复数经典例题

经典例题透析

类型一：复数的有关概念

例1．已知复数，试求实数a分别取什么值时，z分别为：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.

解析：

（1）当z为实数时，

有，

∴当时，z为实数.

（2）当z为虚数时，

有，

∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.

（3）当z为纯虚数时，

有

∴不存在实数a使z为纯虚数.

总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为与.

①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；

②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；

③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.

举一反三：

【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）

A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0

【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.

【变式2】若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）

A.1 B.2 C.1或2 D.-1

【答案】B；∵是纯虚数，∴且，即.

【变式3】如果复数是实数，则实数m=（ ）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】B；

【变式4】求当实数取何值时，复数分别是：

（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.

【答案】

（1）当即或时，复数为实数；

（2）当即且时，复数为虚数；

（3）当即时，复数为纯虚数.

类型二：复数的代数形式的四则运算

例2. 计算：

（1）； (2)

(3); (4)

解析：

(1)∵，∴，，

同理可得：

当时，

当时，，

当时，

当时，，

∴

(2)

(3)

(4)

总结升华：熟练运用常见结论：

1）的“周期性”（）

2）

3）

举一反三：

【变式1】计算：

（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)

（2）

（3）

（4）；

【答案】

（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)

=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)

=(3―7i)―(3+4i)

=(3―3)+(―7―4)i=―11i.

（2）

（3）

（4）

【变式2】复数( )

A.　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　 D.

【答案】A；

【变式3】复数等于( )

A. i B. -i C. D.

【答案】A；，故选A

【变式4】复数等于( )

A.8 B.－8 C.8i D.－8i

【答案】D；.

类型三：复数相等的充要条件

例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.

思路点拨：因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.

解析：∵y是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0），

则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi )i＝（2x－1+b）+3i，

y―i =bi－i=（b－1）i

由(2x―1)+(3―y)i=y―i得（2x―1+b）+3i=（b―1）i，

由复数相等的充要条件得，

∴，.

总结升华：

1. 复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.

2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.

3.注意左式中的3―y并非是(2x―1)+(3―y)i的虚部，同样，在右边的y―i中y也并非是实部.

举一反三：

【变式1】设x、y为实数，且

【答案】由得

即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，

即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，

故

∴

【变式2】若z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=____.

【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1

由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.

【变式3】设复数满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】，故选C.

类型四：共轭复数

例4：求证：复数z为实数的充要条件是

思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念

解析：设（a，b∈R），则

充分性：

必要性：

综上，复数z为实数的充要条件为

举一反三：

【变式1】，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.

【答案】

【变式2】若复数z同时满足，（i为虚数单位），则z=________.

【答案】―1+i

【变式3】已知复数z=1+i，求实数a、b使.

【答案】∵z=1+i，∴，

∵a、b都是实数，∴由得

两式相加，整理得a2+6a+8=0

解得a1=―2，a2=―4，

对应得b1=－1，b2=2.

∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.

类型五：复数的模的概念

例5、已知数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.

法一：设z=a+bi（a，b∈R），则，

代入方程得.

∴，解得

∴z=－15+8i

法二：原式可化为：z=2－|z|+8i，

∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部.

于是，即|z|2=68－4|z|+|z|2，

∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i

得z=－15+8i.

举一反三：

【变式】已知z=1+i，a，b为实数.

（1）若，求；

（2）若，求a，b的值.

【答案】

（1）

∴

（2）∵

∴

∴

类型六：复数的几何意义

例6、已知复数（m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实数m取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.

思路点拨：根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.

解析：

（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，

由

∴当时，点Z在实轴上.

（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0，

故

∴当时，点Z在虚轴上.

3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0

由，解得m＜―1或m＞3

∴当m＜―1或m＞3时，点Z在第一象限.

终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.

举一反三：

【变式1】在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】∵，∴，，故相应的点在第四象限，选D.

【变式2】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.

【答案】∵

∴，解得.

∴的取值范围为.

【变式3】已知是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

【答案】设()，∴，

由题意得，

，

由题意得，

∴

∵，

根据已知条件有，解得，

∴实数的取值范围是.

【变式4】已知复数z对应的点在第一象限的角平分线上，求复数在复平面上对应的点的轨迹方程.

【答案】设z=a+ai（a＞0）

则

令，消a得x2－y2=2（）.

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