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S4 S5的子群

发布时间：2013-06-25   来源：文档文库   
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S4及其子群
S4的元
已知|S4|=24及S4的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd）， 其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）； 2阶元：形式为(ab或（ab）（cd）,共有C42+1( C42•C22=9个，即：
2(12,(34,(13,(24，（14），(23, (12(34,(13(24,(14(23； 3阶元：形式为（abc）,共有C43A22=8个，即 ： (123,(132,(134,(143,(124,(142,(234,(243； 4阶元：形式为（abcd）,共有C44A33= 6，即： (1234,(1243,(1324,(1342,(1423,(1432；
S4的子群
因为|S4|=24，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为|24|=23×3，根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。
1阶子群：N1={（1）}， 为一共轭类。

2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即： N2 =<(12>={（1），（12）}， N3=<(13>={（1），（13）}， N4=<(23>={（1），（23）} ， N5=<(24>={（1），（24）} ， N6=<(14>={（1），（14）} ， N7=<(34>={（1），（34）} ，
N8=<(12(34>={（1），（12）（34）}， N9=<(13(24>={（1），（13）（24）}， N10=<(14(23>={（1），（14）（23）}，

1


其中N2至N7为一共轭类，N8至 N10为一共轭类。

3阶子群：由S4的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元可以组成一个子群，而S4的3阶元有6个，所以S4的3阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N11=<(123>={（1），（123），（132）} ， N12=<(134>={（1），（134），（143）} ， N13=<(124>={（1），（124），（142）} ， N14=<(234>={（1），（234），（243）} ，
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S4的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S4的4阶元有三对互逆的元，故4阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
N15=<(1234>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}， N16=<(1324>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}， N17=<(1243>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即： N18={（1），（12），（34），（12）（34）} ， N19={（1），（13），（24），（13）（24）}, N20={（1），（14），（23），（14）（23）}，
和N21={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}
8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故8阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N22={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），

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（14）（23）}，
N23={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34）， （14）（32）}，
N24={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23）， （13）（24）}，
24阶子群：即N25=S4
以上为S4里必存在的子群，下面讨论S4里可能存在的子群：
6阶子群：因为S4包含着S3，故S4必有同构于S3的一类6阶子群，而同构于S3的S4的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S4的6阶子群有4个，且为一共轭类，即：
N26={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}， N27={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}， N28={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}， N29={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，
 12阶子群：若S4有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、4阶子群和3阶子群，经计算，S4的12阶子群只有一个，即：
N30={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。
 综上，S4共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理6知S4的1阶子群，N21，12阶子群和24阶子群为正规子群。


§3.2 S5的元

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已知|S5|=120及S5的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（abcde），（ab）（cd），（ab）（cde）其中a，b，c，d，e∈{1,2,3,4,5}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）=(e,所以1阶元有1个，即单位元（1）； 2阶元：形式为(ab或（ab）（cd）,共有C52+1( C52C32=25个，即：
2（12），(13,(14，(15，(23，(24，(25，(34，(35，(45,(12(34，(12(35,(12(45,(13(24,(13(25,(13(45(14(23,(14(25(14(35(15(23,(15(24,(15(34,(23(45，(24(35,(25(34； 3 阶元 ：形式为（abc）,共有C53A22=20个，即：
（123， (124，(125，(132， (134，(135，(142，(143，(145， (152， (153， (154，(234，(235，(243，(245， (253，(254，(345，(354； 4阶元：形式为（abcd）,共有C54A33= 30，即：
(1234，(1235，(1243，(1245，(1253，(1254，(1324，(1325，(1342， (1345，(1352，(1354，(1423，(1425，(1432，(1435，(1452，(1453， (1523，(1524，(1532，(1534，(1542，(1543，(2345，(2354，(2435， (2453，(2534，(2543；
5阶元：形式为（abcde）,共有C5A4= 24，即：
(12345，(12354，(12435，(12453，(12534，(12543， (13245，(13254，(13425, (13452 ,(13524，(13542， (14235，(14253， (14325，(14352，(14523，(14532，(15234，(15243，(15324，(15342， (15423，(15432； 6阶元: 形式为（ab）（cde）,共有C52C33A22=20，即：(12(345,(12(354,(13(245,(13(254,(14(235,(14(253, (15(234，(15(243,(23(145，(23(154 , (24(135, (24(153，(25(134,(25(143,(34(125,(34(152,(35(124,(35(142, (45(123，(45(132;

54§3.3 S5的子群

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因为|S5|=120，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20, 24,30,40,60,120，又因为|120|=23×3×5，根据sylow定理，S5必存在2阶、3阶、4阶、5阶和8阶子群，另S5有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。下述S5的各个阶子群的情况： 1阶子群：
S5的一阶子群为平凡子群，只包含单位元（1），即
H1={(1}。

2阶子群：
由S5的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元，由定理2，可知另一个元必为2阶元，因为S5共有25个二阶元，所以S5共有25个2阶子群，其中分为两个共轭类，第一个共轭类为： H1=<(12>={(1，(12}，
H2=<(13>={(1，(13}， H3=<(14>={(1，(14}， H4=<(15>={(1，(15}， H5=<(23>={(1，(23}， H6=<(24>={(1，(24}， H7=<(25>={(1，(25}， H8=<(34>={(1，(34}， H9=<(35>={(1，(35I， H10=<(45>={(1，(45}； 第二个共轭类为：
H11=<(12(34>={(1，(12(34}，
H12=<(12(35>={(1，(12(35}， H13=<(12(45>={(1，(12(45}， H14=<(13(24>={(1，(13(24}， H15=<(13(25>={(1，(13(25}，

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H16=<(13(45>={(1，(13(45}， H17=<(14(23>={(1，(14(23}， H18=<(14(25>={(1，(14(25}， H19=<(14(35>={(1，(14(35}， H20=<(15(23>={(1，(15(23}， H21=<(15(24>={(1，(15(24}， H22=<(15(34>={(1，(15(34}， H23=<(23(45>={(1，(23(45}， H24=<(24(35>={(1，(24(35}， H25=<(25(34>={(1，(25(34}。 3阶子群：
由S4的3阶元生成的循环群，由定理1，3阶子群里元的阶只可能为1阶和3阶，S5里1阶的元为单位元，3阶元有20个，3阶元恰好有10组互为逆元，经计算S5的3阶子群有10个，为一个共轭类，即： H1=<(123>={（1），（123），（132）}， H2=<(124>={（1），（124），（142）}， H3=<(125>={（1），（125），（152）}， H4=<(134>={（1），（134），（143）}， H5=<(135>={（1），（135），（153）}， H6=<(145>={（1），（145），（154）}， H7=<(234>={（1），（234），（243）}， H8=<(235>={（1），（235），（253）}， H9=<(245>={（1），（245），（254）}， H10=<(345>={（1），（345），（354）}。

4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S5的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S5的4阶元有三对互逆的元，故4
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阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
H1=<(1234>={(1，(1234，(13(24，(1432}， H2=<(1243>={(1，(1243，(14(23，(1342}， H3=<(1235>={(1，(1235，(13(25，(1532}， H4=<(1253>={(1，(1253，(15(23，(1352}， H5=<(1245>={(1，(1245，(14(25，(1542}， H6=<(1254>={(1，(1254，(15(24，(1452}， H7=<(1324>={(1，(1324，(12(34，(1423}， H8=<(1325>={(1，(1325，(12(35，(1523}， H9=<(1345>={(1，(1345，(14(35，(1543}， H10=<(1354>={(1，(1354，(15(34，(1453}， H11=<(1435>={(1，(1435，(13(45，(1534}， H12=<(1524>={(1，(1524，(12(45，(1425}， H13=<(2345>={(1，(2345，(24(35，(2543}， H14=<(2354>={(1，(2354，(25(34，(2453}， H15=<(2435>={(1，(2435，(23(45，(2534}。
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群有20个，且为2个共轭类，即：
H16={(1，(12，(34，(12(34}， H17={(1，(12，(35，(12(35}， H18={(1，(12，(45，(12(45}， H19={(1，(13，(24，(13(24}， H20={(1，(13，(25，(13(25}， H21={(1，(13，(45，(13(45}， H22={(1，(14，(23，(14(23}， H23={(1，(14，(25，(14(25}， H24={(1，(14，(35，(14(35}， H25={(1，(15，(23，(15(23}， H26={(1，(15，(24，(15(24}，

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H27={(1，(15，(24，(15(24}， H28={(1，(23，(45，(23(45}， H29={(1，(24，(35，(24(35}， H30={(1，(25，(34，(25(34}， H31={(1，(12(34，(13(24，(14(23}， H32={(1，(12(35，(13(25，(15(23}， H33={(1，(12(45，(14(25，(15(24}， H34={(1，(13(45，(14(35，(15(34}， H35={(1，(23(45，(24(35，(25(34}； 其中H16至H30为一共轭类，H31至H35为另一共轭类。

5阶子群：
由定理1，5阶子群里元的阶只能为1阶和5阶，故S5的5阶子群为由S5的5阶元生成的循坏群，S5里1阶的元为单位元，5阶元有24个，经计算S5的5阶子群有6个，为一个共轭类，即：
H1=<(12345>={(1，(12345,(13524,(14253,(15432}, H2=<(12354>={(1，(12354,(13425,(15243,(14532}, H3=<(12435>={(1，(12435,(14523,(13254,(15342}, H4=<(12453>={(1，(12453,(14325,(15234,(13542}, H5=<(12534>={(1，(12534,(15423,(13245,(14352}, H6=<(12543>={(1，(12543,(15324,(14235,(13452}。

S5的8阶子群：
由定理1，8阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和4阶，仿照S4的8阶子群，经计算，S5有15个8阶子群，一个共轭类，即：
H1={(1,(1234,(13(24,(1432,(13,(12(34,(24, (14(23}, H1={(1,(1324,(12(34,(1423,(12,(13(24,(34, (14(32}, H1={(1,(1243,(14(23,(1342,(14,(12(43,(23, (13(24}, H1={(1,(1235,(13(25,(1532,(13,(12(35,(25, (15(23},
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H1={(1,(1245,(14(25,(1542,(14,(12(45,(25, (15(24}, H1={(1,(1253,(15(23,(1352,(15,(12(53,(23, (13(25}, H1={(1,(1254,(15(24,(1452,(15,(12(54,(24, (14(25}, H1={(1,(1325,(12(35,(1523,(12,(13(25,(35, (15(32}, H1={(1,(1345,(14(35,(1543,(14,(13(45,(35, (15(34}, H1={(1,(1354,(15(34,(1453,(15,(13(54,(34, (14(35}, H1={(1,(1425,(12(45,(1524,(12,(14(25,(45, (15(42}, H1={(1,(1435,(13(45,(1534,(13,(14(35,(45, (15(43}, H1={(1,(2345,(24(35,(1543,(24,(23(45,(35, (25(34}, H1={(1,(2354,(25(34,(2453,(25,(23(45,(34, (24(35}, H1={(1,(2435,(23(45,(2534,(23,(24(35,(45, (25(34}。

S5的120阶子群：
S5的120阶子群即为S5本身。

以上为S5里必存在的子群，下面讨论S5里可能存在的子群： S5的6阶子群：
由定理1，6阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和3阶，同构于S3的为一个共轭类，即：
H1= {(1,(12,(13,(23,（123），（132）}， H2= {(1,(12,(14,(24,（124），（142）}， H3= {(1,(12,(15,(25,（125），（152）}， H4= {(1,(13,(15,(35,（135），（153）}， H5= {(1,(13,(14,(34,（143），（134）}， H6= {(1,(14,(15,(45,（145），（154）}， H7= {(1,(23,(25,(35,（235），（253）}， H8= {(1,(24,(25,(45,（245），（254）}， H9= {(1,(24,(23,(34,（234），（243）}， H10= {(1,(34,(35,(45,（345），（354）}，

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由2阶元，3阶元，和2×3循环置换构成一个共轭类，即： H11={（1），（12）（345），（12）（354），（12），（345），（354）}，
H12={（1），（13）（245），（13）（254），（13），（245），（254）}， H13={（1），（14）（235），（14）（253），（14），（235），（253）}， H14={（1），（15）（234），（15）（243），（15），（234），（243）}， H15={（1），（23）（145），（23）（154），（23），（145），（154）}， H16={（1），（24）（135），（24）（153），（24），（135），（153）}， H17={（1），（25）（134），（25）（143），（25），（134），（143）}， H18={（1），（34）（125），（34）（152），（34），（125），（152）}， H19={（1），（35）（124），（35）（142），（35），（124），（142）}， H20={（1），（45）（123），（45）（132），（45），（123），（132）}。 由3阶元，和2×2循环置换构成一个共轭类，即： H21={(1，(12(34，(345,(354，(12(35，(12(45}， H22={(1，(14(23，(235,(253，(14(25，(14(35}，
H23={(1，(15(23，(234,(243，(15(24，(15(34}， H24={(1，(13(24，(245,(254，(13(25，(13(45}， H25={(1，(12(34，(152,(125，(15(34，(25(34}， H26={(1，(12(45，(123,(132，(13(45，(23(45}， H27={(1，(12(35，(124,(142，(14(35，(24(35}， H28={(1，(13(25，(134,(143，(14(25，(25(34}， H29={(1，(13(24，(135,(153，(15(24，(24(35}， H30={(1，(14(23，(145,(154，(15(23，(23(45}。 所以S5的6阶子群共有30个。

S5的10阶子群：
若S5的10阶子群存在，则由Sylow定理，该10阶子群里必存在5阶子群，且此5阶子群亦为S5的5阶子群，又因为S5的10阶子群里的元的阶只能为1阶、2阶和5阶，所以经计算S5的10阶子群有6个，为一共轭类，即：
H1={(1,(12345,(13524,(14253,(15432,(12(35,(13(45,
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(14(23,(15(24,(25(34}, H2={(1,(12354,(13425,(15243,(14532,(12(34,(13(45, (15(23,(14(25,(24(35}, H3={(1,(12435,(14523,(13254,(15342,(12(45,(14(35, (13(24,(15(23,(25(34}, H4={(1,(12453,(14325,(15234,(13542,(12(34,(14(35, (15(24,(13(25,(23(45}, H5={(1,(12534,(15423,(13245,(14352,(12(45,(15(34, (13(25,(14(23,(24(35}, H6={(1,(12543,(15324,(14235,(13452,(12(35,(15(34, (14(25,(13(24,(23(45}。

S5的12阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S4的12阶子群，经计算S5的12阶子群的一个共轭类：
H1={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243）,（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
H2={(1,(123,(125,(132,(135,(152,(153,(235(253,(12(35, (13(25,(15(23}，
H3={(1,(124,(125,(142,(145,(152,(154,(245,(254,(12(45,(14(25,(15(24}，
H4={(1,(134,(135,(143,(145,(153,(154,(345,(354,(13(45,(14(35,(15(34}，
H5={(1,(234,(235,(243,(245,(253,(254,(345,(354,(23(45,(24(35,(25(34}，
另经计算，由2阶元、3阶元和2×3循环置换也可构成一共轭类子群： H6={(1,(12(345,(12(354,(345,(354,(12(34, (12(35, (12(45,(12,(34,(35,(45}，
H7={(1,(13(245,(13(254,(245,(254,(13(24, (13(25,
11


(13(45,(13,(24,(25,(45}，
H8={(1,(14(235,(14(253,(235,(253,(14(23, (14(25, (14(35,(14,(23,(25,(35}，
H9={(1,(15(234,(15(243,(234,(243,(15(23, (15(24, (15(34,(15,(23,(24,(34}，
H10={(1,(23(145,(23(154,(145,(154,(14(23, (15(23, (23(45,(23,(14,(15,(45}，
H11={(1,(24(135,(24(153,(135,(153,(13(24, (15(24, (24(35,(24,(13,(15,(35}，
H12={(1,(25(134,(25(134,(134,(143,(13(25, (14(25, (25(34,(25,(13,(14,(34}，
H13={(1,(34(125,(34(152,(125,(152,(12(34, (15(34, (25(34,(12,(15,(25,(34}，
H14={(1,(35(124,(35(142,(124,(142,(12(35, (14(35, (24(35,(12,(14,(24,(35}，
H15={(1,(45(123,(45(132,(123,(132,(12(45, (13(45, (23(45,(12,(13,(23,(45}。

S5的15阶子群：
由定理1，15阶子群里元的阶只能为1阶、3阶和5阶，若H为S5的15阶子群，由Sylow定理，H必有3阶和5阶子群，此3阶子群和5阶子群必也是S5的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以5阶子群里的5阶元必会出现2阶元，例如：3阶子群{(1,(123,(132}与5阶子群{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}中，（123）（13524）=（14）（25）为2阶元，此以H中不含有2阶元矛盾，故S5不含有15阶子群。

S5的20阶子群：
由定理1，20阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，经计算，S5含有6个20阶子群，为一共轭类：

12


H1={(1，(12354，(13425，(15243，(14532，(1253，(1324，(1542，(1435，(2345，(15(23，(12(34，(14(25，(13(45，(24(35，(1352，(1423，(1245，(1534，(2543}，
H2={(1，(12435，(14523，(13254，(15342， (1234，(1425，(1352，(1543，(2453，(13(24，(12(45，(15(23，(14(35，(25(34，(1432，(1524，(1253，(1345，(2354}，
H3={(1，(12453，(14325，(15234，(13542， (1254，(1423，(1532，(1345，(2435，(15(24，(12(34，(13(25，(14(35，(23(45，(1452，(1324，(1235，(1543，(2534}，
H4={(1，(12345，(13524，(14253，(15432， (1243，(1325，(1452，(1534，(2354，(14(23，(12(35，(15(24，(13(45，(25(34，(1342，(1523，(1254，(1435，(2453}，
H5={(1，(12543，(15324，(14235，(13452， (1245，(1523，(1432，(1354，(2534，(14(25，(12(35，(13(24，(15(34，(23(45，(1542，(1325，(1234，(1453，(2435}，
H6={(12534，(15423，(13245，(14352，(1，(1235，(1524，(1342，(1453，(2543，(13(25，(12(45，(14(23，(15(34，(24(35，(1532，(1425，(1243，(1354，(2345}。

S5的24阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S4的24阶子群，S5有5个24阶子群，为一个共轭类：
H1={(1，(12，(13，(14，(23，(24，(34，(12(34，(13(24，(14(23，(123，(132，(124，(142，(134，(143，(234，(243，(1234，(1243，(1432，(1423，(1324，(1342}，
H2={(1，(12，(13，(15，(23，(25，(35，(12(35，(13(25，(15(23，(123，(132，(125，(152，(135，(153，(235，(253，(1235，(1253，(1532，(1523，(1325，(1352}，
H3={(1，(12，(14，(15，(24，(25，(45，(12(45，(14(25，
13


(15(24，(124，(142，(125，(152，((145，(154，(245，(254，(1245，(1254，(1542，(1524，(1425，(1452}，
H4={(1，(13，(14，(15，(34，(35，(45，(13(45，(14(35，(15(34，(134，(143，(135，(153，(145，(154，(345，(354，(1345，(1354，(1543，(1534，(1435，(1453}，
H5={(1，(23，(24，(25，(34，(35，(45，(23(45，(24(35，(25(34，(234，(243，(235，(253，(245，(254，(345，(354，(2345，(2354，(2543，(2534，(2435，(2453}。

S5的30阶子群：
由定理1，30阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和5阶，若H为S5的30阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、3阶子群和5阶子群，此2阶子群、3阶子群和5阶子群必也是S5的子群，因为任意2阶子群里的2阶元乘以5阶子群里的5阶元必会出现4阶元，例如：2阶子群{（1），（12）}与5阶子群{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}里，（12）（12345）=（1345）为4阶元，此与H中不含有4阶元矛盾，故S5不含有30阶子群。

S5的40阶子群：
由定理1，40阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，若H为S5的40阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、4阶子群和5阶子群，此2阶子群、4阶子群和5阶子群必也是S5的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以任意5阶子群里的5阶元必会出现3阶元，例如：3阶子群{(1,(123,(132}与5阶子群{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}中，（123）（13524）=（354）为3阶元，此与H中不含有3阶元矛盾，故S5不含有40阶子群。

S5的60阶子群：
由定理1，60阶子群里元的阶为1阶、2阶、3阶、4阶和5阶，经计算，S5含有1个60阶子群，为一共轭类：
H1={（1），（123， (124，(125，(132， (134，(135，(142，(143，
14


(145， (152，(153， (154，(234，(235，(243，(245， (253， (254，(345，(354, (12345，(12354，(12435，(12453，(12534，(12543，(13245，(13254，(13425, (13452 ,(13524，(13542， (14235，(14253，(14325，(14352，(14523，(14532，(15234，(15243，(15324，(15342，(15423，(15432，(12(34，(12(35，(12(45，(13(24，(13(25，(13(45，(14(23, (14(25，(14(35，(15(23, (15(24, (15(34,(23(45，(24(35，(25(34}。

由正规子群的定义及定理6知S5的1阶子群，60阶子群和120阶子群为正规子群。




15




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