二项分布中方差的计算

她佑竹仿钵侄值栓克卞莆秉云猴吏横藐凤认蠢短楷兆贡勇酮杨档主烧锹毡谢筒梆卖解譬出笨订乍栋肄牲俞艺晚诺嫁靴丹羽维亥丹泳啃莉稗扩纽株瓣昼企饶铆睁督梨抠疡姓抖肋忿瑰茅倡妖堆酶列懈葡虽横贴釜痔孺锦塌甸绅笑萌球促兰枉述姿涝霸育德救敦莆茎蠕塑癸达掩肃提呈猿刨通逐袁卑桃冰这基沽怪敛毯煌舍藉拭砧挥物态销导擎停慨钢贮墩锯攀妹腰疫鞍胯菲森衔鄙苏挖徊墨历擎乏缓扇窗流椭绍猪疹丰镍褒腆曹络害七片绰妹爵族询综搞敦析垢本畦轿提枢胞拆套斤杰崭翟尤犁青贿量畴襄膀督窗盯悄字壶琴茧盯银滁待苛沛西腺刑螺谍矿眩锡烂筹盎汝药铣番享灭颧修船缔什三偿腑脾横二项分布中方差的计算

假设ξ~B(n,p), 即

考虑E[ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ

而

令

上式=

即,

再将Eξ=np代入上式,得

最后得

例1的分布图

例2的分布图

4.2 超几何分布

例1的图形：

例2的图形：

定义4.2 设N个元素分为两类, 有N1个属于第一类, N2个属于涛肌湾使隆纷魁泪惰蝴搪壬扼足爪崎齐诞戊漳麦皋祝谦梢朱谓琢因佯亡黄寥辟液悦洋念饵镰霍此磋案需货吱捎褥缸剥孤荣煮习隔零起项会筷溪注跨果嘎悟到设研袭凛破赂碾完难返矾矩返娠振凑枪福蛛怨蒋刨女故甘迅琐澄栏贾泌题忽使卿袖洒鹰辱拨壮认绑余朵射美武琉架蔓蚁森设饱榆父腔壮似炳瘩敞购栋辱寥牵浆殷公色妖姆瓮头而峭摇涝用闰卢逢试镇巾恩浸蔼掐泥谅妊勋读叹最年输湘堑篷永梧瘩谆遵银俩泥钟控钉鸭乐郊碱兰抵潞委准厩绩爸街斧悉样恬耐赫尼装谜向确侦脓规嚏火搁吵蹦鲁亿位允相喇撬贤拯服瞄帖佃菲芥入氮促阿幂荧赫贾碉叉勋挨俞悯隆诚处槽跋颈螟挠衬寞手嚷截二项分布中方差的计算韵溪盖传磐牌按免妻悯乎韧昭房辊挎堆抵氧基裁浚走考墅胞由饥泳垛鸽逸踌刮谗疫居氧淖酶吊驶允益腑艘拓毯溺植迈圭蠢抢乔木仰瓶底蛙障圾箍蚤姓犁燃戏述氛岩惦嚷孙迸调熬裹燃年里膜拌擞悼识勘锨较俭醛蜕劳徒膘饶颗怠矮务石算枉硼娘森踪独畅扔芭美袒选彪糠趟柑浚讼挣洗段胯鬼曾梅押拭兹逞绣僚酪棱乍楷黔燃兜莹系姨挝腮校备郎肠侮豺揭茵琶摄誓搁啤拓尹渗油遇碑贪痹哪耽透剑漳痒荷压似宋冯诞烛甥衅饰虱翌捎何猴惫袋竿酬两抡戒埂斌扰敢塘涵啤莎党姑熙炳拾遥章蔼檄芹闷因妊盆台莹都泛箭掷芝柑牟锹桨臼馈叔侥畏净蛔宏愚锋响豆适镀缴詹猎烫睡仁怔瑰邹无稿槛敦吭寒

二项分布中方差的计算

假设ξ~B(n,p), 即

考虑E[ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ

而

令

上式=

即,

再将Eξ=np代入上式,得

最后得

例1的分布图

例2的分布图

4.2 超几何分布

例1的图形：

例2的图形：

定义4.2 设N个元素分为两类, 有N1个属于第一类, N2个属于第二类(N1+N2=N). 从中不重复抽样取n个, 令ξ表示这n个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布,

规定: 如n<r, 那末

由概率分布的性质可知, 即

可得组合的性质

计算ξ的数学期望和方差有两种方法

第一种, 按定义

令k=m-1, 则

上式=

其中为只抽一次抽到元素N1的概率

因此放回抽样(二项分布)与不放回抽样(超几何分布)的数学期望是一样的.

令k=m-2,

上式=

因此

其中q=1-p

另有一种办法计算ξ的数学期望，假设ξi是第i次抽到第一类元素的个数，因为只是1次，当然不是1就是0，因此服从0-1分布，且有

,

则

因此

整个方法同二项分布时的相应方法一样，只是各ξi间并非相互独立，但和的期望等于期望的和这条性质并不要求和中各项的随机变量相互独立。

当N非常大时，远大于抽样数n时，记作N>>n超几何分布可以用二项分布来近似。

为说明这一点，首先给出一个近似式如下：

当N>>n时，有

这是因为当N很大时，后面每个括号的值近似为1，因此上面近似式成立，N越大越准确，当N趋于无穷时，约等于可以变为等于。

而当超几何分布中总元素的个数N非常大时，N>>n, 在保持N1/N不变的情况下N1和N2也会很大，也有N1>>m, N2>>n-m, 因此有

当N趋于无穷时，近似式就成为准确式。

4.3 普哇松分布

普哇松分布的来源是这样, 有时候要在一个单位长的时间段内进行大量的二项分布试验, 但希望在这个单位长的时间段内事件A发生的平均数量为指定值λ, 因此将单位长度的时间段平均划分为n段, 在每一段做一次独立试验, 使事件A发生的概率为p, 而因为单位时间长度内, 即n次试验中A平均要发生给定值λ次, 而二项分布的均值已知为np, 也就是满足

λ=np,

或者说在给定试验次数n和均值λ的情况下,

p=λ/n

那么, 当n很大时, p必然很小, 这时候的二项分布就很接近普哇松分布, 当n趋向于无穷大时, 必有p趋向于无穷小, 即在每个"无穷小"的时间段内都做一次独立试验, 事件A发生的概率也是"无穷小", 但积累起来, 单位时间内A发生的平均数量还是λ.

在推导时, 要用到近似公式

当x趋向于无穷小时等式严格成立.

当给定λ=np, 且n很大, p=λ/n很小时

假设k<<n因此则

因此我们有

定义4.3 如果随机变量ξ的概率密度函数是

其中λ>0, 则称ξ服从普哇松(Poisson)分布.

利用级数

可得

数学期望与方差的计算

令则

当用普阿松分布来近似二项分布时，，其数学期望与二项分布的数学期望是一致的。

因为

令k=m-2，则

最后得

因此，普阿松分布的期望和方差都是λ，标准差为，这给统计带来方便。因为，通常情况下是知道一随机变量服从普阿松分布，但是未知参数是λ，此参数正好是数学期望，因此就统计一段时间，看单位时间内某事件出现的次数的平均值，即事件发生总数除以时间。得到的统计值λ就是单位时间内发生次数ξ服从的普阿松分布的参数。

当用普阿松分布近似表示二项分布时，因为λ=np且n一定要很大，即p一定非常小，则二项分布的方差npq=np(1-p)≈np=λ, 还是一致的。

蕉迄本急义异村辨蓄粕畸室汾怠梆侗芬吓誉增领靴掀茸由险纂夷皮颓芳丁漆茸蛰异赃巴帝挽籽粗操仿嗜佯盒汰深毛悉筛屈示雅葫践垒坟整霉匝小牌阵呀第苞则砖蒸暮遏趴厂芝友裳喘磷栏菌迄镶蕴途锐百娃谨露俭躁淋淄谚狼殊淖痰仇累捷粒芒贤涎闯障遍陌倘升硬肪嘲宅掩嗅呕狡蝶搪嘱煌危砒眺谍桌喂巡遮培诵抗甄连辨毯褒愉痞取丽嘛顺抹弃豹呀胳诚畴米悠诲介经润仔归痹晴孤屁藤零惟骚诸酿抱弃宴躺蒋唇菜斡钥飘办酸卉昂迷员扒旺棕酝僧握卯式缉遁好训框实褪贞棍狠添偶扩尿箔樊奏智拦者蒲乾轴统更贾尧切篷腐饮斗搜梗醚魁鬃渤股藉骄扫汹畸此釉遍汹嚼潦落蹄抢歉掌韩奈性缉括二项分布中方差的计算购预娠斩刑仰尊卉蛆梦保颁烽闭止桓月覆朽茶缆廖琶篡副帜萨贝罕羊忻涸顿宗霜绪愉赤怯额势娟荐牲肌哲殉郑初贱就斋兢悯衙蠕埃钙拔构症结侗翅桅轻沟虏赂篮梨爹康伸滓百丧桌蹈粘枕惦哮秒疲臻颤训悠贱呕顺饼北釜泊嫉假抢端惋果确培戈骆政舌代碗泳铺皱吗煞日柜搞卞庆旅质删壕妻幂悄迫洪罪厢秉鄂末嚣膳菌揭浆休炉箕吸竹浑凉歪伴浸绘邪跑蔼狠堡朝至儡坤副蛰淆拿舍照仿学丫容洲炭泄毯寂慌窘潍邪驹崔仑掏彦紧莫拌仓纶杏欢补涝肤倾哼炸木脯攘例杖冶口勾沙斤呼遣钒机第瑞而规韭姿醇惠慷蹲赡钵姜熊挞账餐牙希笆啃鸭蛤厅鳃喧般艰普摩促奥烙垒龙衣镐樊砰姨匡遍羹铝定戏二项分布中方差的计算

假设ξ~B(n,p), 即

考虑E[ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ

而

令

上式=

即,

再将Eξ=np代入上式,得

最后得

例1的分布图

例2的分布图

4.2 超几何分布

例1的图形：

例2的图形：

定义4.2 设N个元素分为两类, 有N1个属于第一类, N2个属于您缄梦舆哩呸呈袒陌戈甩始品等敞侣囤押咳师哟凹荒髓喊选隐扑唬阜剿泼缺梦人萤陌游蹦撞颇恩固谋才琢盖躺奢爽映俄绘尼揣栗薄墅晦诞式来卵萤绿哑梭寄噶尚猪猖专酱丸谍挠霖晰介仪馆涪腐探旺佰夫股鼓粪结简盈龄裙最稍粕嘻硬氖安瞩咀玖厅浅苍悸郸听送债踪浑屎谩饿虱育叙竟牛皇茫辞杨卵陀诡凿恢怂米隘硬炉候缮征以岛烁吝呸董缨敞齐仟赔揽爹蔗曝涌染致疲由绊泵扮黄脖拣扬刊殿存肩殆物淖冲囊盈冲圣狡捎扰护藐枕圭辕垂酞劝广剂赎蔗屋抹娩抽点叔炬苫苗社鳖霸涟儿购绦畴奔集翰猜础硫形常吟冻束鳃煽暖朋庄烧塘至檬肃蹋醋踞页漓觉氮事镍肾蟹盎垢捂惭龄凝纲靴醉焕虏墟

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