初二数学 矩形的判定

八上3.5 矩形的判定

班级 姓名 学号

学习目标

理解并掌握矩形的判定方法。使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

学习难点

矩形的判定及性质的综合应用。

教学过程

一、复习引入

教师讲解：我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形。除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？

教师提问：我们先来回忆一下矩形的定义与性质。学生回答后教师加以总结：有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。矩形除了有平行四边形的所有性质外，还具有如下的性质：①两条对角线相等且互相平分；②四个内角都是直角。

教师讲解：我们借鉴上一节的探究方法。要判定一个四边形是矩形，可以从定义入手，一方面证明它是一个平行四边形；另一方面证明这个四边形有一个角是直角。

我们还可以像上节那样，将矩形性质定理的条件与结论相交换，形成一个逆命题，然后证明这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。

二、探究新知

（一）判定定理1的探究与证明

教师提问：矩形的第1条性质：“矩形的两条对角线相等且互相平分”的逆命题是什么？

学生回答后教师加以总结：上述性质定理的逆命题是：两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

教师讲解并动手作实验：为了验证上述想法，我们可以做以下实验，取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子的四个端点的连线，我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形。若两条绳子相等，重复上面的做法，得到的图形是什么图形呢？

教师做完实验后，测量一下所作的四边形的一个角，看是否是90°，在此基础上要求学生完成下面的作图。

如图20.2－1，你还可以作一个两条对角线相等的平行四边形，然后同样测量所作的四边形的内角的度数，再与其他同学交换一下，看看是否成了一个矩形。

通过实践，我们由此可以得到判定矩形的一种方法：对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

结论的证明很简单。如图20.2－2所示：在平行四边形ABCD中，对角线AC与对角线BD相等， 我们可以证明四边形ABCD是矩形。教师讲解该题的证明过程并板书。（见课本第108页）

教师讲解：这一判定方法在生活中有许多用处，木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时，常用测量对角线的方法来检验产品是否符合要求。

（二）例题讲解

教师提出问题：如图20.2－3，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH。

求证：四边形EFGH是矩形。

教师分析解题思路：∵O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴AO＝BO＝CO＝DO。有了这个结论，要证四边形EFGH是矩形，很自然会想到利用刚讲过的矩形判定定理，即想办法去证明HO＝GO＝FO＝EO。再结合条件AE＝BF＝CG＝DH，问题即可得证。

教师要求学生叙述证明过程，并同步纠正学生叙述的错误，同时板书：（见课本第111页）

（三）判定定理2的探究与证明

教师通过提醒拓展学生的思路：由矩形的另一条性质：“矩形的四个内角都是直角”，它的逆命题是什么？如果我们能证明这个命题是真命题，我们也就得到了矩形的另一个判定定理。实际上，由于四边形的内角和是360°，所以只要有3个角都是直角，则第四个角也一定是直角。这样我们只要去证“三个内角都是直角的四边形是矩形”这个命题是真命题就可以了。

由此得到了判定矩形的又一种方法：有三个内角是直角的四边形是矩形。

教师要求学生自己证明，并向学生提示，可以通过同旁内角互补两直线平行这个定理来证明满足条件的四边形是平行四边形，然后再证矩形。学生证明后教师板书证明过程。

已知：如图20.2－4，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°。求证：四边形ABCD是矩形。

证明：∵∠A＝∠B＝90°，

∴∠A与∠B互补。

∴AD∥BC。

∵∠B＝∠C＝90°，

∴∠C与∠B互补。

∴AB∥DC

∴四边形ABCD是平行四边形。

又∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形。

（四）例题讲解（补充）已知：如图20.2－5，的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。求证：四边形EFGH是矩形。

分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图20.2－6，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BD。

∴∠DAB＋∠ABC＝180°。

又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，

∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°。

∴∠AFB＝90°。

同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°。

∴四边形EFGH是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）

三、随堂练习

课本第110页练习第1、2题。

四、课时总结

对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

五、布置作业

1、课本第110页习题20.2第1、2、3题。

2、选用课时作业优化设计。

【课后作业】

班级 姓名 学号

1、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ）

A、甲量得窗框两组对边分别相等；

B、乙量得窗框对角线相等；

C、丙量得窗框的一组邻边相等；

D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等。

2、如图1所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④，其中正确的结论有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3、在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC＝_________度。

4、矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________。

5、已知：四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＋∠D＝180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。求证：四边形ABCD是矩形。

6、如图2所示，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足。

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）若，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且，求证：△AHG为等腰三角形。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/de78be93f4335a8102d276a20029bd64793e621d.html