高考数学快速提升成绩题型训练 - 三个二次问题（二次函数、不等式、方程）

高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）

1. 解关于的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2)．

2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．

3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．

5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．

6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.

7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.

8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

10.已知实数t满足关系式(a>0且a≠1)

(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；

(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.

11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证：

(1)pf()<0;

(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；

　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

15. 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.

16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；

（2）如果，，求的取值范围.

17. 设,，,求证：

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.

18. 已知二次函数 的图象如图所示：

（1）试判断 及 的符号；

（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。

19. 为何值时，关于 的方程 的两根：

（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。

22. 若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.

23. 设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|aβ}(0β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.

答案：

1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，

解为a＜x＜1，若a=1时，解为

(2)△=．

①当，△＞0．

方程有二实数根：

∴原不等式的解集为

①当=±4 时，△=0，两根为

若则其根为－1，∴原不等式的解集为．

若则其根为1，∴原不等式的解集为．

②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

2．解：，比较

因为

(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.

(2)当k=1时，x.

(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，

(1)当k=0时，.

(2)当k＞0时，△＜0，x.

(3)当k＜0时，.

故：当时，由B=R，显然有A，

当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.

综上所述，k的取值范围是：

3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，

①若m＝3，原不等式解集为R

②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0

∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.

(２)若m2－2m－3≠0，依题意有

即

∴－＜m＜3

综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.

4..解： 由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，

∴－p=－＋ q=－×

∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0

即－x2＋x＋1＞0

∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式的解集为，得

2和4是方程的两个实数根，且．(如图)

解得

6. 解：∵,

∴,

∴.∴ 当时，

当时，

7. 证明：由题意可知.

,∴,

∴ 当时，.

又,

∴ ,

综上可知，所给问题获证.

8. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴.

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)

9. (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0

Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.

(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=.

|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)

∵的对称轴方程是.

∈(－2,－)时，为减函数

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().

10. .解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta

由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,

∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0),则y=au

①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，

则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值

∴当x=时，umin=,ymin=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

11.解：∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

(2）当m>0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

12.证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①当p＜0时，由(1）知f()＜0

若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;

若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.

②当p＜0时同理可证.

13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500

由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300

∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5

∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，

∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．

　　所以当－1≤x≤1时，

15. 解：由题意.

它的对称轴方程为

由方程的两个根满足, 可得

且,

∴，

即 ， 而

故 .

16. 解：设，则的二根为和.

（1） 由及，可得 ，

即 ，

即

两式相加得，所以，;

（2）由, 可得 .

又，所以同号.

∴，等价于或,

即 或

解之得 或.

17. 证明：（）因为，

所以.

由条件，消去，得

；

由条件，消去，得

，.

故.

（）抛物线的顶点坐标为，

在的两边乘以，得.

又因为

而

所以方程在区间与内分别有一实根。

故方程在内有两个实根.

18. 解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即

（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与 轴交点个数，立即可得： ， 。

（2）由方程 结论

19. 解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为 则

1） ；

（2） ；

（3） ；

4） ；

（5） 。

20. 解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在 轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在 轴上方或下方的充要条件即可。

即由 恒成立 对应抛物线恒在 轴下方

；

由 恒成立 对应抛物线恒在 轴上方

。

因此,当 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。

21. 解析：求 的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即 为方程的两根 ，

，又

22. 解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：

①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，则须

解之：-4由（1）、（2）得：-4≤0.

23. 分析：由题∴cx2+bx+a<0的解集是{x|x<或x>}．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/df7e7b3010661ed9ad51f352.html