广东省广州市第九十七中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

广东省广州市第九十七中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.                      B.                      C.                      D. 

2.若x1 ， x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（   ）

A. 1                                           B. 5                                           C. -5                                           D. 6

3.方程 x(x+2)=0 的根是（     ）

A. x=2                             B. x=0                             C. x1=0, x2=-2                             D. x1=0, x2=2

4.如图，将Rt ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到 A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是(      )

A. 70°                                       B. 65°                                       C. 60°                                       D. 55°

5.如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（     ）

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

6.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（   ）

A. y=3（x+3）2﹣2          B. y=3（x+3）2+2          C. y=3（x﹣3）2﹣2          D. y=3（x﹣3）2+2

7.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）

A. k＞﹣1                           B. k＞﹣1且k≠0                           C. k＜1                           D. k＜1且k≠0

8.一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（   ）

A. 12                                       B. 9                                       C. 13                                       D. 12或9

9.直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（    ）.

A. 0个                                    B. 1个                                    C. 2个                                    D. 1个或2个

10.如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中①ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大，正确的是(   )

A. ①③                                  B. ②④                                  C. ①②④                                  D. ②③④

二、填空题（共6题；共7分）

11.方程（k＋2）x2-2x+k=0有一个根为-1，则k= ________．

12.点 关于原点的对称点的坐标为________.

13.已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），其图象是由抛物线y=-8x2＋1平移得到的，则该抛物线的解析式为________．

14.已知抛物线解析式为y=x2-2x-3（2≤x≤5），则函数的最小值为________．

15.已知x1 ， x2是关于x的方程x2＋x-k=0的两个实数根，则x1x2的最大值为________．

16.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD的面积为________

三、解答题（共8题；共72分）

17.      

（1）x2-2x-3=0

（2）x2-2x-1=0．

18.己知，如图，点P是等边△ABC 内一点，∠APB=112°，如果把△APB绕点A旋转，使点B与点C重合，此时点P落在点 处，求 的度数．

19.已知ΔABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）分别写出图中点A和点C的坐标；

（2）画出ΔABC绕点C按顺时针方向旋转；90°后的 ．

20.如图，已知抛物线y=x2＋2x-3，与x轴的两个交点分别是A，B（A在B的左侧）．

（1）求A，B的坐标；

（2）利用函数图象，求当y<5时x的取值范围．

21.已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．

22.如图所示，已知BC是☉O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦 BF交于点E，AD=8、BH=2．

（1）求圆O的半径．

（2）若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH．

23.如图，AB为☉O直径，半径为2，点D为弧 的中点，点C在☉O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．

（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；

（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）

（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．

24.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，且 ，抛物线 图象经过 三点.

（1）求 两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大时，求此时点 的坐标及 的最大值.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C

2.【答案】 B

3.【答案】 C

4.【答案】 B

5.【答案】 B

6.【答案】 D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】 D

10.【答案】 D

二、填空题

11.【答案】 -2

12.【答案】 （-3，-4）

13.【答案】

14.【答案】 -3

15.【答案】

16.【答案】

三、解答题

17.【答案】 （1）x2-2x-3=0；

∴（x-3）（x＋1）=0．

∴x-3=0或x＋1=0，

∴x1=3，x2=-1

（2）x2-2x-1=0

a=1，b=-2，c=-1，

∵△=4＋4=8，

∴

∴

18.【答案】 解∶∵△APB≌AP'C，

∴∠AP'C=∠APB=112°，

且AP'=AP，∠BAP=∠CAP'，

又∵∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠CAP'+∠PAC=60°，

即∠PAP'=60°，

∴△PAP'是等边三角形，

∴∠PP'C=∠AP'C-∠AP'P=112°-60°=52°．

19.【答案】 （1）由图可得，A（0，4）、C（3，1）；

（2）如图，△A'B'C'即为所求．

20.【答案】 （1）当x²＋2x-3=0时，计算得出x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0)；

（2）当y=5时，x²＋2x-3=5，整理得x²＋2x-8=0，计算得出x1=-4，x2=2，

由函数图象可得，当-4时，y<5．

21.【答案】 （1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．

因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，

所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．

所以方程有两个不相等的实数根．

所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．

因为该函数的图像都会经过一个定点，

所以x－2＝0，解得x＝2．

当x＝2时，y＝－1．

所以该函数图像始终过定点（2，－1）．

22.【答案】 （1）解：连结OA交BF于G，如图，☉O的半径为r，

∵AD⊥OB∴AH=DH=4，

在Rt△OHA中，OH=r-2，OA=r，

由勾股定理得r²=42＋（r-2）2

解得r=5，

即☉O的半径为5；

（2）证明∶连结CF，如图，

∵AD⊥OB，

∴ ，

∵∠EAB=∠EBA，

∴ ，

∴ ，

∴OA⊥BG，

∴BF=2BG，

∴∠OAH=∠OBG，

在△OAH和△OBG中，

∴△OAH≌△OBG(AAS)，

∴AH=BG，

∴BF=2AH．

23.【答案】 （1）证明：∵点D为弧AB的重点，

∴ ；

 ∴∠ACD=∠BCD，

∴CD是∠ACB的角平分线．

（2）CD最长是直径，此时CD=4

最短是C在A或者B，此时CD=

又∵点C不与点A，点B重合

∴ ；

（3）是的

如图，作DE⊥CB于E点，作DF⊥AC的延长线于F点，

∴∠DEB=∠DFC=90°

又∵CD是∠ACB的角平分线．

∴DF=DE

∵ADBC是圆内接四边形，

∴∠FAD=∠DBE

∴△AFB≌△BED(AAS)； 

∴AF=BE  

∴AC+BC=CF+CE=2CF

又∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=45°

∴CF=CE=DF=DE  

∴AC+BC=2DF

∴四边形ADBC的面积S=

∵开口向上，对称轴为y轴，

∴当 时y随x的增大而增大

∴当x=4的时，S有最大值=8．

24.【答案】 （1）解：OA＝OC＝4OB＝4，

故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）

（2）解：抛物线的表达式为： ，

即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：

（3）解：直线CA过点C，设其函数表达式为： ，

将点A坐标代入上式并解得：k＝1，

故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，

过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，

 ，

∵

，

设点 ，则点H（x，x﹣4），

∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为 ，

此时点P（2，﹣6）.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d69b8f4e81d049649b6648d7c1c708a1294a0a04.html