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念以及意义。

培养观察、推理、分析能力，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。

重点

难点

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

理解反比例函数的概念

教学

准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

一、创设情境、导入新课

1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？

问题提出：电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，

（1）你能用含有R的代数式表示I吗？

（2）利用写出的关系式完成下表：

当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？

（3）变量I是R的函数吗？为什么？

学生小组合作讨论。

概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。

学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。

留白：

（供教师个性化设计）

二、联系生活、丰富联想

做一做

1.一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为xcm和ycm。那么变量y是变量x的函数吗？为什么？

学生先独立思考，再进行全班交流。

2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？

学生先独立思考，再同桌交流，而后大组发言。

3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

（1）写出这个反比例函数的表达式；

（2）根据函数表达式完成上表。

学生先独立练习，而后再同桌交流，上讲台演示。

三、举例应用 创新提高：

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数

（1） （2） （3）xy＝21 （4） （5）

（6） （7）y＝x－4

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m取什么值时，函数是反比例函数？

分析：反比例函数（k≠0）的另一种表达式是（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。

解得m＝－2

例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5

求y与x的函数关系式

当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

略解：设y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），则，代入数值求得k1＝2，k2＝2，则，当x＝－2时，y＝－5

四、随堂练习

1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为

2．若函数是反比例函数，则m的取值是

3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为

4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是 ，当x＝－3时，y＝

5．函数中自变量x的取值范围是

五、课后练习

已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值 答案：y＝4

六、课后反思：

17．1．2反比例函数的图象和性质（1）

教学目标

会用描点法画反比例函数的图象

结合图象分析并掌握反比例函数的性质

体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法

重点难点

理解并掌握反比例函数的图象和性质

理解并掌握反比例函数的图象和性质

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

课堂引入

提出问题：

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？

3．反比例函数的图象是什么样呢?

例习题分析

例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件

略解：∵是反比例函数 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵图象在第二、四象限 ∴m－1＜0

解得且m＜1 则

例2．（补充）如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）

（A）S1＞S2 （B）S1＝S2

（C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定

分析：从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，由此可得S1＝S2 ＝ ，故选B

随堂练习

1．已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

2．函数y＝－ax＋a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

七、课后练习

1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

2．反比例函数，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是 ；

当x＞－2时；y的取值范围是

3． 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，

求函数关系式

答案：3．

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

教学目标

1．知识与技能

学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2．过程与方法 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力

3．情感、态度与价值观

体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯

重点难点

用反比例函数解决实际问题．

构建反比例函数的数学模型．

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

（一）创设情境，导入新课

一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／时的平均速度用6小时到达目的地．

（1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

（2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？

（二）合作交流，解读探究

探究 （1）原路返回，说明路程不变，则80×6=480千米，因而速度v和时间t满足：vt=480或v=的反比例函数关系式．

（2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于=120（千米/时）．

归纳 常见的与实际相关的反比例

（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；

（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；

（3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；

（4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；

（5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；

（6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例．

（三）应用迁移，巩固提高

例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．

（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；

（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．

【分析】 把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．

解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，

所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．

（2）当y=1 000时，1000=，解得=0.1m．

例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？

【分析】 当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．

解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m3）．

（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V==8000（m3）；

（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t= =8000（m3）

备选例题

（中考·四川）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

【答案】 （1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15（0≤x≤5），停止加热进行操作时的关系式为y=（x>5）；（2）20分钟．

（四）总结反思，拓展升华

1．学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理．

2．能用函数的观点分析、解决实际问题，让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决．

留白：

（供教师个性化设计）

附：板书设计

教后反思：

教学目标

1．知识与技能

学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2．过程与方法 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力．

3．情感、态度与价值观

体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯

重点难点

重点：用反比例函数解决实际问题．

难点：构建反比例函数的数学模型

教学准备

教师准备

是否需要课件

学生准备

教学过程设计

（一）创设情境，导入新课

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！

（二）合作交流，解读探究

问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m．

（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1. 5m时，撬动石头至少要多大的力？

（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

【分析】 （1）由杠杆定律有FL=1200×0.5，即F=，当L=1.5时，F==400．

（2）由（1）及题意，当F=×400=200时，L==3（m），

∴要加长3-1.5=1.5（m）．

思考 你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？

联想 物理课本上的电学知识告诉我们：用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR= u2 ，也可写为P= ．

（三）应用迁移，巩固提高

例1在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？