2013～2019年高考文科数学试题分类汇编第7章不等式第2节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

题型82 二元一次不等式组表示的平面区域

1. (2014安徽文13)不等式组，表示的平面区域的面积为 .

1. 【试题解析】 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由得.

所以，，.直线与轴的交点的坐标为.因此.故答案为4.

2.(2016浙江文4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ).

A. B. C. D.

2.B 【试题解析】 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，由，得，由，得.由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点和点时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两直线为满足条件的距离最小的一对直线，即.故选B.

题型83 求解目标函数的取值范围(或最值)

1. (2013天津文2)设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为( ).

A. B. C. D.

1.分析 作出可行域，平移直线，得出的最小值.

【试题解析】作出可行域如图所示，平移直线，当直线过可行域内的点时，有最小值，故选A.

2．(2013福建文6)若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为( ).

A． B． C． D．

2.分析 作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解.

【试题解析】 作出可行域如图阴影部分.作直线，并向右上平移，过点时取最小值，过点时取最大值，可求得，所以，.故选B.

3. (2013四川文8)若变量满足约束条件，且的

最大值为，最小值为，则的值是( ).

A. B. C. D.

3．分析 先将不等式转化为，画出不等式组表示的平面区域，并

找出目标函数的最优解，进而求得的值．

【试题解析】因为所以

由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由，得．

由图知目标函数，过点时，，即．

目标函数过点时，，即.

所以，故选C.

4. (2013陕西文7)若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值是( ).

A. B. C. D.

4.【试题解析】 曲线与所围成的封闭区域如图阴影部分所示，

当直线：向左平移时，的值在逐渐变小，当通过点时，．故选A.

5.((2013安徽文12)若非负数变量满足约束条件，则的最大值为 .

5.分析 先画出可行域，再画出目标函数线过原点时的直线，向上平移，

寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.

【试题解析】 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到，非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，作直线并向上平移，数形结合可知，当直线过点，时，取得最大值，最大值为.

6. (2013山东文14)在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示

的区域上一动点，则的最小值时 ．

6.分析 画出不等式组表示的平面区域，数形结合求最值.

【试题解析】如图所示，为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以的最小值.

7.(2013广东文13)已知变量，满足约束条件则的最大值是 ．

7.分析 画出线性的约束条件表示的平面区域，用图解法求最值.

【试题解析】 画出平面区域如图阴影部分所示，由，得，表示直线在轴上的截距，由图知，当直线经过点时，目标函数取得最大值，为.

8.(2014天津文2)设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( ).

A. B. C. D.

9.(2014广东文4)若变量满足约束条件，则的最大值等于( ).

A. B. C. D.

10.(2014湖北文4)若变量满足约束条件则的最大值是( ).

A． B． C． D．

11.(2014新课标Ⅱ文9)设满足约束条件，则的最大值为( )

A. B. C. D.

12.(2014四川文6)执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为( ).

A. B.

C. D.

13.(2014北京文13)若，满足，则的最小为 .

13. 【试题解析】 约束条件，表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线，经平移可得在点处取得最小值，其最小值为1.

14.(2014大纲文15)设x，y满足约束条件，则的最大值为 .

15.(2014辽宁文14)已知，满足约束条件，则目标函数的最大值为 .

16.(2014浙江文12)若实数满足，则的取值范围是___________.

17.(2014湖南文13)若变量满足约束条件，则的最大值为 .

18.(2014陕西文18)(本小题满分12分)

在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域(含边界)上，且.

(1)若，求；

(2)用表示，并求的最大值.

19.(2015全国2文14)若、满足约束条件，则的最大值

为 .

19.【试题解析】 三个顶点为，及，代入得，

当，时，.

20.(2015全国1文15)若满足约束条件，则的最大值

为 ．

20.【试题解析】 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示.

联立，得.

由图可知当直线经过点时，

取得最大值..

21.(2015湖南文4)若变量、满足约束条件 ，则的最小值为( ).

A. B. 0 C. 1 D. 2

21.【试题解析】 由约束条件作出可行域如图所示，

由图可知，当直线过点时，纵截距最大，即此时有最小值.

联立，解得，即，

所以.故选A.

22.(2015广东文4)若变量，满足约束条件，则的最大

值为( ).

A． B． C． D．

22.【试题解析】 画出满足不等式组的可行域，

如图中阴影部分所示.

联立，解得.由图可知当直线经过点时，取得最大值，所以.故选B．

23.(2015安徽文5)已知满足约束条件，则的最大值是( ).

A． B． C． D．1

23.【试题解析】 根据题意作出满足不等式组的可行域，

如图中阴影部分所示.

联立，解得，可得.

目标函数变形为，由图可知，

当直线经过点时，取得最大值..故选A.

24.(2015山东文12)若，满足约束条件则的最大值为 .

24.【试题解析】 画出满足不等式组的可行域，如图中所示的阴影部分.

由，可知，

联立，可得.

由图可知，当直线经过点时，截距最大.此时.故应填.

25.(2015湖北文12)设变量，满足约束条件，则的最大值为 .

25.【试题解析】 首先根据题意所给的约束条件画出其表示

的平面区域如下图所示，然后根据图像可得，

目标函数过点取得最大值，

即.

26.(2015北京文13)如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任

意一点，则的最大值为 .

26.【试题解析】 依题意，在点处取得最大值7.

27.(2015四川文9)设实数满足，则的最大值为( ).

A. B. C. D.

27.【试题解析】 画出满足不等式组的可行域，如图中所示的阴影部分.

易得：.由图可知，若取得最大值，则动点一定在线段

或的第一象限部分.

若点在上，则，

当时有最大值，此时，

即点在上.若点在上，则在是关于的增函数，

当取到最大值.所以当且仅当，时对应点落在线段上，取到最大值.故选A.

28.(2015天津文2)设变量，满足约束条件，则目标函数的

最大值为( ).

A.7 B. 8 C. 9 D.14

28.【试题解析】 变量，满足约束条件所对应的区域如图所示.当目标函数在点处取得最大值.故选C.

29.(2016北京文7)已知，.若点在线段上，则的最大值为( ).

A. B. C. D.

29. C 【试题解析】 解法一：先求得线段的方程是.

因为点在线段上，

所以，

当且仅当时，.故选C.

解法二：依题意求得线段的方程是.在平面直角坐标系中画出线段如图所示，当直线平移通过点时，有最大值，所以.故选C.

评注 本题的解法二是用线性规划知识求解的.

30.(2016上海文7)若满足，则的最大值为 .

30. 【试题解析】 作出满足条件的规划区域，如图所示.设，则当动直线过点时，函数的最大值为.故填.

31.(2016全国甲文14)若满足约束条件则的最小值为_________.

31. 【试题解析】解法一：由题意得可行域如图所示，在处取得最小值.

解法二：由得，点；由得，点；

由得，点.分别将，，代入得：，，，所以的最小值为.

32.(2016全国丙文13)设，满足约束条件，则的最小值为______.

32. 【试题解析】 如图所示，可行域为及其内部，其中，直线过点时取最小值.

33.(2016山东文4)变量满足，则的最大值是( ).

A.4 B.9 C.10 D.12

33.C 【试题解析】 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由是点到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点到原点距离的平方，然后再进行比较.经计算，是最优解，的最大值是.故选C.

34.(2016江苏文12)已知实数满足，则的取值范围是 .

34. 【试题解析】 在平面直角坐标系中作出可行域如图所示.

的含义为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中点距离原点最近，

此时为原点到直线的距离，则；

图中点距离原点最远，点为与交点，即，

则.

35. (2016上海文12)如图所示，已知，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .

35. 【试题解析】 由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.

评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.

36.(2017全国1文7)设，满足约束条件，则的最大值为( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

36.【试题解析】如图所示，目标函数经过时最大，故.故选D.

37.(2017全国2文7)设，满足约束条件，则的最小值是( ).

A． B． C． D．

37.【试题解析】如图所示，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.故选A.

38.(2017全国3文5)设x，y满足约束条件，则的取值范围是( ).

A． B． C． D．

38.【试题解析】根据现行约束条件，画出可行域，如图所示.当目标函数经过点时，；当目标函数经过点时，.故的取值范围是.故选B.

评注 本题属于基本的线性规划类问题，一般会比较简单.

39.(2017北京文4)若，满足，则的最大值为( ).

A.1 B. 3 C.5 D.9

39.【试题解析】令，则，其表示与平行的一组直线，当在经过可行域平移时，截距越大，的值越大，所以当平移到过点时，截距有最大值，即.故选D.

40.(2017北京文11)已知，，且，则的取值范围是__________．

40.【试题解析】 解法一：代入消元转化为二次函数在闭区间上的最值问题. ，所以当或1时，取得最大值1；当时，取得最小值.因此的取值范围为.

解法二：利用数形结合.如图所示，表示线段上的动点到原点的距离，由图易知有，故有.

41.(2017山东文3)已知，满足约束条件，则的最大值是( ).

A. B. C. D.

41.【试题解析】解法一：.故选D.

解法二：由画出可行域及直线如图所示，平移发现，

当其经过直线与的交点时，

最大值为.故选D.

42.(2017浙江4)若，满足约束条件，则的取值范围是( ).

A. B. C. D.

42.【试题解析】如图所示，在点取到的最小值为，没有最大值，

故．故选D．

43.(2018全国1文14)若满足约束条件，则的最大值为________．

43.【试题解析】 作出目标函数的可行域为如图所示及其内部区域，其中，，，当直线过点时，的值最大，即.

2018年

1.(2018全国Ⅰ文14)若满足约束条件，则的最大值为________．

【试题解析】 作出目标函数的可行域为如图所示及其内部区域，其中，，，当直线过点时，的值最大，即.

2.(2018全国Ⅱ文14)若满足约束条件则的最大值为__________．

【试题解析】作出可行域如图所示，要使目标函数取最大值，即的截距最大，当过点时，取得最大值，即.

3.(2018全国Ⅲ文15)若变量满足约束条件则的最大值是________．

【试题解析】作出可行域如如所示，当目标函数，即经过点时，取得最大值.由，得，所以

4.(2018北京文13)若，满足，则的最小值是 .

【试题解析】 不等式可转化为，即，所以满足条件的，在平面直角坐标系中的可行域如下图.

令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.

5.(2018天津文2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( ).

(A)6 (B)19

(C)21 (D)45

【试题解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.故选C.

6.(2018浙江卷12)若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

【试题解析】作出可行域如图所示.当目标函数(即)经过点时，取得最大值；经过点时，取得最小值.由，得；由，得. 故；.

2019年

1.(2019全国文13)若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.

【试题解析】由约束条件作出可行域如图：



化目标函数为，由图可知，当直线过时，

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．

2.(2019北京文10)若x，y满足则的最小值为__________，最大值为__________．

【试题解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示.

令，则，当此直线经过可行域内的点时，取最小值；当此直线经过可行域内的点时，取最大值.

由，得，由，得，所以；.

3.(2019天津文2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

(A)2 (B)3 (C)5 (D)6

【试题解析】由约束条件作出可行域如图：



化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值.

联立，解得. 所以的最大值为．

故选C．

4.(2019浙江3)若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是

A． B．1

C．10 D．12

解析：作出表示的平面区域，如图所示

分别联立其中两个方程，得A(2，2)，B(-1，1)，C(1，-1)，则.故选C.

题型84 求解目标函数中参数的取值范围(或最值)

1.(2014福建文11)已知圆，平面区域，若Ⅱ圆心，且圆与轴相切，则的最大值为( )

A. B. C. D.

2. (2014山东文10)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( ).

A. B. C. D.

3.(2014新课标Ⅰ文11)设满足约束条件，且的最小值为，则( )

A. B. C.或 D.或

题型85 简单线性规划问题的实际运用

1．(2013湖北文9)某旅行社租用、两种型号的客车安排名客人旅行，、

两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要

求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆．则租金最少为( ).

A．元 B．元 C．元 D．元

1.分析 先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决.

【试题解析】 设租用型车辆，型车辆，目标函数为，则约束条件为

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点时，最小值(元).故选C.

2.(2014四川文10)已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， (其中为坐标原点)，则与面积之和的最小值是( ).

A. B. C. D.

3.(2014浙江文10)如图所示，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角).若，则的最大值是( ).

A． B． C． D．

4．(2014湖北文16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度(假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒)、平均车长(单位：米)的值有关，其公式为.

(Ⅰ)如果不限定车型，，则最大车流量为 辆/小时；

(Ⅱ)如果限定车型，， 则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时.

5.(2015重庆文10)若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积

等于，则的值为( ).

A. B. C. D.

5.【试题解析】 因为平面区域为三角形且面积为可知，可得如图所示图形，

又因为直线与垂直，

设直线交点如图为，，，则，，，所以，，所以，

所以．故选B．

6.(2015福建文10)变量满足约束条件，若的最大值为2，

则实数等于( ).

A． B． C． D．

6.【试题解析】 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示.

将目标函数变形为，当取最大值2时，

则直线纵截距最小为.

当时，直线纵截距最小为0，不满足题意；

当时，联立，得．

由图可知，当直线经过点时，取得最大值.

把代入，得，解得.故选C．

7.(2016北京文14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有______种；

(2)这三天售出的商品最少有_______种.

7. 【试题解析】 如图所示，区域分别表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品；区域分别表示只在第一天与第二天、第二天与第三天、第一天与第三天售出的商品；区域表示在三天都售出的商品.

又设区域的商品数量分别为，由题设可得，

①

②

③

④

⑤

第(1)问：由①④，可得，

即第一天售出但第二天未售出的商品有种.

第(2)问：可得这三天售出的商品总数为

由③⑤可得，，所以这三天售出的商品总数.

进而还可得，当且仅当

,或, 时，这三天售出的商品总数取到最小值.

评注 本题第(2)问的背景是容斥原理.

8.(2016天津文16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示.

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(1) 用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

8.分析 (1)根据生产原料不能超过种原料200吨，种原料吨，种原料吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；(2)目标函数为利润根据直线平移及截距变化规律确定最大利润.

【试题解析】 (1)由已知得满足的不等式组为，该二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示.

(2)设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由如图所示的图形可知.当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大.

解方程组，得点的坐标为，所以

所以生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.

题型 平面区域的面积——暂无

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d6a24e7177eeaeaad1f34693daef5ef7bb0d1250.html