数学知识点山西省阳泉市2016年中考数学一轮复习 专题15 二次函数的图像与性质-总结

二次函数的图象与性质

题组练习一（问题习题化）

1.已知二次函数.

（1）函数图象是_________，它的开口方向是________.

（2）函数的对称轴是_________，顶点坐标是________.

（3）函数图形与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是__________.

（4）画出此抛物线的图象.

（5）观察图形回答：

①当x______时，y随x的增大而增大；

②当x_____时，y＞0；当_____时，y＜0；

③当x_____时，函数有最______值为________；

④若自变量x分别取x1.x2.x3，且0＜x1＜1，2＜x2＜＜x3，则对应的函数的值y1，y2，y3的大小关系是__________.

（6）将函数图象向_______平移______个单位，再向____平移______个单位，可得到函数y=x2.

（7）试确定的图象关于y轴对称的抛物线的解析式为_____________________.

（8）若的图象与x.y轴分别交于点A.B.C（A在B的左边），在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于6？

知识梳理

题组练习二（知识网络化）

1.在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（　　）

5.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ．

4. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=___________．

2.如图是二次函数（）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　）

A．①③④

B．②④⑤

C．①②⑤

D．②③⑤

4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：

下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

如图，抛物线y=x2-x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M的坐标为（2，1）．以M为圆心，2为半径作⊙M．则下列说法正确的是 （填序号）．

①tan∠OAC=；

②直线AC是⊙M的切线；

③⊙M过抛物线的顶点；

④点C到⊙M的最远距离为6；

⑤连接MC，MA，则△AOC与△AMC关于直线AC对称．

题组练习三（中考考点链接）

9.如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

答案：

1. （1）抛物线；向上；（2）x=1；（1，-4）；（3）（-1,0），（3,0），（0，-3）；（4）图略；（5）x>1；x<-1或x>3,-1；x=-1,小，-4；y1＜y2＜y3.（6）左，1，上，4；（7）y=x+2x-3；（8）P(0,-3)或（2，-3）或（）或（）；

2.D；3.1;4. a（1+x）2　；5.B;6.C.7.①②③④

9.（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．

∴抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．

把点A（1，0）.点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4

∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．理由如下：

解法一：过点D分别作x轴.y轴的垂线，垂足分别为E，F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=OB2+OC2=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=DF2+CF2=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20

∴BC2+CD2=BD2

∴△BCD为直角三角形．

解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3，

∴OB=OC∴∠OCB=45°.

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴DF=CF.

∴∠DCF=45°.

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°.

∴△BCD为直角三角形．

10. 解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；

把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，

∴此抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．

令y=0得x2+5x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=﹣4，

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴=，即=，

解得：CD=，

∴OD=CD﹣CO=﹣4=，

∴点D的坐标为（0，﹣）．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e0542422b6360b4c2e3f5727a5e9856a5612268e.html