二次函数的图像与性质经典练习题（11套）附带详细答案

练习一

1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。

2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ）

A．顶点相同 B．对称轴相同 C．图像形状相同 D．最低点相同

3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）

A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相反 D．都有最小值

4．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（ ）

A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0 D．x≥0

5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ）

A．两条抛物线关于轴对称 B．两条抛物线关于原点对称

C．两条抛物线各自关于轴对称 D．两条抛物线没有公共点

6．抛物线y=－b＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。

8．抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（1，3） B．（1，3） C．（1，3） D．（1，3）

9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）

A．y=3－2 B．y=3＋2

C．y=3－2 D．y=－3－2

10．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）

A．y=a＋3 B．y=a－3

C．y=a＋3 D．y=a－3

11．抛物线的顶点坐标是（ ）

A．（2，0） B．（2，-2） C．（2，-8） D．（-2，-8）

12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ）

A．抛物线的形状相同 B．抛物线的顶点相同

C．抛物线对称轴相同 D．抛物线的开口方向相反

13．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）

14．化为y=为a的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

15．抛物线y=－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

16．函数y=＋2x－5的图像的对称轴是（ ）

A．直线x=2 B．直线a=－2 C．直线y=2 D．直线x=4

17．二次函数y=图像的顶点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

18．如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（ ）

A．0 B．6 C．3 D．9

19．抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（ ）

A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1

20．已知二次函数，如果a＞0,b＜0,c＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

21．如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y=的图像是（ ）

22．画出的图像，由图像你能发现这个函数具有什么性质？

23．通过配方变形，说出函数的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

24．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，―2），且过点（1，10）。

25．已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。

参考答案

1．上 y轴 （0，0） 低 ＞0 ＜0

2．C 3．D 4．C 5．D

6．y轴 (0,3)

7．下 （―2，―4） x=－2 ＜－2 ＞－2

8．D 9．C 10．D 11．C 12．B 13．B

14．y=－1 上 (―2,―1) x=－2 15.(―2,―5) x=－2

16．A 17．B 18．D 19．D 20．D 21．C

22．图像略，性质：

（1）图像开口向上，对称轴是直线x=4，顶点（4，2）。

（2）x＞4时，y随x增大而增大，x＜4时，y随x增大而减小。

（3）x=4时，=2.

23.y==,∴开口向下，对称轴x=2，顶点（2，0），x=2时，=0

24．设抛物线是y=2，将x=1,y=10代入上式得a=3,

∴函数关系式是y=32=36x＋1.

25.解法1：设y=a9，将x=0,y=1代入上式得a=,

∴y=9=

练习二

1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：

写出用t表示s的函数关系式.

2、 下列函数：①；②；③；

④；⑤，其中是二次函数的是 ，其中 ，

，

3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数

4、当时，函数是关于的二次函数

5、当时，函数+3x是关于的二次函数

6、若点 A ( 2, ) 在函数的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.

7、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（　　）

A、一次函数关系　 B、正比例函数关系　 C、反比例函数关系　 D、二次函数关系

8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

　　(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；

　　(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．

9、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，

那么面积增加 ycm2，　① 求 y 与 x 之间的函数关系式.

② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.

10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.

11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.

（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？

（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？

参考答案1：1、；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D；8、189；9、，1；10、；11、当a<8时，无解，时，AB=4,BC=8，当时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.

练习三

1、填空：（1）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；

（2）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；

2、对于函数下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是 .

3、抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（　　）

A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点

4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S＝gt2（g＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（　）

　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D

5、函数与的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

6、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求的值.

7、二次函数在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.

8、二次函数，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系.

9、已知函数是关于x的二次函数，求：

（1） 满足条件的m的值；

（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；

（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？

10、如果抛物线与直线交于点，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.

参考答案2：1、(1)x=0,y轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C；4、A；5、B；6、-2；7、；8、；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、

练习4

1、抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x的增大而增大, 当x 时, y随x的增大而减小.

2、将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .

3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .

4、将抛物线向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .

5、已知函数的图象关于y轴对称，则m＝________；

6、二次函数中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .

参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、，，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、，0，小，3；5、1；6、c.

练习五

1、抛物线，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小， 函数有

最 值 .

2、试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.

（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.

3、请你写出函数和具有的共同性质（至少2个）.

4、二次函数的图象如图：已知，OA=OC，试求该抛物线的解析式.

5、抛物线与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及⊿AOB的面积.

6、二次函数，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y随x值的变化情况.

7、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求k的值.

参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、，，;3、略；4、；5、（3，0），（0，27），40.5；6、，当x<4时，y随x的增大而增大，当x>4时，y随x的增大而减小；7、-8，-2，4.

练习6

的图象与性质

1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝＿＿＿＿时，y 有最小值.

3、函数 y＝ (x－1)2＋3，当 x＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.

4、函数y= (x+3)2-2的图象可由函数y=x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.

5、 已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是

6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小

的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1

7、已知函数.

（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .

（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.

（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；

（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；

（6） 该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？

8、已知函数.

（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；

（3） 指出该函数的最值和增减性；

（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；

（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.

（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.

参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、；6、C；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( ,0)、(,0)、，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y随x的增大而增大；当x<-1 时，y随x的增大而减小,(4) ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3

练习7 的图象和性质

1、抛物线的对称轴是 .

2、抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 .

3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .

4、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿.

5、把二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是

6、抛物线与x轴交点的坐标为_________；

7、函数有最____值，最值为_______；

8、二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为，则b与c分别等于（ ）

A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14

9、二次函数的图象在轴上截得的线段长为（ ）

A、 B、 C、 D、

10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）； （2）； （3）

11、把抛物线沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.

12、求二次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标

13、已知一次函数的图象过抛物线的顶点和坐标原点

1） 求一次函数的关系式；

2） 判断点是否在这个一次函数的图象上

14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、；5、；6、（-2，0）（8，0）；7、大、；8、C；9、A；10、（1）、上、x=2、（2，-1），（2）

、下、、（），（3）、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元

练习8

的性质

1、函数的图象是以为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为

2、二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是

3、如果抛物线与轴交于点，它的对称轴是，那么

4、抛物线与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______.

5、已知二次函数的图象如图所示，

则a___0，b___0，c___0， ____0；

6、二次函数的图象如图，则直线

的图象不经过第 象限.

7、已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：

1）同号；2）当和时，函数值相同；3）；4）当时，的值只能为0；其中正确的是

8、已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=

9、二次函数中，若，则它的图象必经过点（ ）

10、函数与的图象如图所示，

则下列选项中正确的是（ ）

A、 B、

C、 D、

11、已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

12、二次函数的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、

a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

13、抛物线的图角如图，则下列结论：

①＞0；②；

③＞；④＜1.其中正确的结论是（     ）.

（A）①②   （B）②③   （C）②④   （D）③④

14、二次函数的最大值是，且它的图象经过，两点，求、、

15、试求抛物线与轴两个交点间的距离（）

参考答案7：1、；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C；10、D；11、B；12、C；13、B；14、；15、

练习9 二次函数解析式

1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=

2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .

3、 二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式

为

4、根据条件求二次函数的解析式

（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点

（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3

（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；

（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；

5、已知二次函数的图象经过、两点，且与轴仅有一个交点，求二次函数的解析式

6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.

7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.

（1） 求二次函数的图象的解析式；

（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

8、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.

参考答案8：1、、、1；2、；3、；4、（1）

、（2）、（3）、（4）；5、；6、；7、（1）、5；8、、y=-x-1或y=5x+5

练习10

二次函数与方程和不等式

1、已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是 .

2、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_____象限；

3、抛物线与轴交点的个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、以上都不对

4、二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）

A、 B、 C、 D、

5、与的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（ ）

A、0 B、-1 C、2 D、

6、若方程的两个根是－3和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线（ ）

A、＝－3 B、＝－2 C、＝－1 D、＝1

7、已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，坐标为，求的值

8、画出二次函数的图象，并利用图象求方程的解，说明x在什么范围时.

9、如图：

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0.

10、二次函数的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

11、已知抛物线.

（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；

（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为B.

若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.

参考答案9：1、且；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2，1；8、；9、（1）、x<0或x>2；10、y=-x+1，,x<-2或x>1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）

练习11

二次函数解决实际问题

1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种

蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬

菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售

情况的哪些信息？（至少写出四条）

2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.

3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝－x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.

4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为

多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.

① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；

② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？

③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，

跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.

①求这条抛物线所对应的函数关系式.

②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？

7、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？

8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）.

参考答案10：1、①2月份每千克3.5元 　②7月份每千克0.5克　 ③7月份的售价最低 　④2～7月份售价下跌；2、y＝x2＋x；3、成绩10米，出手高度米；4、，当x＝1时，透光面积最大为m2；5、（1）y＝(40－x) (20＋2x)＝－2x2＋60x＋800，（2）1200＝－2x2＋60x＋800，x1＝20，x2＝10　∵要扩大销售　∴x取20元，（3）y＝－2 (x2－30x)＋800＝－2 (x－15)2＋1250　　∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、（1）设y＝a (x－5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a＝－，∴y＝－ (x－5)2＋4，（2）当x＝6时，y＝－＋4＝3.4(m)；7、（1），（2），（3）当水深超过2.76m时；8、，，，，货车限高为3.2m.

解法2：设y=,由题意得

解之

∴y=

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d4e94ecc76a20029bd642d83.html