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北京市海淀区2018届高三下学期期末考试(二模)数学(理)试卷

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海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理科）2018.5 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,2,4，B1,3,5，则(CUAB A.1B.3,5C.1,6D. 1,3,5,6 （2）已知复数z在复平面上对应的点为(1，1，则 A.z1是实数B.z1是纯虚数C.zi是实数D.zi是纯虚数 （3）已知xy0，则 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>A.1111< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>B.(x(yC.cosxcosyD.ln(x+1ln(y1 22xy（4）若直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，则a的值为 A.1B.1C.2D.2 y2（5）设曲线C是双曲线，则“C< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>的方程为x1”是“C的渐近线方程为42y2x”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 （6）关于函数f(x=sinx-xcosx，下列说法错误的是 A.f(x是奇函数 B.0不是f(x的极值点 C.f(x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>在(< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2,2上有且仅有3个零点 D.f(x的值域是R 1
（7< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'> A.求首项为< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>，公比为< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2的等比数列的前2017项的和 B.求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 C.求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 D.求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 （8）已知集合MxN*1x15，集合A1，A2，A3 满足 ①每个集合都恰有5个元素 ②A1A2A3M 集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i1,2,3，则X1X2+X3的值不可能为 A.37B.39C.48D.57 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）极坐标系中，点(2,到直线cos1的距离为. 22（10）在(x5的二项展开式中，x3的系数为. xb，a2b. （11）已知平面向量a，b的夹角为，且满足a=2，b=1，则a3（12）在ABC中，a:b:c4:5:6，则tanA. x2y2（13）能够使得命题“曲线21(a0上存在四个点P,Q,R,S满足四边形4aPQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为. （14）如图，棱长为2的正方体ABCDA1BC11D1中， M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂 直于CM，则PBC的面积的最小值为. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 2
如图，已知函数f(xAsinx(x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>（A0,0,< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>）在一个周期内的图25像经过B(,0，C(,0，D(,2三点 6312（Ⅰ）写A,,出的值； （Ⅱ）若(52,，且f(1，求cos2的值. 123 （16）（本小题13分） 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下： 第一轮测试成绩 第二轮测试成绩 1号 2号 3号 96 90 89 90 88 90 4号 88 88 5号 92 88 6号 90 87 7号 8号 87 96 90 92 9号 92 89 10号 90 92 （Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率； （Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率； （Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x1，s12，考核成绩22的平均数和方差分别为x2，s2，试比较x1与x2，s12与s2的大小.（只需写出结论） （17）（本小题14分） 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAB12,AB1平面ABC，AC1AC，D,E分别是AC，B1C1的中点 （Ⅰ）证明：ACB1C1； （Ⅱ）证明：DE//平面AA1B1B； 3
（Ⅲ）求DE与平面BB1C1C所成角的正弦值. （18）（本小题14分） x2已知椭圆C< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>：y21，F为右焦点，圆O:x2y21，P为椭圆C上一点，且P位于4第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧. （Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率； （Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值. （19）（本小题13分） 已知函数f(xeaxax3(a0 （Ⅰ）求f(x的极值； 11（Ⅱ）当a< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>0时，设g(x=eaxax23x，求证：曲线yg(x存在两条斜率a2为1且不重合的切线. （20）（本小题13分） 如果数列an满足“对任意正整数i,j,ij，都存在正整数k，使得akaiaj”，则称数列an具有“性质P”.已知数列an是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若a1=2，公差d=3，判断数列an是否具有“性质P”，并说明理由； （Ⅱ）若数列an具有“性质P”，求证：a10且d0； （Ⅲ）若数列an具有“性质P”，且存在正整数k，使得ak2018，这样的数列共有多少个？并说明理由. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准 4
数学（理科） 要求的一项． < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1 B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）1 （10）10 （12） 2 C 3 D 4 B < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>5 A 6 C 2018.5 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目7 C < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>8 A （11）1< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>；23 7 3（13）答案不唯一，a0或a4的任意实数 （14）25 5注：第11题第一空3分，第二空2分。 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分） 解：（Ⅰ）A< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2，2，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2sin(2x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>． 31因为f(1，所以sin(2． 3252,，所以2(,． 因为(123325所以2， 367所以2， 673···················································· 13分 所以cos2cos． ·62·········< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·············< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·············< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>················< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·············< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·· 6分 ．·3 5
16. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91． 其中大于等于90分的有1号、5号、7号、< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为： 60.6， 10从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. ………………………………………….4分 （Ⅱ）设事件A：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分. 由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>人，其中两轮测试成绩均大于等< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>于< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>90分的学生有1号，8号，10号，共3人. C3231. ···············································< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>·< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>········· 9分 所以，P(A2C6155·································································· 13分 （Ⅲ）x1x2，s1s2. ·17.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABC，AC平面ABC， 所以AB1AC． 因为AC1AC，AB1AC1A，AB1，AC1平面AB1C1， 所以AC平面AB1C1． 因为B1C1平面AB1C1， ······································································ 4分 所以ACB1C1． ·（Ⅱ）取A1B1的中点M，连接MA、ME． 因为E、M分别是B1C1、< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>A1B1的中点， 22C 1 E B1 A1 M 1A1C1． 所以ME∥AC11，且ME2在三棱柱ABCA1< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>B1C1中，ADAC11，且AD所以ME∥AD，且ME=AD， 所以四边形ADEM是平行四边形， 所以DE∥AM． 又AM平面AA1B1B，DE平面AA1B1B， ························· 9分 所以DE//平面AA1BB． ·（Ⅲ）在三棱柱ABCA1B1C1中，BC//B1C1， 因为ACB1C1，所以ACBC． 在平面ACB1内，过点C作Cz//AB1， < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1A1C1， 2C B zD A C1EB1A1C 6 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>DyABx
 因为，AB1平面ABC， 所以，Cz平面ABC． 建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则 C(0,0,0,B(2,0,0,B1(0,2,2,C1(2,2,2,D(0,1,0,E(1,2,2. ，，DE(1,1,2CB(2,0,0CB1(0,2,2． 设平面BB1C1C的法向量为n(x,y,z，则 2x0nCB0，即， 2y2z0nCB10得x0，令y1，得z1，故n< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>(0,1,< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1． 设直线< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>DE与平面BB1C1C所成的角为θ， DEn3 则sinθ＝cosDE,n，6|DE< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>||n< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>|所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为 18. （本小题共14分） 3. ····················< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>······ 14分 6x2解：（Ⅰ）在椭圆C：y21中，< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>a2，b1， < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>4< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>所以ca2b< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>23， 故椭圆< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>C的焦距为2c23，离心率ec3························· 5分 ． ·a2y（Ⅱ）法一：设P(< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>x0,y0（x00，y0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>0）， 则x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>x22y01，故y01． 4432x0， < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>4O2020TP22222 所以|TP< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>||OP||OT|x0y01< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>Fx3x0， 213S< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>OTP< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>|OT||TP|x0． 24< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>13< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>又O(0,0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>，F(3,0，故SOFPOFy0y0． 2< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>23x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>0因此S四边形OFPT< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>S< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>OFPSOTP(y0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'> 22所以|TP|23x032x0y0y01x0y0． 242 7 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>
 22x0x022由y0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1，得2y01，即x0y01， < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>4436所以S四边形OFPT， < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1x0y0222x0122················· 14分 当且仅当时等号成立. y0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>，即x0< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>2，y0422 19. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）f'(xaeaxaa(eax1(a0,xR， 令f'(x0，得x0． ①当a0时，f'(x与eax1符号相同， 当x变化时，f'(x，f(x的变化情况如下表： < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>x f'(x f(x (,0 0 0 极小 (0, ↘ ↗ ②当a0时，f'(x与eax1符号相反， 当x变化时，f'(x，f(x的变化情况如下表： < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>x f'(x f(x (,0 0 0 极小 (0, ↘ ↗ ·····< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>···············< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>············· 7分 综上，f(x在x0处取得极小值f(02. · （Ⅱ）g'(x< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>eax< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>ax3f(x(a0,xR， 故g'(x1f(x1． 22注意到f(021，f(e51，f(e11， 2a2a22,0，x2(0,，使得f(x1f(x21． aa 因此，曲线yg(x在点P2(x2,f(x2处的切线斜率均为1. 1(x1,f(x1，P下面，只需证明曲线yg(x在点P2(x2,f(x2处的切线不重合. 1(x1,f(x1，P曲线yg(x在点Pi(xi,f(xi（i1,2）处的切线方程为yg(xi(xxi，即yxg(xixi．假设曲线yg(x在点Pi(xi,f(xi（i1,2）处的切线重合，则所以，x1(g(x2x2g(x1x1． 令G(xg(xx，则G(x1G(x2，且G'(xg'(x1f(x1. 由（Ⅰ）知，当x(x1,x2时，f(x1，故G'(x0． 所以，G(x在区间[x1,x2]上单调递减，于是有G(x1G(x2，矛盾！ ········· 13分 因此，曲线yg(x在点Pi(xi,f(xi(i1,2处的切线不重合． 8 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>
 20. （本小题13分） 解：（Ⅰ）若a12，公差d3，则数列{an}不具有性质P． 理由如下： 由题知an3n1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得aka1a2，则有3k125< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>10，解得k11，矛盾！所以对任意的kN*，aka1a2． ……3分 3（Ⅱ）若数列an具有“性质P”，则 ①假设a10，d0，则对任意的nN*，ana1(n1d0. 设aka1a2，则ak0，矛盾！ ②假设a10，d0，则存在正整数t，使得 a1a2a3at0at1at2 *设a1at1ak1，a1at2ak2，a1at3ak3，…，a1a2t1akt1，kiN，i1,2,,t1，则0ak1ak2ak3akt1，但数列{an}中仅有t项小于等于0，矛盾！ ③假设a10，d0，则存在正整数t，使得 a1a2a3at0at1at2 at1a2t2akt1，at1at3ak2，at1at4ak3，…，kiN*，设at1at2ak1，i1,2,,t1，则0ak1ak2ak3akt1，但数列{an}中仅有t项大于等于0，矛盾！ ··························································· 8分 综上，a10，d0． ·（Ⅲ）设公差为d的等差数列an具有“性质P”，且存在正整数k，使得ak2018． 若d0，则{an}为常数数列，此时an2018恒成立，故对任意的正整数k， ak201820182a1a2， 这与数列an具有“性质P”矛盾，故d0． 设x是数列{an}中的任意一项，则xd，x2d均是数列{an}中的项，设 ak1x(xd，ak2x(x2d 则ak2ak1xd(k2k1d， 因为d0，所以xk2k1Z，即数列{an}的每一项均是整数． 由（Ⅱ）知，a10，d0，故数列{an}的每一项均是自然数，且d是正整数． d是数列中的项，设由题意知，2018d是数列{an}中的项，故2018(2018am2018(2018d，则 amak2018(2018d2018201820172018d(mkd， 即(mk2018d20182017． 因为mk2018Z，dN*，故d是20182017的约数． 所以，d1,2,1009,2017,21009,22017,10092017,210092017． 当d1时，a12018(k10，得k1,2,...,2018,2019，故 a12018,2017,...,2,1,0，共2019种可能； 当d2时，a120182(k10，得k1,2,...,1008,1009,1010，故 9
a12018,2016,2014,...,4,2,0，共1010种可能； 当d1009时，a120181009(k10，得k1,2,3，故 a12018,1009,0，共3种可能； 当d2017时，a120182017(k10，得k1,2，故 a12018,1，共2种可能； 当d21009时，a120182018(k10，得k1,2，故 a12018,0，共2种可能； 当d22017时，a1201822017(k10，得k1，故 a12018，共1种可能； 当d10092017时，a1201810092017(k10，得k1，故 a12018，共1种可能； 当d210092017时，a12018210092017(k10，得k1，故 a12018，共1种可能． 综上，满足题意的数列{an}共有201910103221113039（种）． ······················································· 13分 经检验，这些数列均符合题意． · 10

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