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第2章 2.6 正态分布

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教育精选
2.6正态分布

1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点
2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点

.

教育精选

[基础·初探]
教材整理1正态密度曲线
阅读教材P75～P76第三自然段，完成下列问题．1．正态密度曲线的函数表达式是P(x＝
12πσe－
x－μ2
2σ2
，x∈R，这里有两个
参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
2．正态密度曲线图象具有如下特征：
(1当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
(2正态曲线关于直线x＝μ对称；
(3σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；(4在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
.

教育精选

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”
(1正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．((2服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．((3正态曲线是一条钟形曲线．(
(4离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．(
【解析】(1×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数描述．
【答案】(1×(2√(3√(4×
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．
(填序号
.

教育精选
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③教材整理2正态分布
阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题．
1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2．N(0,1称为标准正态分布．
2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2时，
(1落在区间(μ－σ，μ＋σ上的概率约为68.3%，(2落在区间(μ－2σ，μ＋2σ上的概率约为95.4%，(3落在区间(μ－3σ，μ＋3σ上的概率约为99.7%.
由于落在(μ－3σ，μ＋3σ内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ内的值．
3．中心极限定理
在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．
.

教育精选

关于正态分布N(μ，σ2，下列说法正确的是________．(填序号①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ＝0.9974，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ＝1－0.9974＝0.0026，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ之外是一个小概率事件．【答案】④
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：
.

教育精选

[小组合作型]
正态密度函数与正态密度曲线的特征

(1设两个正态分布N(μ1，σ21(σ1>0
和N(μ2，σ
2
2
(σ2>0的密度函数图象如图2­6­1所示，则有
______________________________________________．
.

教育精选

图2­6­1
①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.
(2设随机变量ξ服从正态分布N(0,1，则下列结论正确的是________．①P(|ξ|＜a＝P(ξ＜a＋P(ξ＞－a(a＞0；②P(|ξ|＜a＝2P(ξ＜a－1(a＞0；③P(|ξ|＜a＝1－2P(ξ＜a(a＞0；④P(|ξ|＜a＝1－P(|ξ|＞a(a＞0．
【精彩点拨】(1根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；(2结合N(0,1的图象特征逐一检验．
【自主解答】(1由两密度曲线的对称轴位置知：μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知：σ1<σ2.
(2因为P(|ξ|＜a＝P(－a＜ξ＜a，所以①不正确；
因为P(|ξ|＜a＝P(－a＜ξ＜a＝P(ξ＜a－P(ξ＜－a＝P(ξ＜a－P(ξ＞a＝P(ξ＜
a－(1－P(ξ＜a＝2P(ξ＜a－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a＋P(|ξ|＞a＝1，所以P(|ξ|＜a＝1－P(|ξ|＞a(a＞0，所以④正确．
【答案】(1①(2②④
.

教育精选

1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．
2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．

[再练一题]
x－μ
1．关于正态曲线P(x＝e－
2σ22πσ
1
命题：
①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；
.
2
，x∈(－∞，＋∞，σ>0有以下

教育精选
④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；
⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号．
【解析】根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．
【答案】①③⑥⑦
利用正态分布的对称性解题

设随机变量X～N(2,9，若P(X
＞c＋1＝P(X＜c－1．
(1求c的值；(2求P(－4＜x＜8．
.

教育精选
【精彩点拨】(1利用对称性求c的值；(2利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．
【自主解答】(1由X～N(2,9可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示，又P(X＞c＋1＝P(X＜c－1，故有2－(c－1＝(c＋1－2，∴c＝2.
(2P(－4＜x＜8＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3＝0.954.


正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
2．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ的值．3．注意概率值的求解转化：
.

教育精选
(1P(X＜a＝1－P(X≥a；(2P(X＜μ－a＝P(X≥μ＋a；
1－Pμ－b＜X＜μ＋b
(3若b＜μ，则P(X＜b＝
2
.

[再练一题]
2．若随机变量X～N(0,1，查标准正态分布表，求：(1P(X≤1.26；(2P(X>1.26；(3P(0.51<X≤1.2；(4P(X≤－2.1．【解】(1P(X≤1.26＝0.8962.(2P(X>1.26＝1－P(X≤1.26＝1－0.8962＝0.1038.
(3P(0.51<X≤1.2＝P(X≤1.2－P(X≤0.51＝0.8849－0.6950＝0.1899.(4P(X≤－2.1＝P(X≥2.1＝1－P(X≤2.1＝1－0.9821＝0.0179.
[探究共研型]
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教育精选
正态分布的实际应用

探究1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】P(3.5<ε≤4.5＝P(μ－σ<ε<μ＋σ＝0.6826，所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683(件一等品．
探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5，即(2.5,5.5之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
.

教育精选
设在一次数学考试中，某班学生
的分数X～N(110,202，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】将P(X≥90转化为P(X－μ≥－σ，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ＋0.6826＝1，进而求出P(X≥90的值，同理可解得
P(X≥130的值．
【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90＝P(X－110≥－20＝P(X－μ≥－σ，∵P(X－μ≤－σ＋P(－σ≤X－μ≤σ＋P(X－μ≥σ＝2P(X－μ≤－σ＋0.6826＝1，∴P(X－μ≤－σ＝0.1587，
∴P(X≥90＝1－P(X－μ≤－σ＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人，即及格人数约为45人．∵P(X≥130＝P(X－110≥20＝P(X－μ≥σ，∴P(X－μ≤－σ＋P(－σ≤X－μ≤σ＋P(X－μ≥σ＝0.6826＋2P(X－μ≥σ＝1，
∴P(X－μ≥σ＝0.1587，即P(X≥130＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人，即130分以上的人数约为9人．
.

教育精选

1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．

[再练一题]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分近似服从正态分布X～N(50,102，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.【导学号：29440061】
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教育精选
【解】∵X～N(50,102，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30<X≤60＝P(30<X≤50＋P(50<X≤6011
＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ＋P(μ－σ<X≤μ＋σ2211
＝×0.9544＋×0.6826＝0.8185.22
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.
[构建·体系]


1．若随机变量ξ～N(0,1，则P(ξ＜0＝________.
1【解析】∵P(ξ＜0＝P(ξ＞0，且P(ξ＞0＋P(ξ＜0＝1，∴P(ξ＜0＝.
21
【答案】
2
2．设正态密度曲线P(x＝________，方差为________．
.
122π
e－
x－18
2
，x∈R，则总体的均值为

教育精选
【解析】结合正态密度曲线的定义可知，总体的均值为1，方差为4.【答案】14
3．若随机变量X～N(μ，σ2，则P(X≤μ＝________.
【解析】由于随机变量X～N(μ，σ2，其正态密度曲线关于直线X＝μ对1
称，故P(X≤μ＝.
2
1
【答案】
2
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2，且P(X<4＝0.84，则P(X≤0＝________.【导学号：29440062】

【解析】由X～N(2，σ2，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则
P(X≤0＝P(X≥4＝1－P(X<4＝1－0.84＝0.16.
【答案】0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N(0,1，如果P(ξ≤1＝0.8413，求P(－1<ξ≤0．【解】如图所示，因为P(ξ≤1＝0.8413，所以P(ξ>1＝1－0.8413＝0.1587，所以P(ξ≤－1＝0.1587，所以P(－1<ξ≤0＝0.5－0.1587＝0.3413.
.

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我还有这些不足：
(1(2我的课下提升方案：
(1(2
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d9661ea7b207e87101f69e3143323968001cf47b.html

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