北师大九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》知识点归纳

第一章复习

一、平行四边形的相关内容

1.平行四边形的定义及性质

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质：（边，角，对角线，对称性）

（1）边的性质：平行四边形的对边相等。

平行四边形的对边平行。

（2）角的性质：平行四边形的对角相等。

（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形。

2.平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（注意：必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）

3.两条平行线间的距离的定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等。

二、菱形的相关知识

1. 菱形的定义及性质

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：（边，角，对角线，对称性）

（1）边的性质：菱形的四条边相等 。

（2）角的性质：菱形的对角相等。

（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是关于对角线的交点成中心对称图形，又以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。

（5）分割特殊性：菱形的两条对角线把他分割为四个全等的直角三角形

2. 菱形的判定

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。

（2）对角线互相垂直（平分）的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

（4）两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形。

3.菱形的面积计算方法：

菱形的面积公式

（1）菱形的面积=底×高

（2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半。

三、矩形的相关知识

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形,也叫长方形

2．归纳总结矩形的性质：

(1)对边平行且相等(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等．；

(4) 对称性:既是关于对角线的交点成中心对称图形,又以对边的中垂线为对称轴的轴对称图形,有两条对称轴

(5)分割特殊性:矩形的两条对角线把它分割为四个面积相等的等腰三角形

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决

5.矩形的判定方法

(1) 有一个角是直角的四边形是矩形

(2) 对角线相等的平行四边形是矩形

(3) 有三个角是直角的四边形是矩形

4.矩形具备下列一般平行四边形所不具备的特征：

1．矩形的四个角都是直角；

2．矩形的对角线互相平分且相等；

3．矩形还是轴对称图形；

4．矩形的对角线把矩形分成了两对全等的直角三角形；

5．矩形的面积等于两邻边的乘积

四、正方形的相关知识

1.正方形的定义及性质

正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

正方形的性质：（边，角，对角线，对称性）

（1）正方形具有矩形和菱形的所有性质

（2）正方形的四条边相等 ，四个角都是直角

（3）对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是关于对角线的交点成中心对称图形，又是轴对称图形。

（5）分割特殊性：正方形的对角线把他分割为四个全等的等腰直角三角形

2. 正方形的判定

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（定义）。

(2) 对角线相等的菱形是正方形。

（3）对角线互相垂直（平分）的矩形是正方形。

（4）有一个角是直角的菱形是正方形。

3.正方形的面积计算方法：

（1）正方形的面积=边长×边长

（2）正方形的面积=两条对角线平方的一半。

4.矩形、菱形、正方形及平行四边形之间的关系

（1）矩形是有一个内角为直角的平行四边形

（2）菱形是有一组邻边相等的平行四边形

（3）正方形是兼具矩形和菱形两者特征的平行四边形，他既是矩形又是菱形

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