2020-2021学年度第一学期九年级数学期末测试卷含答案共三套

2020 - 2021学年第一学期初三年级期末质量抽测

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是

（A）圆柱 （B）圆锥 （C）长方体 （D）三棱柱

2．已知∠A为锐角，且sinA ＝，那么∠A等于

（A）15° （B）30° （C）45° （D）60°

3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（A） （B） （C） （D）

4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD = 34°，那么∠BAD等于

（A）34° （B）46° （C）56° （D）66°

5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为

（A）30° （B）45° （C）90° （D）135°

6．若函数的图象与轴没有交点，则m的取值范围是

（A）m＞1 （B）m＜1 （C）m≤1 （D） m=1

7．二次函数，若点A ，B 是它图象上的两点，则与的大小关系是

（A） （B） （C） （D） 不能确定

8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

科学家推测出h（mm）与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为

（A）-2℃ （B）-1℃ （C）0℃ （D）1℃

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9．已知反比例函数 的图象经过（-1，2），则 的值为 .

10．请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____________.

11．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的

两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为 .

12. 在平面直角坐标系xOy中，若点B (-1,2)与点A 关于原点O中心对称，则点A 的坐标为 .

13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是劣弧CD上一动点，则∠AEB= °.

14．圆心角为60°的扇形的半径为3 cm，则这个扇形的弧长是 cm．

15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 40°，

则∠ACB = °.

（第13题图） （第15题图）

16. 如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，PQ，若∠PBQ = 40°，下列结论：①△ACP ≌ △BCQ；②∠APB = 100°；③∠BPQ = 50°，其中一定成立的是 （填序号）.

三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）

17．计算：2 cos30°－tan60° + sin30° +tan45°.

18. 如图，在中，， ，AC = 2，求AB的长.

19．已知：二次函数的表达式.

（1）用配方法将其化为的形式；（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质.

20．尺规作图：如图，AD为 ⊙O的直径．

（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；

（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长.

小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程.

在⊙O中，连接OF.

∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O

∴

∴∠AOF=60°

∴∠ADF=∠AOF=30°____________________________ (填推理的依据）

∵AD为⊙O直径

∴∠AFD=90°

∵cos30°== ∴DF=____________.

21．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车. 其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥.

下图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米， 又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）.

（已知 ，tan20°≈0.36，结果精确到0.1 ）

22．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD 于点E，BF∥OC,连接BC和CF ，CF交AB于

点G.

（1）求证：∠OCF=∠BCD ；

（2）若CD=4，tan∠OCF=，求⊙O半径的长.

四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数的图象交于点C（-1，m）.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，

连接OP，BP，当 S△ABM ＝ 2 S△OMP 时，请直接写出点P的坐标.

24． 如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC = ∠BAC．

（1）求证：DE是 ⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O直径的长．

25．有这样一个问题：

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD = m，BD = n，

求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．

小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：

解：如图，令AD = 3，BD = 4，

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为 x．

根据切线长定理，得AE = AD = 3，BF = BD = 4，CF = CE = x．

根据勾股定理得，.

整理，得

所以

第（1）问图

请你参考小冬的做法.

解决以下问题：（1）当AD = 5，BD = 7时，求△ABC的面积；

（2）当AD = m，BD = n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）

为___ __．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝mx2－4mx＋4m－2 的顶点为M.

（1）顶点M的坐标为_______ __.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN∥y轴且MN = 2.

点N的坐标为_____________；

过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围.

五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）

27．如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A 作AE⊥BD的延长线于E.

（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；

②连接OE，求证：点E在⊙O上；

（2）①延长线段BD至点F，使EF = AE，连接CF,根据题意补全图形；

②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明.

28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）= 0.

已知A（- 4，0），B（0，4），C（- 2，0），

（1）d（点A，点B）=________，d（点A，线段BC）=________；

（2）⊙O半径为r，

① 当r = 1时，求 ⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）；

② 若d（⊙O，△ABC）=1，则r =___________.

（3）D 为x轴上一点，⊙D的半径为1，点B关于x轴的对称点为点B'，⊙D与∠BAB'

的“近距离”d（⊙D，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心D的横坐标 m的取值范围.

2020-2021学年度第一学期初三年级期末质量抽测

数学参考答案及评分标准

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）

17．解：

………………………………………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………………………………………5分

18．解：（1）在Rt△ABC中

∵tanA=,AC=2, ……………………………………………………………………2分

∴BC=1 …………………………………………………………………………………………………3分

∴AB=………………………………………………………………………………5分

19．解：（1）y=x2-2x+12-12-3…………………………………………………………………………………1分

=(x-1)2-4 ………………………………………………………………………………2分

（2）画出图象……………………4分,写出一条性质 ……………………………………5分

20.解：（1）正确画图………………………………………………………………………………………………3分

（2）一条弧所对的圆周角是圆心角的一半 ……………………………………4分

DF= ………………………………………………………………………………………5分

21.解：在中，

∵ ,CD=100,

∴AD== ………………………………………………………2分

在中，

∵ ,CD=100………………………………………………………………………4分

∴BD=

∴AB=57.7+36=93.7米…………………………………………………………………………………5分

22.（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，

∴ …………………………………………………………………………………………………1分

∴∠BCD=∠BFC …………………………………………………………………………………………2分

∵BF∥OC

∴∠OCF=∠BFC ……………………………………………………………………………………………3分

∴∠OCF=∠BCD

（2）解：∵CD=4,CE=CD

∴CE=2 …………………………………………………………………………………………………………4分

∵∠OCF=∠BCD

∴tan∠OCF=tan∠BCD=

∵CE=2

∴BE=1

设OC=OB=x，则OE=x-1

在Rt△OCE中

∵

∴x= 答略……………………………………………………………………………………5分

23.解：（1）将代入直线中，得

∴ ………………………………………………………………………………………1分

∴直线： ……………………………………………………………………………2分

将代入直线中，得

∴ ………………………………………………………………………………………3分

∴C（-1，-6）

将代入

∴k=6

∴反比例函数的解析式为……………………………………………………………………4分

（2）点P的坐标为………………………………………………………………6分

24.证明：（1）连接BD

∵DC⊥BE

∴∠BCD=∠DCE=90°

∴BD是⊙O直径………………………………………………………………………………1分

∴∠DEC+∠CDE=90°

∵∠DEC=∠BAC

∴∠BAC+∠CDE=90°…………………………………………………………………………2分

∵

∴∠BAC=∠BDC………………………………………………………………………………3分

∴∠BDC+∠CDE=90°

∴DE是⊙O切线………………………………………………………………………………4分

解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，

∴BD⊥AC.

∵BD是⊙O直径，

∴AF=CF

∴AB=BC=8………………………………………………………………………………………5分

∵BD⊥DE，DC⊥BE，

∴BD2=BC·BE=80.

∴BD=.……………………………………………………………………………………… 6分

25.解：（1）如图，令AD=5，BD=7，

设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．

根据切线长定理，得AE=AD=5，BF=BD=7，CF=CE=x．…………………… 1分

据勾股定理得，………………………………………3分

整理，得

所以

………………………… 4分

（2）S△ABC= mn ………………………………………………………………………………………………6分

26.解：（1）M（2，-2）……………………………………………………………………………………………2分

（2）①N（2,0）或N（2，-4）……………………………………………………………………4分

②＜m≤1或≤m＜……………………………………………………………6分

27.解：（1）①圆心O的位置在线段AB的中点,正确画出图…………………………………2分

②∵AE⊥BD

∴△AEB为直角三角形

∵点O为线段AB的中点

∴OE=OA=OB=r

∴点E在⊙O上…………………………………………………………………………………3分

（2）①补全图形…………………………………………………………………………………………4分

证明如下：

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠BAC=∠CBA = 45°

∵

∴∠BEC=∠BAC= 45°…………………………………………………………………………5分

∵AE⊥BD

∴∠BEA =90°

∴∠CEA =90°+ 45°= 135°

∵∠CEF=180°－∠CEB = 135°

∴∠CEA =∠CEF

∵AE=EF,∠CEA =∠CEF,CE=CE,

∴△CEA≌△CEF………………………………………………………………………………6分

∴CF=CA

∵在等腰中，

∴……………………………………………………………………………………7分

28.解：（1） ……………………………………………………………………………………………2分

（2）①过程略，答案为 ………………………………………………………………3分

② ………………………………………………………………………………5分

（3）＜m＜………………………………………………………………………………7分

2020～2021学年度第一学期期末质量监控试卷

初 三 数 学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．在Rt△ABC中，，，则的度数是

（A） （B） （C） （D）

2．已知，则的值是

（A） （B） （C） （D）

3．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是

（A）相离             （B）相切                （C）相交                （D）相离或相交

4．已知A，B是反比例函数图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是

（A） （B） （C） （D）

5．如图，在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB于点C，OC=3，⊙O的半径是

（A）5                 （B） 6                 （C）8                      （D）10  

6．若二次函数y=kx2﹣4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是

（A）k≤4             （B）k≥4                 （C）k＞4且k≠0                 （D）k≤4且k≠0

7．如图，已知正方形ABCD的边长为1．将对角线BD绕着点B逆时针旋转，使点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠AD′B的值是

（A）                  （B）

（C）                   （D） 

8．已知抛物线 与x轴交于点A（－1,0），对称轴为x=1，与y轴的交点B在（0,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）；点，在抛物线上，且满足，则；常数项c的取值范围是 ；系数a的取值范围是．

上述结论中，所有正确结论的序号是

（A）①②③ （B）②③④ （C）①④ （D）①③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．函数的自变量x取值范围是　 　．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinB= ．

11．圆心角为60°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm（结果不取近似值）．

12．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB=30°，则∠D= 度．

13．函数经过一次变换得到，请写出这次变换过程 ．

14．请写出一个过点（－1,1），且函数值y随自变量x的增大而增大的函数表达式  ．

15．如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD=3米，DB=9米，则旗杆AB的高为  米．

16．右图是，二次函数的图象，若关于x的一元二次方程 （t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是　 　．

三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．计算：．

18．已知：直线l和l外一点C．

求作：经过点C且垂直于l的直线．

作法：如图，

（1）在直线l上任取点A；

（2）以点C为圆心，AC为半径作圆，交直线l于点B；

（3）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D；

（4）作直线CD．

所以直线CD就是所求作的垂线．

（1）请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接AC，BC，AD，BD．

∵AC=BC， = ，

∴CD⊥AB（依据： ）．

19．如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．

求的值．

20．二次函数的图象经过点A．

（1）求二次函数的对称轴；

（2）当时，

求此时二次函数的表达式；

把化为的形式，并写出顶点坐标；

画出函数的图象．

21．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，作AC⊥x轴于点C．

（1）求k的值；

（2）直线图象经过点交x轴于点，且OB=2AC．求a的值．

23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B=60°，AB=6，求EF的长．

24．如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB=90°，⊙O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F．

（1）求证：DE=DF；

（2）当BC=3，sinA=时，求AE的长．

25．如图，点P是 所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交AB于点P，作射线AC交于点D．已知AB=6cm，PC=1cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0）

小平根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小平的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；

经测量m的值是 （保留一位小数）．

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当∠PAC=30°，AD的长度约为 cm.

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过（1,0），且与y轴交于点C．

（1）直接写出点C的坐标 ；

（2）求a,b的数量关系；

（3）点D（t，3）是抛物线y=ax2+bx+3上一点（点D不与点C重合）．

①当t=3时，求抛物线的表达式；

②当3<CD<4时，求a的取值范围．

27．如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．

（1）求∠AFB的度数；

（2）求证：BF=EF；

（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

28．顺次连接平面直角坐标系中，任意的三个点P，Q，G．如果∠PQG=90°，那么称∠PQG为“黄金角”．

已知：点A（0,3），B（2,3），C（3,4），D（4,3）．

（1）在A，B，C，D四个点中能够围成“黄金角”的点是 ；

（2）当时，直线 与以OP为直径的圆交于点Q（点Q与点O，P不重合），当∠OQP是“黄金角”时，求k的取值范围；

（3）当时，以OP为直径的圆与△BCD的任一边交于点Q，当∠OQP是“黄金角”时，求t的取值范围．

2020～2021学年度第一学期期末初三数学答案及评分参考

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．x≥3；10．；11．2π；12．30；

13．向左平移3个单位长度得到

（向左平移，或平移3个单位长度，只得1分）；

14．答案不唯一，如：；15．8；

16．（或或，只得1分 ）．

三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．解：= 4

= 5

18．（1）如图 2

（2）完成下面的证明．

证明：连结AC，BC，AD，BD．

∵AC=BC，AD=BD， 3

∴CD⊥AB（依据：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上）． 5

19．解：∵正方形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC． 1

∴∠CAE=∠ACB，∠AEB=∠CBE． 2

∴△AEO∽△CBO． 3

∴． 4

∵点E是AD中点，

∴．

∴． 5

20． 解：（1）； 1

（2）当时，a+2a－3=0．

解得 a=1．

∴二次函数的表达式为； 2

3

∴二次函数的顶点坐标是； 4

如图 5

21．解：由题意可知，∠ACD=45°，∠CBD=30° 1

在Rt△ACD中，

∵∠ACD=45°，

∴∠CAD=∠ACD=45°

∴AD=CD=1200． 2

在Rt△BCD中，∠CBD=30°

∵ tan30°=，

∴BD=1200 ． 3

∴AB=BD﹣AD=1200（﹣1）． 4

答：这条江的宽度AB长1200（﹣1）米． 5

22．解：（1）由题意可知A（2,2），

∴k=4； 1

（2）由题意可知 AC=2，

∴OB=4．

∵点B在x轴上，

∴或． 3

当A（2,2），时，解得； 4

当A（2,2），时，解得． 5

综上所述，．

23．（1）证明：∵∠BAC=90°，点D是BC中点，

∴AD=CD． 1

∵AE∥BC，CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形． 2

∴平行四边形ADCE是菱形． 3

（2）解：∵∠BAC=90°，点D是BC中点，∠B=60°，

∴AD=BD=AB=6． 4

∵菱形ADCE，

∴AD=CD=CE=6．

∵DF⊥CE于点F，∠ECD=∠ADB=60°，

∴．

∴CF=3． 5

∴EF=3． 6

24．解：（1）连接OD，EF交于点G．

∵⊙O与AC相切于点D，

∴OD⊥AC于D．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥BC． 1

∵BE是⊙O的直径，

∴∠EFB=90°．

∴EF∥AC． 2

∴OD⊥EF．

∴DE=DF． 3

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，sinA=

∴AB=5． 4

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r．

在Rt△AOE中，．

∴． 5

∴AE=． 6

25．解：（1）经测量m的值是 5.7 （保留一位小数）． 1

（2）如图 4

（3）结合函数图象，解决问题：当∠PAC=30°，AD的长度约为 5.2 cm. 6

26．解：（1）直接写出点C的坐标 （0,3） ；． 1

（2）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过（1,0），

∴． 2

（3）①当t=3时，D（3,3）．

解得抛物线的表达式为． 3

②∵3<CD<4，

∴或．

当时． 5

当时． 6

27．（1）解：∵AD=CD=DE，

∴∠DAE=∠DEA． 1

∵∠ADE=90°+60°=150°

∴∠DAE=15°． 2

∵∠ADB=45°，

∴∠AFB=60°． 3

（2）证明：连结CF．

由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°． 4

∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，

∴∠BCF=∠ECF=75°．

∵BC=EC，CF=CF，

∴△BCF≌△ECF． 5

∴BF=EF． 6

（3）． 7

28．解：（1）在A，B，C，D四个点中能够围成“黄金角”的点是

B（2,3），C（3,4），D（4,3）； 1

（2）当直线与以OP为直径的圆相切时，存在唯一的点E，此时∠OEP=90°．

取OP中点F，连接AF ，EF．

∵，OA=3，

∴∠OAF=30°．

∴∠OAE=60°．

∴． 2

∴． 3

（3）∵BD∥x轴，且BD上的点到x轴的距离为3，

∴当t=6时，以OP为直径的圆与BD有唯一的交点M，且∠OMP=90°． 4

当以OP为直径的圆经过点C时，∠OCP’=90°，求得此时． 5

∴． 7

2020-2021学年第一学期初三期末试卷

数 学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．如果()，那么下列比例式中正确的是

2．将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为

3．在Rt△ABC中，，若，，则cosA的值为

4．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，

若AB = 6，OC =1，则⊙O的半径为

5．如图，将△的三边扩大一倍得到△（顶

点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似

图形，则点的坐标是

6．在□ABCD中，是上一点，交于点，若，

，则的长为

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数

的图象经过点A，B，对系数和判断正确的是

8．如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E

在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位

长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止

运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG

重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关

系的图象大致是

（A） （B） （C） （D）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．如图，△∽△，分别为

△和△对应边上的高，若

，则 ．

10．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件

“当时，随的增大而增大”，则此函

数的表达式可以为 ．

11．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若E是上一点，

则 °．

12．如图，是△的中位线，若△的面积为1，则四边

形的面积为 ．

13．走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”

的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为

半径画弧，则，，组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．

若，则此“莱洛三角形”的周长为 ．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过

点A，B，AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，连接OA，OB，

则△OAC与△OBD的面积之和为 ．

15．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高cm，深cm，

在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为，斜坡的起点为，若斜

坡的坡度，则的长为 cm．

16．已知二次函数，与的部分对应值如下表所示：

下面有四个论断：

抛物线的顶点为；

；

关于的方程的解为；

．

其中，正确的有 ．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，

第27， 28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：P为⊙O外一点．

求作：经过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①连接OP，作线段OP的垂直平分线

交OP于点A；

②以点A为圆心，OA的长为半径作圆，

交⊙O于B，C两点；

③作直线PB，PC．

所以直线PB，PC就是所求作的切线．

根据小飞设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．

证明：连接,,

∵为⊙的直径，

∴ （ ）．

∴,．

∴,为⊙的切线（ ）．

18．计算：．

19．如图，在Rt△ABC中，，，，过点作∥，且，连接，求的长．

20．如图，△ABC的高AD，BE交于点F．写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的

交点分别为和．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．

22．某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据进行对比．如图，在E处测得无人机C的仰角，在D处测得无人机C的仰角，已知测角仪的高m，E，D两处相距50m，请根据数据计算无人机C的高（结果精确到0.1m，参考数据：，）．

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，与反比例函数图象的一个交点为．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）若点P在轴上，且，

则点P的坐标是 ．

24．小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验，已知矩形的一边长

为（单位：m），面积为（单位：m2）．

（1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

（2）当为何值时，矩形的面积最大？并求出此最大面积．

25．如图，是⊙的直径，为延长线上一点，过点作⊙的切线，为

切点，点是的中点，连接并延长交于点，连接，．

（1）求证：∥；

（2）若，，求⊙的半径．

26．在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线的对

称轴交于点，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的对称轴及a的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线与抛物线围成的封

闭区域（不含边界）为W．

①当时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

27．在Rt△ABC中，，，，过点作直线l∥，将

△ABC绕点C逆时针旋转得到△，直线，分别交直线l于点．

（1）当点，首次重合时，

请在图1中，补全旋转后的图形；

直接写出的度数；

（2）如图2，若，求线段的长；

（3）求线段长度的最小值．

28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点

N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外应点．

（1）当⊙O的半径为1时，

① 在点，，中，⊙O

的外应点是 ；

② 若点为⊙O的外应点，且线段MO交⊙O于

点，求m的取值范围；

（2）⊙T的圆心为，半径为1，直线过

点，与x轴交于点B．若线段AB上的所有

点都是⊙T的外应点，直接写出t的取值范围．

2020-2021学年第一学期初三期末