新博士教育高二数学摸底试卷
姓名: 得分:
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若
A.
2.已知直线
①若
③若
其中正确的命题有 ( )
A.③④ B.①③ C.②④ D.①②
3.5个人排成一排,若A、B、C三人左右顺序一定(不一定相邻),那么不同排法有( )
A.
4.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( )
A.
5.一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6,若以连续掷两次骰子分别得到的
点数m、n作为P点坐标,则点P落在圆
A.
6.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回摸球. A1表示第一次摸得白球,A2
表示第二次摸得白球,则A1与A2是 ( )
A.互斥事件 B.独立事件 C.对立事件 D.不独立事件
7.从6种小麦品种中选出4种,分别种植在不同土质的4块土地上进行试验,已知1号、2
号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植,则不同的种植方法有 ( )
A.144种 B.180种 C.240种 D.300种
8.在(
A.-28 B.-7 C.7 D.28
9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是
P2,那么其中至少有1人解决这个问题的概率是 ( )
A.P1+P2 B. P1·P2 C.1-P1·P2 D.1-(1- P1) (1- P2)
10.袋中有6个白球,4个红球,球的大小相同,则甲从袋中取1个是白球,放入袋中,乙
再取1个是红球的概率为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题6分,共24分。将正确答案填在题中横线上
11.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二,四位置,那么不同的出场安排共有__________________种(用数字作答).
12.已知斜三棱柱中,侧面的面积为S,侧棱与侧面的距离为d,则斜三棱柱的体积V=______________.
13.已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,那么2F-V= .
14.已知
三、解答题:本大题共6小题,满分76分.
15.(本题满分12分)第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前,巴西队、士
耳其队、中国队等8支球队抽签分组,求中国队与巴西队被分在同一组的概率.
16.(本题满分12分)如图,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,
(3)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为
试确定
与PC的公垂线.
17.(本题满分12分)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5
(相互独立).
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
18.(本小题满分12分)某人有5把钥匙,1把是房门钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,
于是,他逐把不重复地试开,问:
(1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?
(2)三次内打开的概率是多少?
(3)如果5把内有2把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少?
19.(本题满分12分)已知
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)PC和NC的长;
(3)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小
(用反三角函数表示).
高二数学测试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | A | B | C | B | B | D | C | C | D | D |
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.252 12.
三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.(12分) 解一:记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”,则事件A的对立事件;“中国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有种方法,即基本事件总数为,其中中国队与巴西队被分在两个小组有种可能,
根据对立事件的概率加法公式
解二:设巴西队已被分在某组,中国队此时面临7种可能位置,其中与巴西同组的位置有3种,故两队同组的概率为.
答:中国队与巴西队被分在同一组的概率为.
16.(12分) 证明: (1)取PD中点E,连接NE、AE,则四边形MNEA是平行四边形,所以MN//AE,所以MN//平面PAD
(2)连接AC、BD交于O,连接OM、ON,因为ON//PA,所以ON⊥平面ABCD,因为OM⊥AB,由三垂线定理知,MN⊥AB;
(3)∵PA⊥面AC,AD是PD在面AC内的射影,CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.当θ=45°时,AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥面PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面PCD,∵PC
17.(12分) 解:每个人上网的概率为0.5,作为对立事件,每个人不上网的概率也为0.5,
在6个人需上网的条件下,r个人同时上网这个事件(记为Ar)的概率为:
P(Ar)=
第(1)问的解法一 应用上述记号,至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6,因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)
=
解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”,即事件A0+A1+A2,因为A0,A1,A2是彼此互斥的事件,所以至少3人同时上网的概率为
P=1-P(A0+A1+A2)=1-[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1-
第(2)问的解法:记“至少r个人同时上网”为事件Br,则Br的概率P(Br)随r的增加而减少,依题意是求满足P(Br)<0.3的整数r的值,因为P(B6)=P(A6)=
P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)=
P(B4)=P(A4+A5+A6)= P(A4)+P(A5)+P(A6)=
因为至少4人同时上网的概率大于0.3,所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
18.(12分) 解:5把钥匙,逐把试开有
(1)第三次打开房门的结果有
(2)三次内打开房门的结果有3
(3)解法一 因5把内有2把房门钥匙,故三次内打不开的结果有
解法二 三次内打开的结果包括:三次内恰有一次打开的结果有
三次内恰有2次打开的结果有
19.(14分)解:末三项的二项式系数分别为:
即
当n=15时,二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C
∵展开式通项Tr+1= C
解得11≤r≤12, ∴展开式中系数最大的项为T12= C
20.(14分) 解:(1)正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线的长为
在中,由勾股定理得:
解得:
(3)如图2,连接,则就是平面NMP与平面ABC的交线.
作于H,又⊥平面ABC,连结CH
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)
在中,
在中,
故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为
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